索末菲積分公式在圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換

霍曉云，雷銀照

(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191）

索末菲積分公式在圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換

霍曉云，雷銀照

(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191）

索末菲積分公式可用于分析電偶極子在分層媒質(zhì)中產(chǎn)生的電磁場(chǎng)問題。為了研究不同坐標(biāo)系下的索末菲積分公式對(duì)電磁場(chǎng)表達(dá)式的影響，通過坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)得到了無限大空間中電偶極子磁矢位在不同圓柱坐標(biāo)系下的表達(dá)式，利用貝塞爾函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的積分公式將磁矢位的表達(dá)式從圓柱坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系，在這兩種坐標(biāo)系中討論了坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度與磁矢位表達(dá)式的關(guān)系。通過數(shù)值算例對(duì)理論分析進(jìn)行了驗(yàn)證。

索末菲積分公式;磁矢位;圓柱坐標(biāo)系;直角坐標(biāo)系

1 引言

在雷電電磁脈沖、高功率微波等電磁騷擾源激勵(lì)下，輸電線中可能產(chǎn)生電流波動(dòng);在電力線載波通信中，傳輸線輸送工頻電流的同時(shí)也傳送載波電流;在特高壓輸電線上可能存在著電暈電流。這些電流在輸電線上傳輸時(shí)會(huì)向空間輻射電磁波，對(duì)附近的通信、導(dǎo)航等設(shè)施造成電磁干擾。分析此類問題的核心是計(jì)算地面上方水平載流導(dǎo)體的電磁場(chǎng)。

地面上方時(shí)諧電偶極子的電磁場(chǎng)分析方法是研究水平載流導(dǎo)體產(chǎn)生電磁場(chǎng)的基礎(chǔ)。20世紀(jì)初期，索末菲在分析電偶極子輻射問題時(shí)，利用傅里葉-貝塞爾積分變換推導(dǎo)出無窮積分表示的磁矢位［1］，以后人們將這類積分稱為廣義索末菲積分或索末菲型積分。廣義索末菲積分是圓柱坐標(biāo)系中的積分表達(dá)式，以往在分析無限大空間中電偶極子的電磁場(chǎng)時(shí)，通常選取圓柱坐標(biāo)系的對(duì)稱軸與電偶極矩同方向［2］;在分析半無限空間中水平電偶極子的電磁場(chǎng)時(shí)，常選取圓柱坐標(biāo)系的對(duì)稱軸與分界面的法向矢量同方向［3-4］。原則上，同一物理量在不同坐標(biāo)系中的表達(dá)式不同，但空間同一點(diǎn)的數(shù)值不會(huì)因坐標(biāo)系的不同而改變。研究不同坐標(biāo)系下的索末菲積分公式對(duì)場(chǎng)量表達(dá)式的影響，在分析地面上方水平電偶極子的輻射問題時(shí)，有助于澄清圓柱坐標(biāo)系的對(duì)稱軸與電偶極矩不同向而產(chǎn)生的疑問，同時(shí)對(duì)分析架空傳輸線周圍的電磁場(chǎng)具有指導(dǎo)作用。

本文推導(dǎo)了索末菲積分公式在圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在兩種坐標(biāo)系中分別討論了磁矢位表達(dá)式與坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，通過數(shù)值算例驗(yàn)證了理論分析結(jié)果。目前尚未在其他文獻(xiàn)中見過相關(guān)問題的研究。

2 無限大空間中電偶極子的磁矢位在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式

2.1 無限大空間中電偶極子的磁矢位

如圖1所示，以無限大空間中的電偶極子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，z軸與電偶極矩的方向相同;相應(yīng)的圓柱坐標(biāo)系Oρφz的原點(diǎn)O位于電偶極子處，對(duì)稱軸沿電偶極矩方向，φ角從x軸開始，沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。

圖1 無限大空間中的電偶極子Fig.1 Current element in infinite space

式中，k2=ωμ(ωε－jσ）。為了方便分析常將式(1）的右端項(xiàng)e－jkr/r寫成圓柱坐標(biāo)系中的積分形式:

2.2 磁矢位在不同圓柱坐標(biāo)系中的積分表達(dá)式

計(jì)算無限大空間中電偶極子的電磁場(chǎng)時(shí)，實(shí)際上圓柱坐標(biāo)系的對(duì)稱軸不必一定與電偶極矩同方向。下面通過坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)給出不同圓柱坐標(biāo)系中磁矢位的積分表達(dá)式。

如圖2所示，建立一個(gè)新的直角坐標(biāo)系O'XYZ，其原點(diǎn)O'在直角坐標(biāo)系 Oxyz中的坐標(biāo)為 (xs，ys，zs），Z軸與電偶極矩的夾角為 α(0≤ α ＜2π），X軸與Oxyz的x軸夾角為β(0≤β＜2π）。同樣以點(diǎn) O'為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立新的圓柱坐標(biāo)系 O'ρ'φ'z'，z'軸與O'XYZ的Z軸重合，φ'角從X'軸開始，沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。

根據(jù)坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)公式［5］，新舊直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

圖2 不同坐標(biāo)系下無限大空間中的電偶極子Fig.2 Current element in infinite space in different cylindrical coordinate systems

設(shè)電偶極子在新直角坐標(biāo)系O'XYZ中的坐標(biāo)為 (Xs，Ys，Zs），在式(4）中令 x=y=z=0，得

由式(7）可見，磁矢位表達(dá)式與坐標(biāo)系的平移無關(guān)。

2.3 A'z(，，）與坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系

分析磁矢位在圓柱坐標(biāo)系中的積分表達(dá)式與坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度α和β的關(guān)系。

將式(7）分別對(duì)變量α和β求偏導(dǎo)數(shù)，可得

根據(jù)第一類貝塞爾函數(shù)的關(guān)系式

將積分C1的表達(dá)式變形為

再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將積分C2的表達(dá)式變形為

由索末菲積分公式容易得出C1=C2，代入式(8）和式(9）得

此式表明磁矢位在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式A'z(，，BZ_208_1537_2185_1557_2241.png）與坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角度 α、β無關(guān)。當(dāng) α=0、β=0時(shí)，A'z=Az，即如圖1所示的圓柱坐標(biāo)系中磁矢位的表達(dá)式(3）是式(7）的一種特殊情況。

3 無限大空間中電偶極子的磁矢位在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式

3.1 磁矢位的表達(dá)式在圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換

從磁矢位在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式出發(fā)，推導(dǎo)索末菲積分公式在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式。

已知第一類零階貝塞爾函數(shù)［6］

式中，積分區(qū)域(0＜λ＜∞，－π＜θ＜π）可以看作是以λ為矢徑、θ為極角的無限大平面。設(shè)

再利用指數(shù)函數(shù)的積分公式［7］

無限大空間中電偶極子磁矢位與索末菲積分公式僅差一個(gè)比例因子μIl/(4π），故索末菲積分公式在球坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系間的關(guān)系為

3.2 A'z，）與坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度的關(guān)系

觀察式(15），由球坐標(biāo)系中的表達(dá)式可知，與電偶極子距離相等的空間位置處的磁矢位大小相等、與電偶極矩方向無關(guān)。而根據(jù)圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式則無法直觀得到該結(jié)論。2.3節(jié)分析了磁矢位在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式與坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度無關(guān)，下面討論直角坐標(biāo)系中的情況。

首先分析磁矢位 A'z(，，）與坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度α的關(guān)系。式(14）對(duì)變量α的偏導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)歐拉公式ejx=cosx+jsinx，并利用奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)，M1可寫成

再對(duì)指數(shù)項(xiàng)ejbBZ_208_1537_2185_1557_2241.png利用歐拉公式，并運(yùn)用積分公式［7］

可將積分M1的表達(dá)式整理為

同樣地，積分M2的表達(dá)式可整理為

其次，分析磁矢位A'z(～X，～Y，BZ_208_1537_2185_1557_2241.png）與坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)角度β的關(guān)系。式(12）對(duì)變量β的偏導(dǎo)數(shù)為

上述分析分別在圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系中得到了與球坐標(biāo)系中相同的結(jié)論:無限大空間中任意場(chǎng)點(diǎn)處的磁矢位僅與電偶極子大小和它到場(chǎng)點(diǎn)的距離有關(guān)，與電偶極矩的方向無關(guān)。

4 驗(yàn)證及分析

如圖2所示，在無限大真空中放置一個(gè)時(shí)諧電偶極子，電偶極子參數(shù) Il=1A·m，f=2MHz，觀察點(diǎn)坐標(biāo)x=0.5m，y=0.5m，z=0.03m。當(dāng)夾角 α和β分別取不同值時(shí)，利用式(7）計(jì)算觀察點(diǎn)處磁矢位的頻域結(jié)果，見表1。

表1 不同坐標(biāo)系中電偶極子磁矢位的計(jì)算結(jié)果Tab.1 Values of magnetic vector potential calculated in different cylindrical coordinate systems

雖然不同坐標(biāo)系中磁矢位的表達(dá)式不同，由表1可知，忽略數(shù)值計(jì)算引入的誤差，不同圓柱坐標(biāo)系中的計(jì)算結(jié)果一致。

圖3分別給出四種不同圓柱坐標(biāo)系下磁矢位積分表達(dá)式中被積函數(shù)實(shí)部隨積分變量變化的曲線。從圖中可以看出，選取的坐標(biāo)系不同，可能使被積函數(shù)振蕩加劇、衰減緩慢，收斂性變差，從而導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間增加。計(jì)算電偶極子產(chǎn)生的電磁場(chǎng)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際邊值問題的情況合理地選擇坐標(biāo)系。

圖3 不同坐標(biāo)系中式(7）被積函數(shù)實(shí)部隨積分變量變化曲線Fig.3 Curves of real part of integrand of Eq.(7）varying with λ in different cylindrical coordinate systems

5 結(jié)論

本文得到索末菲積分公式在圓柱坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式，通過坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)給出索末菲積分公式在不同坐標(biāo)系中的積分表達(dá)式，理論分析和數(shù)值驗(yàn)證表明當(dāng)圓柱坐標(biāo)系的對(duì)稱軸與電偶極矩的夾角為任意角度時(shí)，求得的無限大空間中電偶極子的磁矢位均相等。這一結(jié)論可推廣用于分層媒質(zhì)中電偶極子產(chǎn)生的電磁場(chǎng)問題，對(duì)分析架空傳輸線周圍電磁場(chǎng)具有一定的指導(dǎo)作用。

References）:

［1］Sommerfeld A.Partial differential equations in physics［M］.New York:Academic Press Inc.，1949.

［2］Dvorak S L.Application of the fast Fourier transform to the computation of the Sommerfeld integral for a vertical electric dipole above a half-space［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1992，40(7）:798-805.

［3］Dai R，Young C T.Transient fields of a horizontal electric dipole on a multilayered dielectric medium ［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1997，45(6）:1023-1031.

［4］雷銀照(Lei Yinzhao）.時(shí)諧電磁場(chǎng)解析方法(Analytic method forthe time-harmonic electromagnetic field）［M］.北京:科學(xué)出版社 (Beijing:China Science Press），2000.

［5］《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組 (Compiling group of Handbook of mathematics）.數(shù)學(xué)手冊(cè) (Handbook of mathematics）［M］.北京:高等教育出版社 (Beijing:China Higher Education Press），1979.

［6］Abramowitz M，Stegun I A.Handbook of mathematical functions with formulas，graphs，and mathematical tables［M］.Washington:U.S.Government Printing Office，1964.

［7］Gradshteyn I S，Ryzhik I M.Table of integrals，series，and products，7thEdition ［M］.New York:Academic Press，2007.

Transformation of Sommerfeld integral formula between cylindrical coordinates and Cartesian coordinates

HUO Xiao-yun，LEI Yin-zhao
(School of Automation Science and Electrical Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

The Sommerfeld integral formula is used to solve the electromagnetic fields produced by the electric dipole in the multilayered media.In order to study the effect of the Sommerfeld integral formula in different coordinate systems on the analytical solutions of the electromagnetic fields，the magnetic vector potential of an electric dipole in an infinite space in different cylindrical coordinate systems is derived via the translation and rotation of coordinate system.Then the expression of the magnetic vector potential is transformed from the cylindrical coordinate system into the Cartesian coordinate system by the integral formulas of Bessel function and exponential function.Subsequently the relationship between the expressions of the magnetic vector potential and the rotation angles of the coordinates are discussed.Furthermore，the numerical examples are provided to demonstrate this conclusion.The analyses in this paper are expected to be helpful to uncover the underlying mathematical meaning of the Sommerfeld integral formula and to calculate the electromagnetic field produced by the transmission line above the ground.

Sommerfeld integral formula;magnetic vector potential;cylindrical coordinate system;Cartesian coordinate system

TM15

A

1003-3076(2012）04-0001-05

2011-10-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50777002）

霍曉云(1981-），女，遼寧籍，博士研究生，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)理論及其應(yīng)用;

雷銀照(1956-），男，河南籍，教授/博導(dǎo)，研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)理論及其應(yīng)用、電磁無損檢測(cè)方法、電氣發(fā)展史。