具有整數伸縮因子的多變量向量值雙正交多小波包

朱玉清， 衛艷榮， 程正興

(1.南陽理工學院 數理學院 河南 南陽 473004； 2.濟源職業技術學院 基礎部 河南 濟源465650； 3.西安交通大學 理學院 陜西 西安 710049)

0 引言

多小波由于擁有良好的特性而被廣泛地應用在圖像壓縮、信號處理[1]、求解積分方程與微分方程等方面.向量值小波是一類廣義多小波.Xia和Suter[2]引入向量值正交小波的概念.文獻[3]討論了多重向量值雙正交小波的存在性及其構造.文獻[4]運用多重向量值雙正交小波變換研究海洋渦流現象.為了改變小波基的頻域局部性，人們引入一元正交小波包的概念.楊建偉等[5]將一元正交小波包的概念推廣到多元小波包的情形，給出多元正交小波包的定義.文獻[6]進一步給出多變量多重雙正交小波包的定義、構造及其性質.受文獻[3,6]的啟發，本文給出具有伸縮因子aIn2≤a,n∈Z的多變量向量值雙正交小波包的定義及其構造，討論了它們的性質.利用向量值小波包，構造了空間L2(Rs,Cn)的一個新的基底.

(1)

稱多元向量值函數列{?v(x-k):v=1,2,…,n}k∈Zd為子空間V的Riesz基，如果它們滿足下列兩個條件:(i)對任意Γ(x)∈V，都存在唯一的常數序列b={bv(k):v=1,2,…,n}k∈Zd使得

(ii)存在常數0

1 多元向量值多分辨分析

多分辨分析方法是構造小波的常用方法.先引進多元向量值函數空間L2(Rs,Cn)的多元向量值多分辨分析.設?j(x)=L2(Rs,Cn)，j=1,2,…,n分別滿足下列n個方程，

(2)

其中{bi,j(k),i,j=1,2,…,n}是一個有限支撐數列.記H(x)=(?1(x),?2(x),…,?n(x))，根據矩陣理論，方程(2)等價于方程(3)，

(3)

(4)

定義一個閉子空間序列Uj?L2(Rs,Cn)為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

L2(Rs,Cn)=U0⊕j≥0Wj=⊕j∈ZWj=⊕j∈Z(⊕μ∈ΛWj(μ)).

(11)

2 多變量向量值雙正交多小波包的概念與性質

引入多變量向量值雙正交多小波包.然后，討論它們的性質.引入記號

(12)

(13)

為了討論多變量值雙正交多小波包的性質，給出2個引理.

證明由于R2=Uλ∈Zs([0,2π]s+2πλ)，而且當λ1,λ2∈Zs,λ1≠λ2時，([0,2π]s+2πλ1)∩([0,2π]s+2πλ2)=Φ.

(14)

AΩσ=⊕μ∈Λ0Ωmσ+μ，j∈Z+；

(15)

(16)

參考文獻：

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[3] Bacchelli S, Cotronei M, Sauer T. Wavelets for multichannel signals[J]. Adv Appl Math, 2002,29: 581-598.

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[5] 楊建偉，程正興，楊守志.任意矩陣伸縮的正交小波包[J].高等學校計算數學學報,2003,25(1):91-96.

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