基于時域多分辨法微帶線串擾分析

趙孔瑞 于長軍 周共健 權太范

(哈爾濱工業大學電子與信息工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

引 言

時域有限差分法(FDTD)是電磁場數值計算最流行的計算方法之一，幾乎被應用到電磁場工程中的各個方面[1-3]。雖然，FDTD法有突出的優越性，但是存在數值色散特性，計算電大目標時會導致明顯的誤差，同時由于網格區間離散化使得網格數目巨大，消耗大量的存儲空間和CPU時間。20世紀90年代引入小波多分辨思想的時域多分辨分析方法(MRTD)被提出來[4]，并得到了基于Battle-Lemarie尺度函數的多分辨分析法。MRTD是將電磁場用尺度函數或小波函數作為基函數展開，采用小波伽遼金法[5]對麥克斯韋(Maxwell)方程進行離散化，得到一種與FDTD法有關又有深刻意義的全新時域計算方法。與FDTD法相比，MRTD具有良好的數值色散特性[6]，減少了計算網格數，使電磁場時域計算效率大大提高。

MRTD法與FDTD法相類似，一個重要的問題就是吸收邊界條件的處理，吸收邊界直接影響到MRTD計算是否精確。1996年Gedney S D提出了各向異性理想匹配層(APML)吸收邊界條件[7]，與Berenger完全匹配層[8]相比，APML能應用于一般形式的Maxwell方程中，物理機制明確。在MRTD實現時，不需要像Berenger完全匹配層那樣進行場分裂和額外的分裂場中間變量，減小了數值實現的難度和計算機內存使用。在MRTD算法中，常用Haar小波、Battle-Lemarie小波和Daubechies小波的尺度函數作為基函數[9-10]，這些基函數在應用時本身具有缺陷，比如Haar尺度函數不具有連續性，影響了數值特性；Battle-Lemarie尺度函數不具有緊支性，在截斷近似時引入了截斷誤差；Daubechies尺度函數雖緊支但不具有對稱性，不具有線性相位。綜合以上分析，本文采用具有緊支撐和對稱性的CDF(2,6)尺度函數作為基函數得到APML的MRTD形式，由于CDF(2,6)尺度函數同時具備緊支撐、消失矩和對稱性，緊支撐減小了考慮的項數、簡化了計算和吸收邊界的處理難度；對稱性保持了線性相位，防止分解和重構時產生失真。

目前，MRTD在波導電路、濾波器、散射特性分析等領域[11-12]有較多應用。1999年袁征宇等將MRTD算法在Mur’s吸收邊界條件下對無限長微帶線進行了計算[13]，但是MRTD算法在微帶線串擾分析上幾乎空白，集總元件的模擬問題需要解決。因此，基于CDF(2,6)的MRTD算法分析某高頻地波雷達控制系統印刷電路板上兩根平行微帶線的串擾問題。仿真結果表明：與傳統的FDTD法相比，具有計算速度快、精度高、內存使用少等優勢。

1．理論分析

1.1 基于CDF(2,6)尺度函數的APML吸收邊界

對各向異性無損耗媒質空間，Maxwell方程的表達式為

(1)

(2)

式(1)和式(2)定義了APML媒質張量系數的時諧Maxwell方程。式中

(3)

式中變量s定義為

(4)

由于APML中媒質色散并且為各向異性，為得到MRTD的高效表示，必須采用輔助差分方程法。以式(1)和式(4)為例，APML中安培定律表示為

(5)

為簡化計算引入中間變量，令

(6)

(7)

(8)

式(5)可表示為

(9)

將式(4)代入式(9)，進行傅里葉反變換得到時域形式為

(10)

以式(6)中Dx為例從頻域到時域轉換可得

(11)

為了得到APML的MRTD格式，以式(10)的第一個微分方程

(12)

為例。

將Maxwell方程中的電場和磁場分量用CDF(2,6)尺度函數展開，可得

(13)

(14)

φi+0.5(x)φj(y)φk+0.5(z)

(15)

φi+0.5(x)φj+0.5(y)φk(z)

(16)

h和φ可以為各類尺度函數，在時間上定義h(t)為Haar尺度函數，hn(t)、φi(x)定義為

(17)

(18)

將式(13)～(16)代入到式(11)和式(12)中，再應用小波伽遼金法，將hn+0.5(t)φi+0.5(x)φj(y)φk(z)作為權函數對式(11)和式(12)進行檢驗，可得到以下兩式

(19)

(20)

式(19)和式(20)為方向電場分量的MRTD迭代形式，其他電場分量和磁場分量采用類似方法也可以得到MRTD下的顯式遞推公式。α(l)在l>0時的取值如表1所示。

表1 CDF(2,6)尺度函數對應的α(l)

由于CDF(2,6)尺度函數是緊支撐的，a(l)是有限長，l≤0時的值可由a(l)=-a(1-l)得到。其中

a(l)的值可由數值積分得出。

1.2 MRTD下集總元件模擬

實際微帶電路的電磁場問題包含激勵和負載，需要恰當地將激勵源和負載引入到MRTD網格中以正確地模擬電磁場問題。在FDTD中，集總元件的模擬已經采用擴展Maxwell方程法[14-15]得到了很好的解決。在MRTD形式下，采用與其相似的方法得到適用于任意尺度函數的集總元件模擬方法。

假設集總元件尺寸小于一個元胞的大小，在磁場旋度方程中增加集總元件電流JL，JL項代表集總元件的貢獻，得到如下擴展方程

(21)

式中：JC=σE為傳導電流，而JL為集總元件電流。設JL沿ez方向，JL與集總元件總電流IL之間的關系為

(22)

于是，Ez分量的FDTD關系為

(23)

式中設集總元件處于介質基板中，介質基板的電導率σ=0，傳導電流JC=0，且集總元件電流IL位于Ez節點位置,集總元件的位置為真空，該點的介電常數ε=ε0.假使微帶線負載為阻抗電壓源，源電壓為Us，內阻為Rs，IL的值為

(24)

式(23)變為

(25)

將Ez分量及Hx、Hy以CDF(2,6)尺度函數展開代入式(25)，并用小波伽遼金法檢驗得到MRTD下的差分格式為

(26)

對于電阻R的模擬，將Us值置零即可得到只有電阻時的MRTD差分格式，該迭代式適用于任意尺度函數。

2． 實驗結果分析

2.1 吸收邊界條件驗證

為了驗證MRTD下APML的正確性，對平行微帶線進行建模仿真，模型如圖1所示。

圖1 平行微帶線串擾模型平面圖

微帶線寬W=3.2 mm；

微帶線長度L=40 mm；

微帶線間距S=9.6 mm；

基板厚度H=1.6 mm；

基板的相對介電常數εr=4.4.

為防止因網格間距過大引起不必要的數值反射，FDTD網格間距要小于最小波長的十分之一，因此,選取如下網格參數：

FDTD網格間距Δx=Δy=Δz=0.2 mm；

MRTD網格間距Δx=Δy=Δz=0.4 mm；

為了分析近端和遠端串擾系數隨頻率的變化，需要激勵源具有寬帶特性，選擇電壓源為高斯脈沖Vs(t)=V0e-(((t-t0)/T)2)，其中，T表示高斯脈沖的脈沖寬度，為了使高斯脈沖在t=0時近似為零，近似激勵從零開始激勵，選取t0=3T，仿真過程中選取T=30 ps，V0=1.電壓源的內阻設為50 Ω，當阻抗匹配時，微帶線的負載也為50 Ω.為了驗證基于CDF(2,6)尺度函數的APML的吸收效果，模擬在上述阻抗電壓源激勵下無限長微帶線，計算的端口電壓如圖2所示。

圖2 MRTD和FDTD下的無限長微帶線電壓值

由圖2結果可知：無限長微帶線經阻抗電壓源激勵后，電場和磁場隨著時間的傳播，電壓值逐漸衰減為零，幾乎沒有產生反射，說明基于CDF(2,6)的APML具有良好的吸收效果；同時，電磁場在微帶線上傳播到峰值處時，基于CDF(2,6)的MRTD計算得到的峰值更接近激勵源的峰值，這是因為尺度函數對稱性保持了線性相位，防止分解和重構時產生失真。可見本文提出的MRTD算法具有良好的吸收效果，且能更精確地模擬集總元件的物理特性。

2.2 近端串擾和遠端串擾系數計算

仍然采用上述模型計算，得到MRTD和FDTD下近端串擾系數和遠端串擾系數如圖3和圖4所示。

圖3 MRTD和FDTD下的近端串擾系數S31對比

圖4 MRTD和FDTD下的遠端串擾系數S41對比

由圖3和圖4的仿真結果可知，基于APML吸收邊界的MRTD法計算結果與FDTD結果基本一致，從而驗證了該算法的正確性，同時該方法相比廣泛應用的基于分裂場的PML吸收邊界條件減小了中間變量的使用，簡化了MRTD下吸收邊界的處理難度，可以應用到微波電路的分析當中。又因為MRTD算法中采用的網格間距是FDTD下網格間距的2倍，所以MRTD的網格數目成級數倍數減小，計算效率得到了提高，兩種算法計算效率對比如表2數據所示。

表2 MRTD與FDTD算法計算效率對比

由表2可知，MRTD與FDTD網格總數目為1∶8，模型仿真運行時間比為1∶3.35.可以說明，MRTD相比FDTD具有更高的計算效率，FDTD法因為數值色散性質的限制，網格尺寸不能取的太大，然而對于非單位長度緊支撐長度的尺度函數，MRTD在每個波長的采樣間隔在理論上可以達到奈奎斯特采樣極限，所以MRTD計算大目標可以以幾何級的量級節省計算機內存，是解決復雜電大目標電磁場數值計算問題的有效計算方法。

3． 結 論

以高頻地波雷達電子設備印刷電路板(PCB)介質板的電磁兼容研究為背景，研究了MRTD的計算精度和效率問題。

1) 推導出了CDF(2,6)下基于APML的MRTD法，因基函數CDF(2,6)具有緊支性和對稱性，該基函數下的APML相比較廣泛應用的Berenger完全匹配層避免了電磁場的分裂，減小了數值實現的難度，保持了計算精度；尤其是處理復雜的電大尺寸目標電磁計算具有明顯的優點。

2) 為了對微帶線串擾模擬，根據擴展Maxwell方程得到了適用于任意尺度函數的MRTD電阻和阻抗電壓源迭代格式，并應用到微帶線的串擾中。

3) 把MRTD法首次應用于PCB板上平行微帶線串擾的仿真計算中。仿真結果表明：與傳統的FDTD相比，其仿真結果基本一致。但基于CDF(2,6)尺度函數的MRTD法需要的網格數只有FDTD法的一半，計算速度提高了3倍，節省了計算機內存、提高了計算速度。

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