用于縱向道路附著系數評估的簡化輪胎模型

邊明遠

(清華大學汽車安全與節能國家重點實驗室，北京 100084)

汽車的運動依賴于車輪所受到的路面作用力(力矩)，所有這些路面作用力(力矩)都是車輪滑移(轉)率、側偏角、車輪載荷、道路附著系數以及車身速度等反映地面及車輛動力學狀態的參量的函數。地面－車輛力學模型研究的目的在于有效而精確地揭示路面與輪胎界面之間的力學狀態和規律，適當地表述上述各參量之間的函數關系。為實時掌握車輛力學狀態，探索地面與輪胎間縱向附著系數與車輪滑移率、車速等其他車輛的動力學參數之間的函數關系就顯得至關重要。

對于道路附著狀況的評估主要有2種方式:一是通過試驗儀器測量，二是利用數學模型進行評估。通過儀器測定道路附著系數的試驗存在可重復性差、成本高及影響因素多等問題［1］，所以，近年來有關用數學模型計算、評估道路實際附著系數的研究得到了長足的進步。車輛加速度、滑移率、側偏角等參量與附著系數的變化關系被以數學函數的方式更為精細地描述出來［2－6］。

輪胎模型的構造一般分為物理模型和經驗模型2種。物理模型對輪胎本身特性參數的依賴性較大，這些參數往往需要經過試驗來獲得，這在一定程度上限制了它的應用。鑒于此，采用經驗模型對道路附著系數評估的方法得到了廣泛應用。

1 經驗輪胎模型研究

與理論模型相對應的是經驗模型或半經驗模型，這些模型通過對大量反映輪胎力特性的試驗數據進行分析，能將地面－輪胎之間的力學特性通過含有擬合參數的公式有效地表達出來。Pacejka的魔術公式是在汽車操縱動力學研究領域比較流行的公式，它用三角函數的組合公式擬合試驗輪胎數據，用一套形式相同的公式就可以完整地表達縱向力、橫向力、回正力矩以及縱向力和橫向力聯合作用等工況。該模型的一般表達形式為

其中:Y表示側向力、縱向力或回正力矩;X表示側偏角α或車輪滑移率S;D、C、B、E分別為確定曲線的峰值、形態、剛度、曲度等因素的參數，由車輛所處的行駛環境、車速、車輛載荷等因素來確定;Sv和Sh分別代表曲線在水平及垂直方向的漂移。

魔術公式基于大量的試驗數據擬合而成，對車輪縱向力、側向力等擬合精度較高。但它是由三角函數組合而成的復雜的非線性函數，而且該模型中需要確定的未知因子也較多，故計算量較大。

近年來，考慮到Pacejka等模型形式復雜、計算量較大等因素，以更簡單的方式描述車輪與地面間附著系數的數學模型的研究得到了一定的發展。雙線性的輪胎模型、非線性多項式模型、指數－線性多項式組合模型以及雙指數多項式模型等在道路縱向附著系數的評估中都有所應用［1，7－9］。總的來說，這些模型在限定的工況下可以實現對道路附著系數的良好估計，但各自也都存在著一定的不足和局限性，魔術公式仍以其對輪胎力學特性的精確描述而成為車輛動力學仿真中參考的一個基準。

2 基于魔術公式的簡化輪胎模型

魔術公式應用的一個困難，是其復雜的結構所導致的較大的數學運算量;另外，魔術公式中含有4個待定的未知參數，在車輛動力學仿真過程中首先必須對這些參數進行確定。很多文獻中在一定的工況下(如一定路面狀況下)往往將這些參數作常數對待，不能實時捕捉道路附著系數隨車輛行駛狀態以及行駛環境等信息變化的規律。所以，作為一個準靜態的計算模型，魔術公式在模擬車輪－地面力學界面的動態特性時有一定的局限性。

很多文獻對魔術公式中各因子的確定方法進行了研究。文獻［5］通過對試驗數據的擬合，將魔術公式中的B、C、D、E等參量描述為車速、車輪載荷、車輪側偏角、道路狀況等因素的函數;文獻［10］通過最優化的方式對魔術公式各因子的確定進行了探討，但忽略了各參量的動態特性，得到的僅是一組靜態解;文獻［11－12］通過增加2個附加的參數C1和C2來對不同路面狀況下魔術公式各因子的變化進行描述。在以上各方法中普遍用到了解多元方程組的手段，但由于魔術公式本身結構的復雜性，使得待解的多元三角函數方程組結構復雜，求解過程運算量大，不利于車輛動力學仿真中對道路附著系數的實時動態模擬。

本文在總結魔術公式的基礎上嘗試采用更簡單的方法對道路縱向附著系數進行評估。考慮道路附著系數隨車輪滑移率等因素產生非線性變化的規律，本文采用和魔術公式相似的正弦函數形式，提出一種如式(2)所示的描述車輪純縱滑工況下縱向道路附著系數的計算模型:

與魔術公式一樣，此模型中D、C、B分別為峰值因子、形狀因子和剛度因子，它們共同確定μ－S曲線的形狀和特征。峰值因子D是在一定工況下縱向附著系數的最大值μxp，相應的車輪滑移率即為最佳車輪滑移率Sxm。通過對試驗數據的擬合，路面狀況是影響道路附著系數的一個主要因素，不同路面工況的差異都會導致縱向附著特征的不同，而最主要的影響在于道路的峰值附著系數以及相對應的車輪滑移率。表1為幾種常見路面狀況下縱向的峰值附著系數以及對應的最佳滑移率［5］。

表1 常規路面工況下的縱向附著特征

表1中表達附著特征的參數往往出現在一個范圍內，這是因為這些參數除了與路面狀況有關之外，還與車速、車輪載荷等因素有關，某一工況下測量的峰值附著系數與最佳滑移率總是與該時刻的車速及載荷等參數相關聯。

文獻［1］通過綜合前人的研究成果以及對試驗數據的分析擬合，總結出各種道路工況及行駛條件下路面附著特征參數的公式為

特別規定:當σ=1.2時，

式(2)的模型中雖然各參數的意義與魔術公式中相應的因子意義相同，但由于該模型的形式與魔術公式有所差異，所以各因子的確定方法也不盡相同。根據以上的分析，有

根據式(6)有

在魔術公式中，當用于求解縱向附著系數時，針對干燥的柏油路面，形狀因子C被賦予一個固定的常數值1.65。本文通過對各種路況車輪純縱滑狀態下μ－S曲線的基本現狀因子值C進行分析，擬合出C值的確定方法為

式中各參量意義同前文所述。

式(3)至式(8)即為任意行駛工況下如式(2)所示的簡化輪胎經驗模型中各未知參量值的求解方法。該模型將縱向道路附著系數表達為車輪滑移率、車輛行駛速度、車輪載荷、路面狀況等因素的非線性函數，有利于對車輪－路面力學界面的動態特性進行實時捕捉。

表2 常見路面的特征因子σ值

3 輪胎模型的擬合結果對比

用一輛輕型卡車在干燥的柏油路面上以64 km/h的初速進行制動試驗，采用不同的輪胎模型對試驗數據進行擬合，并將擬合結果進行對比，結果如圖1所示。圖2及圖3為本文提出的簡化輪胎模型與其他模型對干柏油路面工況的擬合結果比較。由對比結果可以看出:Pacejka的魔術公式對縱向附著系數的擬合結果最好，與試驗數據吻合良好;雙指數組合多項式模型在車輪滑移率值較大時線性化比較明顯，在一段區域內與實際附著系數有所偏差。

本文提出的含有3個擬合參數的簡化三角函數模型擬合結果與實際試驗結果和魔術公式擬合結果比較接近，在車輪滑動的非穩定區域內縱向道路附著系數隨車輪滑移率變化的非線性化趨勢較雙指數組合多項式模型更明顯，因而可以更好地表述輪胎與路面的附著變化特征。與魔術公式相比，該模型需要擬合的參數較少，結構較為簡單，計算量也較小，能夠實時反映輪胎與地面間附著系數的變化，具有較好的實用性。圖4顯示了用本文提出的簡化模型擬合出的不同路面狀況下縱向附著系數變化特征。

4 結束語

在車輛實際行駛過程中，車輛的動力學參數處于實時變化的狀態，描述地面附著性能的輪胎模型必須要能夠捕捉這些變化，并將它們對縱向附著力產生的影響細致地表達出來。本文提出的帶有3個參數的簡化輪胎模型以更簡單的方式將車輪與路面間縱向的附著系數實時表述為路況、車速、載荷以及車輪滑移(滑轉)狀況的非線性函數，不但能夠隨時掌握縱向附著系數的變化，而且也能夠實時掌握任一路況條件下附著特征參數的變化。該模型引入路況因子概念，并據此對常見路面情況進行劃分歸類，避免了其他模型中針對一種路況就需要一個擬合公式的弊端，采用一個公式就可以對多種路面附著情況進行模擬，提高了模型的通用性。對試驗數據的擬合分析證明該模型是有效的。

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