Broer-Kaup系統3類達布變換間的關系及其精確解

黃 坤, 陳友軍

(華北水利水電學院 數學與信息科學學院 河南 鄭州 450011)

0 引言

孤子方程是非線性方程領域中極具潛力的課題,它反映了一類非常穩定的自然現象.近年來,已經有許多求解孤子方程精確解的方法,例如反散射方法、雙線性方法、貝克隆變換法、達布變換法和代數幾何法等.這些方法各有特點,也有其內在聯系. 其中,達布變換是一種自然而美妙的方法, 它從平凡解出發得到孤子方程的精確解.

考慮Broer-Kaup(BK)系統問題

(1)

BK系統的精確解能用來描述在同一水面上孤子追趕碰撞,因而受到物理學家和數學家的重視.通常可根據BK系統的Lax對構造3種不同的達布變換,并借助達布變換獲得方程的單孤子解和多孤子解.研究BK系統3種不同達布變換間的關系,可以獲得BK系統的精確解.

1 Broer-Kaup系統的3類達布變換

考慮BK系統的譜問題

φx=Uφ；φt=Vφ，

(2)

這里

其中u和v是兩個勢,λ是一個譜常數.

(3)

從而Lax對(3)式可轉化為

(4)

(5)

(6)

這里

(7)

這里

在引理1，2，3中，α,β,γ,ak,bk,ck,dk(0≤k≤n-1)是關于x和t的函數.

當n=1時, 3類達布變換有下列特殊形式：

(8)

2 Broer-Kaup系統3種達布變換間的關系

以下考慮n=1時,Broer-Kaup系統3類達布變換之間的關系.

定理1若變量α,β,γ,ai,bi,ci,di(i=1,2)滿足關系式

(9)

(10)

則T2(λ2)·T1(λ1)=T(λ).

證明由(9)式計算可得

同理可證(10)式其余各式成立.

定理2若變量α,β,γ,ai,bi,ci,di(i=1,2)滿足關系式

(11)

則T1(λ1)·T2(λ2)=T(λ).

綜合定理1和定理2可得Broer-Kaup系統3類達布變換之間的關系，

T1(λ1)·T2(λ2)=T2(λ2)·T1(λ1)=T(λ)，

3 Broer-Kaup系統的精確解

首先以平凡解u=0,v=1作為種子解, 代入(2)式, 可以得到2個基本解：

由上可得：

1)兩個正碰的孤子解.當λ1<-1,λ2>1時,兩孤子解u,v相互正碰,如圖1.

2)兩個追趕碰撞的孤子解.當λ2>λ1>1時,兩孤子解u,v相互追趕碰撞.

3)兩個周期解.當-1<λ1<1,-1<λ2<1時,兩孤子解u,v是周期解, 如圖2.

達布變換是求解孤子方程行之有效的方法.從平凡解出發,利用達布變換,求解出譜問題的新孤子解.如果利用3類達布變換間的關系,將會獲得多孤子解及其碰撞的情形.

圖1 Broer-Kaup系統相互正碰的孤子解Fig.1 Two-head-on collision soliton solution of Broer-Kaup system

圖2 Broer-Kaup系統周期解Fig.2 The periodic solution of Broer-Kaup system

參考文獻：

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