均勻照明反射面設(shè)計(jì)中的系數(shù)計(jì)算

朱向冰 時(shí)靖誼 王 競(jìng) 羅青青 陳 瑾

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000)

1 引言

隨著科技的發(fā)展，許多場(chǎng)合對(duì)光照分布提出了很高的要求，比如在集成電路的制作工藝中需要進(jìn)行均勻曝光，在光敏固化技術(shù)中需要均勻固化等，但迄今為止，大多數(shù)均勻照明的燈具在性能上需要改善，在設(shè)計(jì)方法上需要完善。目前實(shí)現(xiàn)均勻照明的方法主要有三種:第一種是通過透鏡對(duì)光線折射實(shí)現(xiàn)均勻照明［1～7］，因?yàn)橥哥R有兩個(gè)曲面，便于設(shè)計(jì)，但是透鏡的兩個(gè)光學(xué)面都會(huì)造成光能量損失，透鏡材料會(huì)吸收光能量，如果透鏡的材料均勻性不高也會(huì)很大地影響照明的質(zhì)量，并且透鏡兩個(gè)面的加工成本較高，這種方式不是最優(yōu)方法;第二種方法是利用單個(gè)反射面實(shí)現(xiàn)光照的均勻分布［8，9，10］，能有效地避免第一種方法的缺點(diǎn)，但是設(shè)計(jì)方法有待改進(jìn)，設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)問題沒有很好地解決［9，10］，限制了這種方法的推廣;第三種方法是反射透射綜合式，設(shè)計(jì)難度較低，但是成本高，比如液晶屏背光模塊采用線光源或大量的點(diǎn)光源，采用反射和折射方式實(shí)現(xiàn)均勻的照明［10，12］。本文采用單個(gè)反射面，使反射光與直接照射光疊加在一起達(dá)到均勻照明的目的，首先建立了光學(xué)模型，并得到其相應(yīng)積分方程，然后對(duì)方程的轉(zhuǎn)化及求解的過程進(jìn)行了說明，對(duì)系數(shù)表達(dá)式進(jìn)行了計(jì)算，并將這些系數(shù)應(yīng)用到反射面設(shè)計(jì)中，仿真軟件的追跡表明系數(shù)是正確的、方法是可行的。研究結(jié)果不僅為均勻照明燈具的設(shè)計(jì)和改善提供了依據(jù)，還可以推廣到非均勻照明系統(tǒng)中。

2 光學(xué)模型和方程

在反射式照明中，光源發(fā)出的光通過兩個(gè)途徑到達(dá)被照明面，一是直接照射在被照明面上;二是被反射器反射到被照明面上。因?yàn)楣庠粗苯诱丈湓诒徽彰髅嫔系恼斩确植伎梢酝ㄟ^光源的特性以及被照明面的相對(duì)位置求得，所以本文主要考慮反射光在被照明面上的照度分布情況。假設(shè)光在空間傳播無損失，被照明面吸收了所有的入射光，由于精確加工的反射面反射率能達(dá)到85%以上，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，設(shè)定反射率為100%，可以列出經(jīng)過反射面到達(dá)被照明面上的光線照度分布函數(shù)的積分表達(dá)式，然后再通過坐標(biāo)的變換和積分范圍的合理選取，將積分形式的光通量守恒方程轉(zhuǎn)化為微分形式，就將復(fù)雜的光學(xué)問題轉(zhuǎn)化成了微分方程的求解問題。

2.1 坐標(biāo)和方程

假定光源的光強(qiáng)分布函數(shù)為I，且光源的大小相對(duì)整個(gè)照明系統(tǒng)可以忽略不計(jì)，即處理為點(diǎn)光源，通常對(duì)于LED可以這樣處理。如圖1所示，將光源放在o點(diǎn)，P為給定被照明平面，兩者之間的距離設(shè)為1，R為P平面上被照亮的區(qū)域。以o為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系ox'y'z'，x'oy'平面與P平面平行，單位球與P平面相切與o″點(diǎn)，在P平面中建立直角坐標(biāo)系xo″y，坐標(biāo)原點(diǎn)為o″點(diǎn)，x，y軸分別與x'，y'軸平行。

為方便起見，引入投影平面P'，與給定平面P平行且與單位球相切于o'點(diǎn)，以o″點(diǎn)為投影中心，這樣單位球上的點(diǎn)就可以用投影平面P'上的點(diǎn)表示了，而P'平面上的點(diǎn)又可以用坐標(biāo)原點(diǎn)在o'處的直角坐標(biāo)系uo'v表示，u，v軸與x'，y'軸平行。

假定坐標(biāo)原點(diǎn)在照明區(qū)域內(nèi)，在R區(qū)域內(nèi)的反射光照度分布的函數(shù)用L=L(x，y)表示，L(x，y)是(x，y)點(diǎn)所需的總照度減去光源直接照射在(x，y)點(diǎn)的照度。

圖1 光照系統(tǒng)及坐標(biāo)系

在以光源為球心，反射面對(duì)應(yīng)的立體角為Ω，從光源發(fā)出的Ω中的光線應(yīng)全部投射在R平面上的與立體角Ω相對(duì)應(yīng)的ν(Ω)區(qū)域上，也就是說立體角Ω中包含的總光通量與投射在ν(Ω)上的總光通量相等。為了滿足照度要求，則L，I函數(shù)應(yīng)滿足:

其中μ為反射面的反射系數(shù)，由于反射率為100%，即μ取1。該積分方程將這個(gè)反射式照明系統(tǒng)表示成了光通量守恒式，其中ν(Ω)項(xiàng)就包含了反射曲面的具體形狀。

為了計(jì)算出反射曲面的具體信息，需要將積分形式的方程式(1)轉(zhuǎn)化成為微分形式。在x'y'z'坐標(biāo)系中定義一個(gè)向量，它由點(diǎn)光源指向單位球上任意一點(diǎn)(x'，y'，z')，同時(shí)該向量也標(biāo)記出了uo'v平面上的一個(gè)點(diǎn)(u，v)。x'，y'，z'與u，v，1之間滿足下面的比例關(guān)系x'/u=y'/v=(z'+1)/2，同時(shí)在單位球上，x'，y'，z'又滿足方程x'2+y'2+z'2=1。由此可推導(dǎo)出向量以(u，v)為坐標(biāo)的具體形式為:

其中ω2=u2+v2。

可以證明單位球上的微分立體角dΩ與投影平面上的微分區(qū)域d u d v滿足如下方程dΩ=(在這里及后文中，下標(biāo)均表示偏導(dǎo)數(shù))。式(2)分別對(duì)u，v求偏導(dǎo)得:

將式(5)代入式(1)得:

其中S為uo'v平面上與立體角Ω對(duì)應(yīng)的區(qū)域，ω(S)為被照明平面上與S對(duì)應(yīng)的區(qū)域。在這里，為了使式(6)成立，函數(shù)L，I必須是連續(xù)的實(shí)函數(shù)，S是獨(dú)立的變量，ω是未知量。因?yàn)棣嘏c未知的反射曲面形狀有關(guān)，所以我們稱之為反射函數(shù)。將積分區(qū)域擴(kuò)展到整個(gè)光源照射區(qū)域R，可以得到方程式(6)的邊界條件ω(D)=R，D為反射面在P'平面上的整個(gè)投影區(qū)域，所以函數(shù)L必須滿足方程:

2.2 微分方程的轉(zhuǎn)化及求解

在這里可以用曲面方程ρ=ρ(u，v)來描述反射曲面，ρ為光源到反射面的距離。

圖2 反射幾何圖示

下面將與反射函數(shù)ω有關(guān)的積分方程式(6)轉(zhuǎn)化為與反射曲面函數(shù)ρ有關(guān)的偏微分方程。如圖2所示，設(shè)=為表示照射在反射面上一點(diǎn)的光線的向量。假設(shè)這條光線被反射到平面P上的(x，y)點(diǎn)，取一個(gè)向量，由點(diǎn)光源處指向該點(diǎn)，該點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系ox'y'z'中具有坐標(biāo)(x，y，－1)

其中p=ρu、q=ρv，、由式(3)、式(4)給定。因?yàn)橄蛄浚际窍嗷フ坏模覞M足右手坐標(biāo)系關(guān)系，的長(zhǎng)度為1，，的長(zhǎng)度均為［1+(1/4)ω2］－1，即×=，×=，×=［1+(1/4)ω2］－2，所以將上面的式子展開可以得到:

因此，

如圖2，由反射定律得:

從中可以解出:

為便于計(jì)算，下面先定義幾個(gè)變量表達(dá)式:

那么，將(9)～(11)式代入式(13)，并結(jié)合X→=(x，y，－1)，可得:

方程(15)～(18)決定了x，y是u，v，ρ，p，q的函數(shù)，所以可以將x，y的表達(dá)式寫為:

通過式(19)，式(20)可以發(fā)現(xiàn)式(6)式中的L(x，y)可以表達(dá)為獨(dú)立變量u，v，以及非獨(dú)立變量ρ和它的一階偏導(dǎo)數(shù)p，q的函數(shù)。對(duì)于滿足方程式(6)且有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的曲面方程ρ=ρ(u，v)的反射面，x，y可以被看作u，v的函數(shù)。等式(6)左邊對(duì)x，y的積分可以通過多重積分的雅克比行列式:

轉(zhuǎn)化成對(duì)u，v的積分。這個(gè)行列式可通過式(19)、式(20)由鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)獲得，其中r，s，t分別表示ρ的二階偏導(dǎo)數(shù)ρuu，ρuv，ρvv。所以對(duì)于一個(gè)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的反射曲面ρ=ρ(u，v)，積分式(6)等價(jià)于下面的偏微分方程:

將式(21)式中的行列式展開得:

其中:

在這里可以發(fā)現(xiàn)Jαβ=－Jβα，這些系數(shù)通過式(15)～式(18)計(jì)算可得。在此之前，為了讓計(jì)算變得更簡(jiǎn)單，先根據(jù)式(16)、式(17)將這些系數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得Jqv=Jup，pJρp=qJqρ。

3 方程解及其系數(shù)

由式(24)知要得到式(23)中各系數(shù)Jαβ，α，β∈{u，v，ρ，p，q}，首先需要求出x，y對(duì)各變量u，v，ρ，p，q的一階偏導(dǎo)數(shù)xu，yu，xv，yv，xρ，yρ，xp，yp，xq，yq，由此可得

由式(16)、式(17)知，x，y是中間變量G，F(xiàn)，p，q，ρ和自變量u，v的函數(shù)，所以由鏈?zhǔn)椒▌t知，為求出x，y對(duì)各變量的偏導(dǎo)，需要先求出這些中間變量及自變量對(duì)各變量的偏導(dǎo)。

x，y對(duì)各變量的偏導(dǎo)表達(dá)式可由鏈?zhǔn)椒▌t及x，y的表達(dá)式式(16)、式(17)聯(lián)立求出。同時(shí)，亦可得到F，G對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)。

將x，y對(duì)各變量的偏導(dǎo)表達(dá)式以及F，G對(duì)各變量的偏導(dǎo)數(shù)代入各系數(shù)求導(dǎo)式(25)～式(34)，再化簡(jiǎn)，即可得到各系數(shù)的表達(dá)式。由于計(jì)算出的其他系數(shù)表達(dá)式形式比較復(fù)雜，故在此僅列出兩個(gè):

將以上各系數(shù)表達(dá)式代入(23)式，就可以得到雅克比行列式D的表達(dá)式。然后由光源的光強(qiáng)分布函數(shù)I和目標(biāo)平面上R區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)所需的反射光照度分布函數(shù)L，即可以推算出D在空間各點(diǎn)的值。再?gòu)钠⒎址匠?22)中求得ρ的表達(dá)式，即解出了曲面方程ρ=ρ(u，v)。根據(jù)ρ在空間各點(diǎn)的不同取值，將數(shù)值解導(dǎo)入ProE建模軟件中就可以描繪出反射曲面的面型輪廓，求得所需的反射面。再將反射曲面導(dǎo)入照明設(shè)計(jì)軟件tracepro中進(jìn)行光線追跡模擬，檢測(cè)光斑的照度均勻性。為了驗(yàn)證上述結(jié)果，我們選擇了一款LED光源設(shè)計(jì)了一個(gè)反射面，如圖3所示。光學(xué)模擬表明除去邊緣以外，主體部分的均勻性達(dá)到85%以上，如圖4所示。并且均勻性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的反射面設(shè)計(jì)方法，能滿足大多數(shù)場(chǎng)合的要求。

圖3 反射面3D圖

圖4 光學(xué)模擬結(jié)果

4 結(jié)論

本文對(duì)反射式照明燈具的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了探索，成功的求解出了相關(guān)系數(shù)，該計(jì)算結(jié)果特別適合于LED照明燈具的設(shè)計(jì)，可以降低照明燈具的成本。和過去的依賴于經(jīng)驗(yàn)來設(shè)計(jì)初始反射面并反復(fù)調(diào)節(jié)反射面的方法相比，雖然系數(shù)的表達(dá)式非常復(fù)雜，但是如果將其編寫到程序中，則能大大縮短設(shè)計(jì)的周期。本文中以均勻照明為目標(biāo)，研究了反射面設(shè)計(jì)問題，只要對(duì)光源特性進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，研究結(jié)果也可以借鑒到非均勻照明系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中。

［1］Mikhail A．Moiseev，Leonid L．Doskolovich，and Nikolay L．Kazanskiy，“Design of high-efficient freeform LED lens for illumination of elongated rectangular regions，”O(jiān)pt．Express 19，A225～A233(2011)．

［2］Allen Jong-Woei Whang，Yi-Yung Chen，and Yuan-Ting Teng，“Designing Uniform Illumination Systems by Surface-Tailored Lens and Configurations of LED Arrays，”J．Display Technol．5，94～103(2009)．

［3］Yi Ding，Xu Liu，Zhen-rong Zheng，and Pei-fu Gu，“Freeform LED lens for uniform illumination，”O(jiān)pt．Express 16，12958～12966(2008)．

［4］Zheng Zhenrong，Hao Xiang，and Liu Xu，“Freeform surface lens for LED uniform illumination，”Appl．Opt．48，6627～6634(2009)．

［5］Kai Wang，Dan Wu，Zong Qin，F(xiàn)ei Chen，Xiaobing Luo，and Sheng Liu，“New reversing design method for LED uniform illumination，”O(jiān)pt．Express 19，A830～A840(2011)．

［6］Xiaoxia Luo，Hua Liu，Zhenwu Lu，and Yao Wang，“Automated optimization of an aspheric light-emitting diode lens for uniform illumination，”Appl．Opt．50，3412～3418(2011)．

［7］Liwei Sun，Shangzhong Jin，and Songyuan Cen，“Freeform microlens for illumination applications，”Appl．Opt．48，5520～5527(2009)．

［8］Jui-Wen Pan，Sheng-Han Tu，Wen-Shing Sun，Chih-Ming Wang，and Jenq-Yang Chang．“Integration of Non-Lambertian LED and Reflective Optical Element as Efficient Street Lamp．”O(jiān)pt．Express 18，A221～A230(2010)．

［9］Harald Ries and Julius Muschaweck．“Tailored freeform optical surfaces．”J．Opt．Soc．Am．A 19，590～595(2002)．

［10］Vladimir Oliker．“Geometric and variational methods in optical design of reflecting surfaces with prescribed irradiance properties”．Proc．SPIE 5942，594207(2005)．

［11］Deepa Ramane and Arvind Shaligram．“Optimization of multi-element LED source for uniform illumination of plane surface，”O(jiān)pt．Express 19，A639～A648(2011)．

［12］Zhen-min Zhu，Xing-hua Qu，Guo-xin Jia，and Jian-fei Ouyang．“Uniform Illumination Design by Configuration of LED Array and Diffuse Reflection Surface for Color Vision Application．”J．Display Technol．7，84～89(2011)．