基于改進閾值函數和自適應閾值的小波去噪方法

周 帥，左東廣

(第二炮兵工程大學 1系，陜西西安 710025)

近年來由于小波理論的不斷發展，小波的應用也越來越廣泛。小波分析方法是近年來發展起來的一種多分辨分析工具，目前已成功應用于信號處理等工程領域。在信號處理中，利用小波變換給信號去噪同樣受到了許多學者的重視。在對小波去噪方法的研究中，出現了許多不同的基于小波變換的信號去噪方法，其中小波閾值去噪方法得到越來越廣泛的應用［1］。

1 小波去噪原理

小波變換是一種重要的時頻描述方法，具有較好的時頻局部化性能。由小波變換理論可知其具備以下特點［2］:

(1)時頻局部化。即小外波變換可定位出信號發生突變的時間和位置。

(2)多分辨率。即小波變換可以在不同尺度上刻畫信號的局部性能，如邊緣和斷點等。

(3)選基靈活性。即小波變換可以根據信號本身的特點，選擇適當的小波基函數，以便更好地逼近原始信號。

(4)去相關性。信號經小波變換后可以使大部分能量集中在少數幾個小波系數上。

與傳統的去噪理論相比，小波變換的時頻局部化和多分辨率性能夠在去除信號噪聲的同時，較好地保留信號的突變部分或圖像的邊緣和紋理信息。隨著小波分析理論的逐漸成熟，其應用領域也越來越廣泛。小波信號去噪的本質在于根據信號和噪聲變換后的系數在不同尺度上具有不同性質這一原理，采用適當的數學方法對含噪信號的小波系數進行處理，其實質在于減少或去掉有噪聲產生系數的同時，最大限度地保留信號產生的系數，最后根據小波的性質，把經過處理的小波系數重構以得到去噪后的信號。從數學角度看，信號的小波去噪是一個函數逼近問題，即是如何在由母函數平移和伸縮展開的函數空間中，根據一定衡量準則，尋找對原始信號的最真實的逼近，從而實現原始信號和噪聲信號的區分，達到信號去噪的目的。從信號處理角度來看，小波去噪是一個信號低通濾波的問題。因此，小波去噪可以看成低通濾波和特征提取的結合［2－4］。

2 小波閾值去噪的一般步驟

一個含噪的一維信號的模型可以表示成

其中，f(i)是真實信號;e(i)是噪聲信號;s(i)是含噪信號，i=0，1，…，n－1。

在實際工程中，有用信號通常表現為低頻信號或者一些比較平穩的信號，而噪聲信號通常表現為高頻信號。去噪過程可以按以下方法處理:首先對信號進行小波分解，以3層為例，如圖1所示，那么噪聲通常包含在cd1，cd2和cd3中，接著對分解后的小波系數進行閾值處理，利用處理后的小波系數重構信號，這樣就達到了去噪的目的。

圖1 三層小波分解結構圖

由上可得具體的閾值去噪步驟為［5］:

(1)對帶噪聲的語音信號進行小波變換，得到不同尺度上的子波信號，將有用信號和噪聲分開。這過程中涉及以下幾個重要部分:

1)確定小波基及其階數。小波基的階數不同，則表現信號局部特點的能力也不同。一般情況下，階數越高越能很好地表征信號局部特點，但計算量也會相應變大，當階數＞5階時，小波基階數的提高對提高表征信號能力的影響較小，因此一般選取階數約為5～8。

2)確定小波變換的次數。當信號中白噪聲的含量較多時，小波變換尺度要大一些，即小波變換次數要多一些，但相應地會增大計算量;相反的當信號中含噪聲較少時，小波變換的尺度即變換次數可以少些，計算量也會相應的減少。

3)小波變換。通過選取合適的小波變換參數進行小波變換，就可得到不同尺度上的小波信號。

(2)確定各層小波信號的去噪閾值門限。

(3)選取閾值函數。

(4)小波逆變換。進行小波逆變換將經過閾值處理的小波系數進行信號重構，得到恢復的原始信號的估計值。

在上述的閾值去噪步驟中，合適的小波基、小波分解層數、閾值以及閾值函數直接影響去噪效果，其中閾值和閾值函數的選取至關重要。

3 小波閾值函數

3.1 傳統的閾值函數

Donoho提出基于小波閾值的去噪方法，該算法在最小均方差意義下可以達到近似最優。根據其算法可以得出對小波系數處理的軟、硬閾值函數。

硬閾值函數為

將小波分解后的系數的絕對值與閾值λ進行比較，小于閾值的點變為0，大于或等于閾值的點保持原值。在硬閾值處理過程中，由于硬閾值函數在整個小波區域內是不連續的，在λ和－λ處存在間斷點，因此得到的估計小波系數值連續性差，可能引起重構信號的振蕩。

軟閾值函數為

軟閾值方法處理后，小波系數值雖然連續性好，不存在間斷點問題，易于處理，但由于當小波系數較大時，得到的估計小波系數值與原來的小波系數值有固定的偏差，也會給重構信號帶來不可避免的誤差［6］。此外，軟閾值對大于閾值的小波系數采取恒定值壓縮，這與噪聲分量隨著小波系數增大而逐漸減小的趨勢不相符。

在式(2)和式(3)中，wj，k表示信號分解的小波系數;j，k表示閾值方法得到的小波系數估計值;λ為閾值

其中，σ為噪聲標準差，可以用以下經驗公式進行估計

3.2 改進的閾值函數

由于軟、硬閾值函數自身都存在一些缺陷，使重構信號存在一定的偏差，并且還會出現振蕩，因此需要對閾值函數進行改進，改進的思想是要讓小波系數的偏差盡量減小，要在小波空間中連續，還要具有高階導數，為此，本文引入一種改進的閾值處理函數［7－8］

式(6)中，m、n、k是改進閾值函數的調整因子，它們增強了閾值函數的靈活性。參數m、n決定了閾值函數的形式，參數k的取值在0～1之間，若k取0，則該閾值函數相當于軟閾值函數，若k取1，則該閾值函數相當于硬閾值函數。因此，可調節參數k能夠克服硬閾值函數的不連續性和軟閾值函數在處理小波系數時存在的恒定偏差，同時也保留了軟、硬閾值原有的優點。改進的閾值函數具有無窮階連續導數，為小波自適應閾值的選取提供了基礎。改進的閾值函數圖如圖2所示。

圖2 改進的閾值函數圖

4 自適應閾值選取算法

傳統的閾值函數會產生過扼殺現象，在實際應用中效果欠佳。由于噪聲具有負奇異性，其幅度和稠密度隨尺度增加而減小，但信號則相反。隨著尺度級數的增加，由噪聲所控制的模極大值的幅度和稠密度會快速減少，而信號的模極大值的幅度和稠密度會明顯增大。可見，在同一級尺度上都采用同一閾值顯然不合適，因為在較低尺度上，會去除有用信息，在最大尺度上會留下部分噪聲［9－10］。

自適應閾值是一種采用最小風險量所對應的小波變換系數作為閾值的自適應閾值選取算法。由巴什瓦定理可知，小波分解后系數的平方具有能量的量綱，因此，將分解后的小波系數平方后排序，給定一個閾值，求出對應的風險值，即得到它的似然估計，進行非似然最小化，得到所選的閾值，這是一種軟閾值估計器。其具體算法［11］為:

(1)將每一層的小波變換后的系數經過平方由小到大排列，得到一個向量w=［w1，w2，…，wn］，其中w1≤w2≤…≤wn，n為小波系數的個數。

(2)計算風險向量R=［r1，r2，…，rn］，則

其中，ri為引入的風險向量元素，將上式多次迭代得出最小的ri，記為r0，并求出與之對應的wi記為w0。

(3)計算閾值 λ=σ(w0)1/2，其中 σ 的求解見式(4)。

按照上述算法將每一級尺度都看作相互獨立，計算出一個與之最匹配的閾值進行降噪，最后再用各個尺度上降噪處理后的小波系數來重構信號。

5 仿真實驗分析

為驗證改進閾值方法的去噪效果，通過Matlab中的Wnoise函數構造一個長度為含噪信號，其噪聲標準差為2，然后利用Sym8小波作為小波函數，分解層數為5層，采用改進閾值函數和自適應閾值去噪方法進行去噪，并與傳統的軟、硬閾值函數去噪方法進行比較，下面給出了信號在3種閾值函數下的去噪效果圖。

圖3 不同閾值函數去噪效果圖對比

表1給出了含噪信號經過3種不同閾值函數的信號去噪方法處理后的信噪比和標準差的數據對比。

表1 不同閾值函數的去噪效果數據分析

通過從以上仿真圖和數據分析對比表可以看出，采用改進閾值函數和自適應閾值的信號去噪效果要優于傳統的軟閾值去噪和硬閾值去噪效果，能有效地克服軟閾值去噪方法中由于估計值與真實值之間的恒定偏差而帶來的去噪誤差，也能有效地抑制硬閾值去噪方法中易產生的信號振蕩現象，較好地保留了信號的細節部分。

6 結束語

根據小波閾值去噪基本原理，提出了一種改進閾值函數和自適應閾值的信號去噪方法，改進的閾值函數兼顧了硬、軟閾值函數的優點，同時又在一定程度上彌補了兩種方法存在的不連續、振蕩等缺陷。通過仿真實驗可以看出，去噪效果無論在視覺上還是在去噪后信號的信噪比上都有了明顯的改善，而且較好地保留信號的細節部分，提高了信號去噪的恢復能力。

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