具有雙向耦合的混沌系統的完全同步

付士慧， 魏紅軍， 劉 洋

(鄭州大學 數學系 河南 鄭州 450001)

0 引言

非線性系統中的混沌控制與同步是當今非線性科學中一個富有挑戰性和具有應用前景的課題.同步在自然界中經常存在，在通信、控制、機械、電路和生物系統特別是保密通訊都有著重要的應用. 有些同步是有益的，如調和振子的生成、保密通訊及組織管理的協調等，我們需要這種同步；有些同步是有害的，如傳輸控制協議窗口的增加，因特網或通訊網絡中信息擁塞等，我們要盡量避免這種同步.到目前為止，人們已經對多種同步類型(完全同步[1]，滯后同步[2]，期望同步[3],預測同步[1]，廣義同步[1]等等)和實現同步的多種方法(驅動-響應同步法，自適應同步法[4]，脈沖同步法[5]，觀測器同步法[6]等)進行了研究，并且取得了豐富的成果.

完全同步是最簡單的混沌同步類型，對它的研究，無論在理論上還是在方法上都較其他的同步類型完善.對于混沌系統的完全同步，耦合方式主要有兩種：單向耦合和雙向耦合.被耦合的系統之一并不會隨著耦合而發生變化，這種耦合稱為單向耦合；相反的兩個系統之間相互影響，則這種耦合稱為雙向耦合[1].Hebertt[7]對單向耦合的混沌系統通過廣義哈密頓系統和觀測器的方法研究了其同步問題，這種方法還被推廣到時滯系統，對保密通信中的應用進行了研究[8].Mu等[9]利用該方法還研究了變參數混沌系統的同步問題.本文將該方法進一步推廣到了雙向耦合的混沌系統.

1 雙向耦合系統的完全同步

給定光滑系統

(1)

其中f∈Rn是連續可微的.

通過廣義哈密頓系統，方程(1)重新被表示

(2)

利用觀測器法，構造驅動系統和響應系統分別為

(3)

和

(4)

其中y是系統的輸出量，矩陣C是常數矩陣；ξ和η分別為x和y的擾動；K,K1是常數矩陣.

接下來的主要工作是設計K,K1，使驅動系統(3)及其相應的響應系統(4)能夠達到完全同步.

記

e(t)=x(t)-ξ(t),ey=y-η，

則方程(3)和(4)的誤差系統為

(5)

要使系統(3)和(4)能達到完全同步，只需誤差系統(5)的零解是穩定的.為此，下面的定理1主要給出了當K,K1滿足一些條件時系統(5)的零解是穩定的.

定理1若矩陣

是負定的，則誤差系統(5)的零解是穩定的，即驅動系統(3)和其相應的響應系統(4)能夠達到完全同步.

證明令Lyapunov函數v=H(e)則

2 數值仿真

洛倫茲系統的動力學方程為

(6)

根據方程(2)，重新設計系統(6)得

(7)

其中

根據方程(3)和(4)，則驅動系統和響應系統分別為

(8)

和

(9)

其中

因此誤差系統為

(10)

即

(11)

由上述定理，據Sylvester準則，當滿足

k1+K1>-σ,σ(1-K2-k2)2<4(σ+K1+k1)

時，誤差系統(11)的零解是穩定的，這也表明驅動系統(8)及其響應系統(9)達到了完全同步.

取定參數

系統(8)和(9)的相位圖如圖1和圖2所示，從圖中可見系統的運動是混沌的；其相應的誤差系統(11)隨時間變化的歷程圖如圖3～5所示，狀態變量很快趨于零，這說明系統(8)及其相應的系統(9)很快達到了完全同步.同步速度與參數的選取有一定的關系，若參數選取在同步條件的邊界附近，同步速度可能相對慢些.

圖1 系統(8)的相位圖 Fig.1 Phase diagram of equation (8)

圖2 系統(9)的相位圖Fig.2 Phase diagram of equation (9)

圖3 誤差系統(11)的時間歷程圖 Fig.3 Time history of e1 in error system (11)

圖4 誤差系統(11)的時間歷程圖Fig.4 Time history of e2 in error system (11)

圖5 誤差系統(11)e3的時間歷程圖Fig.5 Time history of e3 in error system (11)

3 結論

通過廣義哈密頓系統和觀測器方法對混沌系統重新設計后，構造了具有雙向耦合的驅動和響應系統；利用Lyapunov穩定性理論研究了誤差系統零解的穩定性，給出了完全同步的條件；數值結果也表明了該方法的正確性.

參考文獻：

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