極低頻垂直偶極子在地-電離層中場(chǎng)的數(shù)值積分算法

彭懷云 陶 偉 潘威炎 郭立新

(1.西安電子科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710071；2.中國(guó)電波傳播研究所，青島分所， 山東 青島 266071；3.海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430033； 4.海軍裝備研究院，北京 100161)

引 言

極低頻(ELF)是指30 Hz以下頻率范圍的電磁波，波長(zhǎng)范圍為10 000 km至100 000 km以上與地球周長(zhǎng)可比擬，可沿地-電離層空腔“繞行”幾周，會(huì)出現(xiàn)“駐波”現(xiàn)象，在一些特定頻率還將出現(xiàn)舒曼諧振，傳播有別于超低頻(SLF)以上頻段。由于ELF電磁波能夠滲透較深的地層，因此，在地質(zhì)探測(cè)方面，可根據(jù)地面上ELF頻段場(chǎng)強(qiáng)、相位以及表面阻抗隨頻率的變化，反演出接收點(diǎn)所在地域下面的地層導(dǎo)電率結(jié)構(gòu)。由于ELF場(chǎng)強(qiáng)、相位、舒曼諧振頻率對(duì)大范圍低電離層電子濃度的變化較為敏感，對(duì)這些參數(shù)的研究可以分析出太陽(yáng)風(fēng)暴、地震等自然現(xiàn)象對(duì)低電離層的影響，對(duì)監(jiān)測(cè)太陽(yáng)風(fēng)暴和地震的短臨預(yù)報(bào)等方面具有重要意義。

自20世紀(jì)50年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)SLF及以下頻段的傳播開(kāi)展了大量研究，主要有J. R. Wait[1]和J. Galejs[2]提出的地—電離層波導(dǎo)理論，以及Bannister提出的低頻場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算公式[3]。這些理論均對(duì)表征場(chǎng)強(qiáng)隨傳播距離變化的勒讓德函數(shù)，Pν[cos(π-θ)],在ν<1的條件下(頻率較高時(shí))利用漸近式進(jìn)行了近似，其適用范圍為SLF頻段和ELF頻段的高頻端，難以計(jì)算更低頻率的ELF傳播場(chǎng)。1999年Donald E. Barrick[4]提出了ELF垂直電偶極子在地—電離層腔體中的球諧級(jí)數(shù)算法，并針對(duì)地面和電離層都為理想導(dǎo)體的情況進(jìn)行了計(jì)算分析。國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)此問(wèn)題，利用球諧級(jí)數(shù)算法和時(shí)域有限差分法(FDTD)算法也進(jìn)行了相關(guān)分析[5-6]，但這些方法收斂緩慢，計(jì)算效率不高。

鑒于上述情況，將分析ν<1時(shí)，勒讓德函數(shù)Pν[cos(π-θ)]的直接積分計(jì)算方法，提出適于ELF頻段地—電離層空腔傳播的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算方法。

1. 理論分析

如圖1所示的球坐標(biāo)系，場(chǎng)源為位于θ=0，r=a+z0處的垂直電偶極子，地面和電離層理想化為位于r=a和r=a+h處的兩個(gè)均勻反射壁，其導(dǎo)電率分別用σg和σi表示。場(chǎng)強(qiáng)觀察點(diǎn)位于r=a+z處，取時(shí)諧因子為e-iωt，則在地-電離層空腔中傳播的SLF及以下頻段的場(chǎng)可表示為[7]

圖1 地-電離層空腔模型

Pν(cos(π-θ))]

(1)

(2)

(3)

式中：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

在ELF頻段，Δi和Δg都很小，故存在近似

(11)

(12)

為便于后續(xù)分析計(jì)算，若令

(13)

利用公式

可得

(14)

則式(1)～(3)可改寫為

Fn(z)Fn(z0)φ(ν,θ)]

(15)

(16)

(17)

式中：φ(ν,θ)的計(jì)算成為ELF在地-電離層空腔中傳播計(jì)算的核心問(wèn)題。以下工作為對(duì)φ(ν,θ)的計(jì)算研究。

2． φ(v,θ)的計(jì)算

根據(jù)參考文獻(xiàn)[8]中的式(8.823)

(18)

式中：

(19)

φ(ν,θ)的積分核函數(shù)在t=π-θ時(shí)存在奇點(diǎn)，可以分成兩部分處理，即

φ(ν,θ)=I1+I2

(20)

式中：

(21)

I1可以利用梯形或辛普森數(shù)值積分法算出，令，π-θ-s=t,則I2可改寫為

(22)

3. 計(jì)算分析與討論

3.1 φ(ν,θ)的計(jì)算結(jié)果分析

除了本文中采用的計(jì)算方法外，φ(ν,θ)的計(jì)算還存在以下兩種較為便捷的計(jì)算方法

1) Pν[cos(π-θ)]可展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式

此方法可以計(jì)算ν為任意值時(shí)的φ1(ν,θ)，若選取地球半徑a=6 370 km，電離層等效高度h=70 km,σg=10-3S/m,σi=10-5S/m,ν的實(shí)部和虛部隨頻率的變化如圖2所示。

圖2 的實(shí)部和虛部隨頻率的變化

為比較不同階數(shù)求和對(duì)φ1(ν,θ)值的影響，選取n=100、200、500，此時(shí)20lg(φ1/φ)的變化情況，如圖3所示。

圖3 不同求和階數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響

由圖3可以發(fā)現(xiàn)：隨著n的增加，級(jí)數(shù)形式的計(jì)算結(jié)果與本文提出的直接積分計(jì)算方法結(jié)果逐漸接近；當(dāng)ν?1時(shí)，需取n>500才能獲得高精度結(jié)果，Pν[cos(π-θ)]的級(jí)數(shù)形式方法在頻率較低，ν較小時(shí)，具較高計(jì)算效率。

2) 當(dāng)ν?1，Im(ν)>0，θ<π時(shí)，存在如下漸近式[7]

利用圖2所示的ν作為輸入?yún)?shù)，計(jì)算f=10 Hz，30 Hz，100 Hz條件下的φ(ν,θ)、φ2(ν，θ)隨θ的變化情況，如圖4所示。從圖4可以明顯看出：頻率越低，ν越小，φ(ν，θ)與φ2(ν，θ)的差異越大，即漸近式方法在頻率較低情況下存在較大計(jì)算誤差。

圖4 不同頻率φ與φ2的差異

圖5 指定θ時(shí)φ與φ2的差異隨頻率變化

當(dāng)θ=π/6，π/2，5π/6時(shí)，漸近式計(jì)算方法與直接積分計(jì)算方法的差異如圖5所示。可看出隨著頻率的降低，兩種算法差異逐漸增加，頻率在50 Hz以下差異可達(dá)0.5 dB以上，30 Hz以下差異達(dá)1 dB以上，5 Hz以下差異達(dá)6 dB以上。說(shuō)明在ELF頻段漸近式計(jì)算方法不適用。

數(shù)值積分計(jì)算方法相較于其他兩種算法具有計(jì)算精度高、效率高的特點(diǎn)，適合于ELF頻段的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算。

3.2 ELF場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算分析

如圖6～8所示，利用數(shù)值積分算法計(jì)算出頻率f=1 Hz、3 Hz、5 Hz、10 Hz、20 Hz、30 Hz的ELF電磁波，在電離層等效高度h=70 km，地球半徑a=6 370 km，地面導(dǎo)電率為σg=10-4S/m，電離層導(dǎo)電率為σi=10-5S/m條件下，場(chǎng)強(qiáng)隨傳播距離的變化。從中可以發(fā)現(xiàn)如下特點(diǎn)：

1) 經(jīng)短大圓路徑和長(zhǎng)大圓路徑傳播的電波過(guò)對(duì)極點(diǎn)后相互疊加，產(chǎn)生“干涉”現(xiàn)象。頻率越高，“干涉”現(xiàn)象產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)波動(dòng)越“劇烈”，越靠近對(duì)極點(diǎn)，頻率越低，“干涉”現(xiàn)象產(chǎn)生的波動(dòng)越“舒緩”，場(chǎng)強(qiáng)波動(dòng)谷值逐漸靠近源點(diǎn)；

2) 隨著頻率的降低，垂直偶極源產(chǎn)生的垂直電場(chǎng)分量Er變化相對(duì)平緩，當(dāng)頻率低至1 Hz以下，在1 000 km后場(chǎng)強(qiáng)近似趨于恒定。由于頻率較低時(shí)，地-電離層空腔可傳播模為橫電磁波(TEM)模，其ν→0，則決定場(chǎng)強(qiáng)隨傳播距離變化的因子，Pν(cosθ(π-θ))→1,φ(ν,θ)→1/(νπ)，即場(chǎng)強(qiáng)隨傳播距離的變化較小，趨近恒定。物理解釋為：在ELF頻段，電波波長(zhǎng)與地球周長(zhǎng)可比擬，電波在地—電離層空腔中以“駐波”方式存在，在更低的1 Hz以下頻段，電波波長(zhǎng)可為地球周長(zhǎng)的十幾、幾十倍，甚至更多倍，因此，其在幾個(gè)地球周長(zhǎng)內(nèi)的不同路徑的電波相位相差很小，總場(chǎng)接近于不同傳播路徑電場(chǎng)的同相疊加，因此“干涉”現(xiàn)象逐漸減弱直至消失，總場(chǎng)在遠(yuǎn)離源點(diǎn)時(shí)趨于基本恒定；

3) 水平電場(chǎng)Eθ和磁場(chǎng)Hφ隨傳播距離變得基本相似，由于采用球形對(duì)稱模型，垂直電偶極子激勵(lì)的水平電場(chǎng)Eθ和磁場(chǎng)Hφ在對(duì)極點(diǎn)將為0，所以在對(duì)極點(diǎn)附近Eθ和Hφ急劇下降。

圖6 垂直電場(chǎng)分量隨傳播距離變化

圖7 水平電場(chǎng)分量隨傳播距離變化

圖8 水平磁場(chǎng)分量隨傳播距離變化

3.3 舒曼諧振計(jì)算分析

當(dāng)選取電離層高度h=70 km，地、電離層為無(wú)損耗媒質(zhì)(即地、電離層導(dǎo)電率為∞)時(shí)，在θ=π/6處，垂直電場(chǎng)分量Er隨頻率的變化如圖9所示，在頻率f=10.6 Hz、18.3 Hz、25.9 Hz處出現(xiàn)峰值。出現(xiàn)峰值的頻率與文獻(xiàn)[7]給出的無(wú)損耗腔體中的諧振頻率完全一致，印證了本文算法的正確性和精度。

對(duì)于如圖10所示的有耗媒質(zhì)腔體，其諧振頻率附近場(chǎng)強(qiáng)也存在峰值，但相較于無(wú)損耗媒質(zhì)腔體場(chǎng)強(qiáng)變化相對(duì)“平緩”，且諧振頻率也有所降低。結(jié)合圖10、圖11所示的不同電離層導(dǎo)電率、不同電離層等效高度的舒曼諧振頻率變化情況，可以發(fā)現(xiàn)舒曼諧振頻率對(duì)地、電離層的導(dǎo)電率變化較為敏感，存在如下規(guī)律：

1) 電離層導(dǎo)電率越高，即電子濃度越大，諧振頻率越高；

2) 電離層等效高度越高，諧振頻率越高。

圖9 無(wú)損耗腔體中諧振現(xiàn)象

圖10 不同導(dǎo)電率地-電離層腔體中諧振現(xiàn)象

圖11 不同電離層等效高度的諧振

4． 結(jié) 論

針對(duì)ELF電磁波在地—電離層空腔中的傳播問(wèn)題，采用直接積分法計(jì)算含有勒讓德函數(shù)的Φ(ν,θ)，相比于漸近法和級(jí)數(shù)展開(kāi)方法，具有計(jì)算精度高、效率高的特點(diǎn)。通過(guò)后續(xù)場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算和舒曼諧振現(xiàn)象分析，認(rèn)為數(shù)值積分方法更適合于ELF頻段的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算。

[1] WAIT J R. Electromagnetic Waves in Stratified Media[M]. Class Reissue Edition. Piscataway: IEEE Press, 1996.

[2] GALEJS J. Terrestrial Propagation of Long Electromagnetic Waves[M]. Oxford: Pergamon Press, 1972.

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[5] 王元新, 樊文生, 潘威炎. 垂直電偶極子在地-電離層波導(dǎo)中場(chǎng)的球諧級(jí)數(shù)解[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 22 (2): 204-211.

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DONG Hui, YAN Yubo, LI Qingliang. FDTD analysis of fields excited by horizontal electric dipole in asymmetric earth-ionosphere cavity[J].Chinese Journal of Radio Science, 2010, 25(2): 366-370.(in Chinese)

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[8] GRADSHTEYN I S, RYZHIK I M. Table of Integrals, Series, and Products[M]. New York: Academic Press, 1980.