基于Matlab估計正弦信號信噪比時頻法研究?

許愛強,魏 輝,汪定國,尹德強

(1.海軍航空工程學院ATE研究所,山東煙臺 264001;2.海軍航空工程學院研究生管理大隊,山東煙臺 264001)

單頻信號對應到時域就是正弦信號,在通信、潛艇噪聲中是非常重要的一種信號.大部分通信系統都是以正弦信號作為載波發送數據,而潛艇噪聲為線譜和連續譜的疊加,其中主要為線譜,也即時域正弦信號,許多信號檢測算法性能的改善最基本的指標是信噪比,因此對正弦信號的信噪比計算就非常有意義.目前,已經有多種估計信噪比的方法,包括:基于子空間的估計方法[1,2]、基于接收信號統計量的方法[3]、以及FFT方法[4]等.對于正弦信號來講,前兩種方法略顯復雜,而第三種方法則在特定情況下使用.本文用時頻法來計算正弦信號在高斯噪聲背景下的信噪比.

1 算法原理分析

1.1 公式推導

正弦信號在產生和傳播過程中都會附加噪聲,海洋噪聲也會附加到潛艇噪聲中,因而可以簡化模型,如圖1所示.(以加性噪聲為例,乘性噪聲將是后續研究)

事實上,對于信號x(t)=s(t)經過系統后,其輸出為(t)=s(t)+n(t),其中:n(t)為系統的噪聲,則其輸出信號的信噪比

式中:Ps+n是信號加噪聲的平均功率,此為時域求解.

假設s(t)為1 kHz的單頻信號,所以求噪聲的平均功率可以用頻域非1 kHz頻段的信號積分取平均,如式(2),其中w1,w2為2倍～3倍的信號頻率.

圖1 信號經過系統(加性噪聲)Fig.1 Signal thread system(adding noise)

則信噪比SNR(單位:dB)為

隨著數字信號處理技術的發展,在仿真和工程計算中,采用數字的方法,式(1)和式(2)都有其對應的離散表示[5,8],這里不再一一贅述.

1.2 實際求解

時域計算信號加噪聲的平均功率是可行的,只要時間T足夠長,再重復取平均,得到的Ps+n是可以無限接近實際信號和噪聲的功率的.式(2)中的w1和w2如何確定SNR才能使最終計算出的與實際的SNR0誤差最小,而且由測不準原理[9,10],信號的時域和頻域分辨率不可能同時很小,由此引出一個問題:求解信號的功率還是求噪聲的功率?此處分兩種情況:①當系統是無限寬帶(大于信號帶寬5倍 ～10倍)時,而且系統不會因輸入正弦信號而在信號頻率點處產生額外噪聲時,可以通過求噪聲的功率來求SNR,w1和w2如圖2所示,w1,w2為2倍 ～3倍的信號頻率;②當系統不是無限帶寬,或者是系統會因信號的輸入產生額外的噪聲時,就需要通過計算信號的功率來計算SNR,w1和w2如圖3所示.

圖2 1 kHz信號頻譜計算噪聲功率Fig.2 Computing the power of 1kHz signal'noise via frequency field

圖3 1 kHz信號通過頻譜計算信號功率Fig.3 Computing the power of 1kHz signal via frequency field

計算信號加噪聲的功率時可以由式(1)求得,對于情況1中求噪聲的功率可以由式(2)求得.

對于通過頻域求信號功率時存在一個問題,即w1,w2的選取,選擇w1,w2要使得到的信噪比SNR最接近實際信噪比SNR0,即ΔSNR最小.

圖4 1 kHz信號經過某系統后的時域圖Fig.4 The time distribution of 1 kHz signal threading some system

圖5 1 kHz信號經過某系統后的頻域圖Fig.5 The frequency distribution of 1 kHz signal threading some system

1.3 仿真算法

圖6 軟件算法流程圖Fig.6 The flow of software

圖6為情況2中頻域求信號功率的仿真實驗的算法流程.對x′(t)進行FFT[5]變換,得到x′(t)的頻譜圖如圖5所示,可以看出此時不再是帶寬w2-w1的問題,而是取 1 kHz頻點處頻點個數的問題,故對此進行實驗來確定頻點數n.

頻點數由以下算法得到:采樣頻率為Fs,觀測點數為M,則將 1 000M/Fs取整帶入X(jwn),并計算其左右的相鄰值,比較之后確定信號頻率落在偶數個頻點上還是奇數個頻點上,以對稱為原則進行頻點個數的確定.

之所以可以用頻域求噪聲或者信號功率,是因為由帕塞伐爾定理[6]可知,信號的時域總能量與頻域總能量相等,在相同時間長度下,由時域求出的噪聲功率和頻域求出的功率應該是相等的,因此,基于時頻法求信噪比就有了理論依據.

2 仿真結果及分析

1)當采樣頻率Fs=10 kHz,觀測時域點數為M=10 000個,實際信噪比為SNR0=3 dB時,對x′(t)求信噪比,計算10 000次求平均,此情況下由結果看出信號分布在奇數個頻點上,故取頻點為3,5,7.當取頻點數 7個時,ΔSNR=8.818 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖7所示;當頻點數取5個時,ΔSNR=2.276 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖8所示;當頻點數取3個時,ΔSNR=0.139 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖9所示.

圖7 頻點數取 6個Fig.7 Frequency bins are 6

結論:頻域取點數不一定越多越好,因為當取點數多時,會將噪聲視為信號,而影響最終的信噪比計算,對于如何取點,一點經驗是看信號頻點附近的值的分布,對稱取值.

圖8 頻點數取4個Fig.8 Frequency bins are 4

圖9 頻點數取 3個Fig.9 Frequency bins are 3

2)當實際信噪比SNR0=3 dB,采樣頻率為Fs=10 kHz,因為此時要研究變換時域點數M,而M變化,頻域觀測點數可能為奇數個也可能為偶數個,要具體分析.當取M=2 000個,經反復實驗頻點數取9個時,ΔSNR=0.655 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖10所示;當取M=4 000個,經反復實驗頻點數取4個時,ΔSNR=0.314 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖11所示;當取M=10 000個,經反復實驗頻點數取3個時,ΔSNR=0.138 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖12所示.

圖10 M=2 000,頻點數取9Fig.10 M=2 000,frequency bins are 9

圖11 M=4 000,頻點數取 4Fig.11 M=4 000,frequency bins 4

圖12 M=10 000,頻點數取2Fig.12 M=10 000,frequency bins are 2

圖13 Fs=5 kHz,頻點數取 2Fig.13 Fs=5 kHz,frequency bins 2

結論:當Fs一定時,增加M也就是增加時域觀測時間,信噪比越穩定,受隨機信號的影響越小,結果越精確.

3)當實際信噪比為SNR0=3 dB,時域點數M=10 000時,因為此時要研究變化Fs,而Fs變化,頻域觀測點數可能為奇數個也可能為偶數個,要具體分析.

當Fs=5 kHz,經反復實驗頻點數取2個時,ΔSNR=1.317 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖13所示;當Fs=10 kHz,經反復實驗頻點數取3個時,ΔSNR=0.138 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖14所示;當Fs=20 kHz,經反復實驗頻點數取3個時,ΔSNR=0.150 dB,信噪比誤差直方圖分布如圖15所示.

圖14 Fs=10 kHz,頻點數取 3Fig.14 Fs=10 kHz,frequency bins are 3

圖15 Fs=20 kHz,頻點數取 3Fig.15 Fs=20 kHz,frequency bins 3

結論:Fs越大,信噪比計算越精確,但是當Fs＞10Fsignal(Fsignal為信號頻率)時,信噪比的計算準確度不再明顯提高,在工程中,采樣頻率取10倍信號功率,有時甚至達不到,所以在器件允許的范圍內提高采樣頻率,即可以提高計算信噪比的準確度.

3 結 論

本文針對實際工程中計算單頻信號的問題,提出用時頻結合的方法來計算信噪比,并研究了頻域取點數、時域觀測點數和采樣頻率對計算信噪比的影響,結果表明此3個因素確實對信噪比的計算有明顯影響.本文的創新點是在他人研究方法的基礎上著重研究頻域點數的選取原則,以此增加工程實現中的可操作性.但是本文假定的是加性的高斯噪聲,在后續的研究中,將重點研究非高斯噪聲和乘性噪聲的信噪比計算方法.

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