環Zpα上的重根負循環碼

席紅旗， 鄭喜英， 孔 波

(1.河南教育學院 信息技術系 河南 鄭州 450046; 2.黃河科技學院 信息工程學院 數理部 河南 鄭州 450005; 3.河南教育學院 數學系 河南 鄭州 450046)

0 引言

有限域上的負循環碼是Berlekamp[1]提出的，Wolfmann[2]研究了有限環Z4上的奇長的負循環碼和單根負循環碼，隨后Dinh和López-Permouth[3]又將其推廣到了有限鏈環上.目前特征為p的長為n的負循環碼(p|n)(稱為重根負循環碼)成了研究的熱點， Blackford[4]研究了Z4上長度為偶數的重根負循環碼,并用變換的方法給出了他們的分類,Dinh[5-6]研究了Galois環GR(2a,m)上長為2s的負循環碼，并給出了Z2a上長為2s的負循環碼的Hamming距離、lee距離和Euclidean距離.Slalgean[7]研究了有限鏈環上的重根循環碼及重根負循環碼，證明了有限鏈環上的重根循環碼一般情況下不是主理想生成的,GR(2a,m)上偶長的負循環碼是主理想生成的.開曉山[8]研究了Z2a上任意偶長的負循環碼, 并給出了Z2a上長為2k的負循環碼的Hamming距離和齊次距離.鄭喜英[9]研究了有限鏈環上的重根循環碼，給出了其上任一循環碼的生成情況.羅維[10]給出了Galois環GR(pm,n)上長為pk循環碼的生成情況.本文研究了Zpa[x]上的重根負循環碼的生成情況.

1 有限鏈環上的多項式環及其理想

r=r0+er1+…+ek-1rk-1,ri∈S,i=0,1,…,k-1.

2 環Zpα上的重根負循環碼

定理2令F為特征為p的域(p非零且為素數),n=pβl且p不能整除l.(i) 若l為奇數，則xn+1=(x+1)pβp1(xpβ)…pr(xpβ)，其中(x+1)pβ,p1(xpβ), …,pr(xpβ)是xpβl+1在F[x]中的分解且是互素的.(ii) 若l為偶數，則xn+1=(q1(x))pβ…(qr(x))pβ，(q1(x))pβ…(qr(x))pβ是xpβl+1在F[x]中的分解且(q1(x))pβ,…,(qr(x))pβ是互素的.

證明(i) 若l為奇數，則

xn+1=(xpβ)l+1=(xpβ+1)(xpβ(l-1)-xpβ(l-2)+…-xpβ+1)=(x+1)pβ(xpβ(l-1)-xpβ(l-2)+…-xpβ+1).

(xpβ)l-1-(xpβ)l-2+…-xpβ+1=p1(xpβ)…pr(xpβ).

因此在Zpα[x]中

xn+1=(xpβ+1)((xpβ)l-1-(xpβ)l-2+…-xpβ+1)=(xpβ+1)p1(xpβ)pr(xpβ).

xn+1=(q1(x))pβ…(qr(x))pβ.

令Z表示整數環,Zc=Z/cZ為模正整數c的整數剩余類環. 令Zc[x]為Zc上的多項式環,Zc[x]/〈xn+1〉表示由xn+1生成的理想〈xn+1〉上的多項式環的剩余類環.Zc[x]/〈xn+1〉的任何理想C都稱為有限環Zc上的負循環碼.

引理3記m=min{α,pβ}. 則對任意的整數k(1≤k≤m)，存在一個Zpα[x]/(xpβ+1)的理想C可由k個多項式生成但不能由k-1個多項式生成.

證明將文獻[9]命題 4.4證明中的(xpβ-1)換成(xpβ+1)可得引理3的證明.

引理4記m=min{α,pβ}. 則對任意的整數k(1≤k≤m)，存在一個Zpα[x]/(qi(x))pβ的理想C可由k個多項式生成但不能由k-1個多項式生成.

證明將文獻[9]命題 4.4中的Zpα[x]/(xpβ+1)換成Zpα[x]/(qi(x))pβ,可得引理4的證明.

定理3令n=pβl且p不能整除l，m=min{α,pβ},則對任意的整數k(1≤k≤m)，存在一個Zpα[x]/〈xn+1〉的理想C可由k個多項式生成但不能由k-1個多項式生成.

證明(i) 若l為奇數，由定理2可知，在Zpα[x]中xn+1=(xpβ+1)p1(xpβ)pr(xpβ)且xpβ+1,p1(xpβ),…,pr(xpβ)彼此互素. 由中國剩余定理得

Zpα[x]/〈xn+1〉?Zpα[x]/〈xpβ+1〉⊕Zpα[x]/〈p1(xpβ)〉⊕…⊕Zpα[x]/〈pr(xpβ)〉.

由引理4, 對任意的整數k(1≤k≤m)，存在一個Zpα[x]/〈xpβ+1〉的理想C0=〈pi1gi1(x),…,pikgik(x)〉，可由k個多項式生成但不能由k-1個多項式生成，且由引理5,Zpα[x]/〈pi(xpβ)〉(i=1,…,r)是主理想環,所以根據中國剩余定理, 對任意的整數k(1≤k≤m)，存在一個Zpα[x]/〈xn+1〉的理想C可由k個多項式生成但不能由k-1個多項式生成.

(ii)若l為偶數, 由定理2可知，xn+1=(q1(x))pβ…(qr(x))pβ，且多項式(q1(x))pβ,…,(qr(x))pβ也彼此互素.由中國剩余定理得

Zpα[x]/〈xn+1〉?Zpα[x]/〈(q1(x))pβ〉⊕…⊕Zpα[x]/〈(qr(x))pβ〉,

參考文獻：

[1] Berlekamp E R. Negacyclic codes for the Lee metric[C]//Proc Conf Combinatorial Mathematics and Its Applications. Chapel Hill, NC, 1986: 298-316.

[2] Wolfmann J. Negacyclic and cyclic codes overZ4[J]. IEEE Trans Inform Theory, 1999, 45(7): 2527-2532.

[3] Dinh H Q, Lopez-permauth. Cyclic and negacyclic codes over finite chain rings[J]. IEEE Trans Inform Theory, 2004, 50(8): 1728-1744.

[4] Blackford T. Negacyclic codes overZ4of even length[J]. IEEE Trans Inform Theory, 2003, 49(6): 1417-1424.

[5] Dinh H Q. Negacyclic codes of length 2sover Galois rings[J]. IEEE Tran Inform Theory, 2005, 51(12): 4252-4262.

[6] Dinh H Q. Complete distances of all negacyclic codes of length 2soverZpα[J]. IEEE Trans Inform Theory, 2007, 53(1): 4252-4262.

[7] Ana S?l?gean. Repeated-root cyclic and negacyclic codes over finite chain rings[J]. Discrete Applied Mathematics, 2006, 154(2): 413-419.

[8] 開曉山.Zpα上的重根負循環碼[D]. 合肥: 合肥工業大學, 2007.

[9] 鄭喜英.無限長序列及有限鏈環上的循環碼[D]. 武漢：華中師范大學, 2007.

[10] 羅維.Galois環GR(pm,n)上長為pk循環碼的注記[J]. 四川師范大學學報:自然科學版，2011，48(11)：45-47.

[11] McDonald B R. Finite Rings with Identity[M]. New York: Marcel Dekker, 1974.