二維海面上方金屬目標復合散射快速算法研究

姬偉杰 童創明，2

(1.空軍工程大學導彈學院，陜西 三原 713800；2.毫米波國家重點實驗室，江蘇 南京 210096)

引 言

目標與隨機地海面的復合電磁散射研究在軍用和民用領域都有廣泛的應用，引起了國內外學者的極大關注，但是大多數研究都側重于二維散射問題[1-6]。對于在實際中遇到的三維散射問題研究則比較少，而且大多采取解析法來求解以降低計算復雜度[6-7]。解析法對于粗糙面參數有嚴格的適用范圍，不能用于計算復雜參數粗糙面與目標的復合散射，同時不能得到交叉極化的結果。數值算法不受此限制，因此，研究求解實際地海面與目標復合散射的快速數值算法具有重要意義。

在二維粗糙面與目標的復合散射計算中，不僅要考慮目標與粗糙面自身的散射，還要考慮它們之間的相互作用，而其中粗糙面的未知量占絕大多數。因此，如何快速有效地計算粗糙面的電磁散射是一個重要的問題。以往的方法都是將目標與地海面當作整體來建模以及求解[8-11]，由于數值算法都要產生矩陣方程，這就導致矩陣數據量過大而不能快速求解。N.Dechamps 等提出了一種計算一維分層粗糙面的快速數值算法：層內波傳播展開法[12](PILE)，將通過矩量法(MoM)得到的線性方程組求解分成四步來迭代求解：兩步用來求解單層粗糙面自身的散射；兩步用來求解上層粗糙面與下層粗糙面之間的相互作用。Kubicke G等進一步將其擴展應用于計算粗糙海面上方金屬目標的復合電磁散射特性[13]。

推導了二維粗糙面上方目標復合散射的耦合積分方程組，將PILE算法擴展應用于求解該積分方程組。PILE的優點就是將目標與粗糙面的散射分開來考慮，因此，粗糙面的表面積分方程可以用已經成熟的快速數值算法來求解，如稀疏矩陣平面迭代及規范網格法(SMFSIA/CAG)[14]，它所需內存小、計算速度快，是一種計算二維導體粗糙面電磁散射的有效快速數值算法。而目標的未知量較小，其表面積分方程可以采用傳統的基于三角屋頂(RWG)基函數的MoM來求解[15]。

利用該算法計算了具有PM海浪譜的海洋粗糙面上方各種典型目標的復合雙站散射系數，通過與傳統MoM的結果相比較，驗證了算法的有效性，討論了算法的收斂性。計算了海面上導彈目標的雙站散射系數(BSC)。該算法提供了一種計算二維粗糙面上方目標復合電磁散射的有效途徑。

1.基礎理論

1.1 耦合積分方程組

圖1所示為二維隨機海洋粗糙面上方金屬目標的散射，ki與ks分別為入射與散射方向矢量，θi與φi為入射角，θs與φs為散射角，H為目標距離海面高度，粗糙面的高度函數z=ζ(x，y)，且〈ζ(x，y)〉=0.

圖1 海面上導體目標示意圖

當粗糙面上沒有目標時，滿足磁場邊界積分方程(MFIE)：

n′×Hs(r′)ds′

(1)

式中：Hinc(r)為入射磁場；n為粗糙面表面法向量；S指粗糙面表面；g(r，r′)=(r-r′)G(R)，

自由空間中的金屬目標滿足電場邊界積分方程(EFIE)

Hb(r′)))]g(r，r′)ds′

(2)

式中：Einc(r)為入射電場；nb為目標表面法向量；Sb指目標表面；k0為自由空間波常數； μ0為區域內磁導率。

當目標與粗糙面同時存在時，必須考慮目標與粗糙面的相互作用，由等效電流原理，粗糙面對目標的散射貢獻為

(3)

式中：Js(r)=n×Hs(r)，表示粗糙面表面電流；ε0為區域內介電常數。

目標對粗糙面的散射貢獻為

(4)

式中：Jb(r)=nb×Hb(r)，表示目標表面電流。

結合式(1)和(2)，可以得到目標與粗糙面的耦合積分方程組為

(5a)

(5b)

1.2 E-PILE+SMFIA/CAG算法

將式(5)看成一個整體，直接運用MoM可以得到如下線性方程組

ZI=V

(6)

式中：Z為總的阻抗矩陣，它既包括粗糙面的阻抗矩陣，又包括目標的阻抗矩陣，以及目標與粗糙面之間的相互作用阻抗矩陣，維數為2(N+M)×2(N+M)(N為粗糙面表面的未知量，M為目標表面的未知量)；I為所求未知向量為

(7)

上標T表示轉秩，Ir表示粗糙面的未知向量；V為激勵向量，包括目標的激勵向量Vo和粗糙面的激勵向量Vr為

(8)

為了有效地求解線性方程組，將阻抗矩陣Z分成四塊

(9)

式中：Zo表示目標自身的阻抗矩陣；Zr表示單層粗糙面自身的阻抗矩陣；Zo→r與Zr→o表示粗糙面與目標相互作用的阻抗矩陣。對阻抗矩陣Z求逆可得

(10)

式中：

T=(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1

(11a)

U=-(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1Zr→o(Zr)-1

(11b)

Q=-(Zr)-1Zo→r(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1

(11c)

W= (Zr)-1+(Zr)-1Zo→r(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1×

Zr→o(Zr)-1

(11d)

所求未知向量I為

(12)

結合式(8)和式(9)，可以得到粗糙面未知向量

Io=(Zo-Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1(Vo-Zr→o(Zr)-1Vr)

= (I-(Zo)-1Zr→o(Zr)-1Zo→r)-1(Zo)-1×

(Vo-Zr→o(Zr)-1Vr)

I為單位矩陣，定義特征矩陣為

Mc=(Zo)-1Zr→o(Zr)-1Zo→r

(13)

則由矩陣級數的求和理論，當Mc為收斂矩陣時，有

(14)

數值計算中，矩陣的階數必須適當的截斷，定義截斷階數為pPILE，結合式(12)和(14)可得

(15)

式中：

(16)

1.3 錐形入射波與散射系數

為避免人為截斷粗糙面引起的邊緣效應，采用錐形波入射[14]，限于篇幅，本文只考慮水平極化入射波情況，表達式為

ikzz)·ETE(kx，ky)h(-kz)

(17)

ikzz)·ETE(kx，ky)e(-kz)

(18)

exp(i(kixx+kiyy)(1+w))exp(-t)

(19)

其中

t=tx+ty=(x2+y2)/g2

g參數控制錐形入射波的寬度。

定義雙站散射系數

(20)

2.數值分析

2.1 算法的有效性與收斂性驗證

采用具有PM海浪譜的隨機粗糙面模擬實際海洋面[16]。PM譜是以風速為參量充分成長狀態的海浪頻譜，是由觀測得到的純經驗譜，三維PM譜具有如下形式

(21)

定義迭代誤差

(22)

式中：Ztotal表示總的阻抗矩陣，它既包括粗糙面的阻抗矩陣，又包括目標的阻抗矩陣；p表示階數。

以海洋粗糙面上方的金屬球體(見圖2)為例，驗證算法的有效性。球體位于海面的正上方，球心距離海面高度為H，海面大小為Lx×Ly=10λ×10λ，風速U19.5=5 m/s，此時海面方差h=0.133 4 m.入射波波長取λ=1 m，入射角θi=30o，φi=0o，φv=0，錐形波參數g=Lx/3.海面剖分密度為每平方波長上64個采樣點，產生6 400個采樣點，12 800個未知數，強作用距離rd=2.5λ.如無特殊說明，文中所有結果均是對相同參數粗糙面實現10次取平均的結果。圖3所示為球體半徑取0.5λ，高度H=1.0λ，p取不同數值時實現一次的散射系數，同時給出了誤差大小，并與運用傳統MoM得到的結果進行了對比。由圖3可知，隨著p的增大，誤差迅速減小，當p=2時兩種方法結果完全吻合。

圖2 海面上方的金屬球體

驗證算法的收斂性。其他參數不變，目標分別取半徑為0.5λ的球體、圓柱(底面半徑為0.5λ，高為1λ)、邊長為1λ的立方體，目標表面剖分的三角面元個數分別為1 038、1 485和1 884，距離海面高度H=1.0λ，目標尺寸相對于粗糙面的尺寸比較小(約為1： 100)，近似等效于目標與無限大粗糙面之間的相互作用，此時，目標可認為是平面波入射。圖4所示為由式(22)計算相應的迭代誤差隨階數p的變化結果，由圖可知，隨著階數p的增大，誤差成指數級衰減速度，且目標為球體時收斂速度最快，目標為立方體時收斂速度最慢，這是由于立方體目標體積較大，與海面相互作用較強造成的，但所有結果均滿足計算精度要求，證明了本文算法對任意形狀目標都具有良好的收斂性。計算所需時間見表1，可以發現，與MoM相比，E-PILE+SMFIA/CAG計算時間大大減少。

圖3 算法的驗證

圖4 迭代誤差變化趨勢

目標MoME-PILE+SMFIA/CAG球4 789784圓柱5 201856立方體6 6401 056

2.2 結果分析與討論

計算海面上方金屬球體的雙站散射系數，球體半徑R=0.5λ，高度H=1.0λ，收斂精度取τ≤1%(對應pPILE=2)。圖5(a)給出了HH和VH極化散射系數隨方位角θs變化情況，圖中還給出了只有海面時的散射系數，海面上方有無目標時HH極化和VH極化散射系數在鏡面放射方向均有峰值，當海面上方有目標時，散射系數在除鏡面方向外的角度范圍內明顯增大，尤其在后向散射方向更為明顯，同時由圖可知，VH極化散射系數要比HH極化散射系數小兩個數量級。HH和VH極化散射系數隨方位角φs的變化見圖5(b)(θs=θi=30°)，由圖可知，海面上有目標時，HH極化散射系數在20°～160°范圍內增大，在90°～150°范圍內變化最為明顯，VH極化散射系數在所有角度都增大。

(a) 散射系數隨高低角變化(φs=0°)

(b) 散射系數隨方位角變化(θs=30°)圖5 海面上球體散射系數

其他參數不變，令pPILE=4，圖6(a)和圖6(b)分別是海面上目標為圓柱和立方體時的散射系數，其中圓柱參數：底面半徑為0.5λ，高為1λ，立方體邊長為1λ.結合圖5(a)可知，當目標為立方體時散射系數最大，目標為圓柱時次之，當目標為球時散射系數最小，但都明顯強于無目標時海面的散射系數。這是由于立方體體積最大，與海面的相互作用較強。因此，當海面上方目標為立方體時散射系數變化最明顯，球體積最小，與海面的相互作用較小；當目標為球時散射系數變化最小。由此可知，海面上有目標時的散射系數明顯大于無目標時的散射系數，它們之間的差異正體現了目標與粗糙面的相互作用，并且它們之間的相互作用隨目標體積的增大而增強。同時由圖可知，當海面上方有目標時VH極化散射系數變化比HH極化散射系數變化明顯，這對地海面背景中目標的探測與識別具有一定的理論指導意義。

(a) 海面上方圓柱散射系數

(b) 海面上方立方體散射系數圖6 海面上目標散射系數

討論海面上方存在復雜目標的情況。海面上方目標為導彈模型(如圖1所示)，導彈模型見圖7，長度為4.9 m，彈體半徑為0.25 m，翼展為2 m.海面大小取Lx×Ly=40λ×40λ，剖分密度為每平方波長上64個采樣點，產生102 400個采樣點，204 800個未知數，為保證導彈與海面充分相互作用，取pPILE=5，其余參數不變。導彈距離海面高度分別取1λ、5λ和10λ，入射波從導彈頭部入射時散射系數如圖8(a)所示，此時入射角為φi=90°，入射波從導彈側面入射時(φi=0°)散射系數見圖8(b).由圖可知，隨著導彈距離海面高度增大，目標與海面之間相互作用減小，除鏡面方向外，在其余角度散射系數均逐漸變小。

圖7 導彈模型示意圖

(a) 入射波頭部入射(φi=90°)

(b) 入射波頭部入射(φi=0°)圖8 不同目標高度對應的散射系數

研究海面上風速對散射系數的影響。其他參數不變，導彈距離海面高度為5λ，海面上19.5 m處風速分別取3 m/s、5 m/s和7 m/s，相應的散射系數如圖9所示，其中圖9(a)是入射波從導彈頭部(φi=90°)入射的情況，圖9(b)是入射波從導彈側面(φi=0°)入射的情況。由圖可知，隨著海面上風速增大，海面粗糙度增大，鏡面散射逐漸減弱而漫散射增強，因此，鏡面方向散射系數減小，而其余角度散射系數均有所增強，VH極化表現的更為明顯。同時由圖可知，同圖8結果相似，入射波從側面入射時的散射系數明顯大于入射波從頭部入射時的情況，這是由于入射波從導彈側面入射時的雷達照射面積遠大于從頭部入射時的情況。

(a) 入射波頭部入射(φi=90°)

(b) 入射波側面入射(φi=0°)圖9 不同海面風速對應的散射系數

3. 結 論

結合SMFIA/CAG與基于RWG基函數的MoM，運用迭代數值法快速計算了二維粗糙面上方三維金屬目標的復合散射系數。該算法基于物理散射機理，理論簡明，易于編程實現，并且不受粗糙面與目標參數限制，可以計算復雜目標與粗糙面的復合散射，是一種計算二維粗糙面上方目標的復合電磁散射的快速有效算法。

結合PM譜的海洋粗糙面，應用該算法計算了海面上方典型目標的散射系數，驗證了算法的有效性，討論了算法的收斂性。結果表明：當海面上方有目標時散射系數明顯大于沒有目標時的情況。最后，運用該算法計算了海面上導彈目標的復合散射系數，并討論了目標高度以及海面上風速對散射系數的影響，結果表明：隨著目標高度增加，散射系數逐漸減小，隨著海面上風速增大，鏡面散射減小而漫反射增強。

[1] WANG X, WANG C F, GAN Y B, et al. Electromagnetic scattering from a circular target above or below rough surface[J]. PIER, 2003, 40: 208-226.

[2] 王 蕊, 郭立新, 王安琪. 不同土壤類型的粗糙地面與其下方埋藏目標復合電磁散射研究[J]. 物理學報, 2010, 59(5): 3179-3186.

WANG Rui, GUO Lixin, WANG Anqi. Investigation of electromagnetic scattering interaction between the buried target and the rough surface in different types of soil[J]. Acta Physica Sinica, 2010, 59(5): 3179-3186. (in Chinese)

[3] KUBICKE G, BOURLIER C, SAILLARD J. Scattering from canonical objects above a sea-like one-dimensional rough surface from a rigorous fast method[J]. Wave in Random and Complex Media, 2010, 20(1): 156-178.

[4] 姬偉杰, 童創明. 分層粗糙面下方介質目標散射的快速算法[J]. 電波科學學報, 2010, 25(2): 336-342.

JI Weijie, TONG Chuangming. Fast calculation of EM scattering from layered rough surfaces with buried dielectric target[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2010, 25(2): 336-342. (in Chinese)

[5] JOHNSON J T. A study of the four-path model for scattering from an object above a halfspace[J]. Microw Opt Technol Lett, 2001, 30(7): 130-134.

[6] 郭立新, 王運華, 吳振森. 二維導體微粗糙面與其上方金屬平板的復合電磁散射研究[J]. 物理學報, 2005, 54(11): 5130-5138.

GUO Lixin, WANG Yunhua, WU Zhensen. Electromagnetic scattering interaction between a conducting plate and a 2-D conducting slightly rough surface[J]. Acta Physica Sinica, 2005, 54 (11): 5130-5138. (in Chinese)

[7] 葉紅霞, 金亞秋. 三維隨機粗糙面上導體目標散射的解析-數值混合算法[J]. 物理學報, 2008, 57(2): 839-846.

YE Hongxia, JIN Yaqiu. A hybrid analytical-numerical algorithm for scattering from a 3-D target above a randomly rough surface[J]. Acta Physica Sinica, 2008, 57 (2): 839-846. (in Chinese)

[8] DENG Fangshun, HE Siyuan, CHEN Haitao, et al. Numerical simulation of vector wave scattering from the target and rough surface composite model with 3-D multilevel UV method[J]. IEEE Trans on Antennas Propag, 2010, 58(5): 1625-1634.

[9] KUANG Lei, JIN Yaqiu. Bistatic scattering from a three-dimensional object over a randomly rough surface using the FDTD algorithm[J]. IEEE Trans on Antennas Propag, 2007, 55(8): 1368-1376.

[10] EL-SHENAWEE M. The multiple interaction model for non-shallow scatterers buried beneath two dimen-sional random rough surfaces[J]. IEEE Trans on Geoscience and Remote Sensing, 2002, 40(4):982-987.

[11] CHEN Rushan, HU Yanqin, FAN Zhenghong, et al. An efficient surface integral equation solution to EM scattering by chiral objects above a lossy half space[J]. IEEE Trans on Antennas Propag, 2009, 57(11): 3586-3593.

[12] DECHAMPS N, DE BESUCOUDREY N, BOURLIER C, et al. Fast numerical method for electromagnetic scattering by rough layered interfaces: propagation-inside-layer-expansion method[J]. J Opti Soc Amer A, 2006, 23(2): 359-369.

[13] KUBICKE G, BOURLIER C, SAILLARD J. Scattering from canonical objects above a sea-like one-dimensional rough surface from a rigorous fast method[J]. Waves in Random and Complex Media, 2010, 20(1):156-178.

[14] TSANG L, KONG J A, DING K H. Scattering of Electromagnetic Waves: Numerical Simulations[M]. New York: John Wiley and Sons Inc, 2000: 278-285, 565-571.

[15] RAO S M, WLTON D R, GLISSON A W. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape[J]. IEEE Trans on Antennas Propagat, 1982, 30(3): 409-418.

[16] TOPORKOV J V, BROWN G S. Numerieal simulations of scattering from time-varying, randomly rough surfaees[J]. IEEE Trans on Geosciences and Remote Sensing, 2000, 38(4): 1616-1625.