帶卡爾曼估計器的無拖曳衛(wèi)星干擾補償控制

李傳江，王玉爽，馬廣富，張海博

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱)

帶卡爾曼估計器的無拖曳衛(wèi)星干擾補償控制

李傳江，王玉爽，馬廣富，張海博

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱)

為使外界干擾對無拖曳衛(wèi)星的影響降低，設(shè)計了基于卡爾曼濾波的干擾估計器，對實際存在的干擾進行前饋補償，并基于二次型最優(yōu)指標(biāo)設(shè)計了最優(yōu)控制器.首先建立了無拖曳系統(tǒng)位移模式下衛(wèi)星與質(zhì)量塊的相對軌道動力學(xué)模型，然后給出了無拖曳衛(wèi)星狀態(tài)估計的過程，并根據(jù)估計得出的狀態(tài)設(shè)計了最優(yōu)控制器，最后在卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上，根據(jù)得到的估計干擾對實際干擾進行補償，組成帶有前饋回路的控制系統(tǒng)，利用MATLAB/Simulink軟件進行仿真.仿真結(jié)果表明，帶有干擾補償?shù)淖顑?yōu)控制器能對外界干擾進行有效地抑制，從而滿足了無拖曳衛(wèi)星的控制精度要求.

無拖曳衛(wèi)星;卡爾曼估計器;最優(yōu)控制;干擾補償

1959 年 George Pugh［1］首次提出了無拖曳衛(wèi)星的概念，1964年 B Lange［2］在其博士論文中詳細論述了無拖曳衛(wèi)星模型及控制器設(shè)計.無拖曳衛(wèi)星由外部的衛(wèi)星本體和內(nèi)部的質(zhì)量塊組成，衛(wèi)星上裝有位置傳感器和微推力器，其中位置傳感器精確測量衛(wèi)星本體與質(zhì)量塊之間的相對位置，并反饋給推力器，通過此反饋系統(tǒng)，衛(wèi)星不斷跟蹤質(zhì)量塊，防止與質(zhì)量塊接觸，使質(zhì)量塊懸浮于衛(wèi)星的中心.內(nèi)部的質(zhì)量塊可以看作1個理想的穩(wěn)定參考源，在優(yōu)化控制算法的作用下，通過高精度傳感器和執(zhí)行機構(gòu)的配合，衛(wèi)星本體通過跟蹤質(zhì)量塊也能實現(xiàn)較高的穩(wěn)定度，從而可搭建出1個滿足低干擾要求的平臺.

無拖曳衛(wèi)星控制技術(shù)對于空間基礎(chǔ)科學(xué)研究、高精度微重力實驗、對地觀測和深空探測具有重要意義.目前已經(jīng)成功發(fā)射的無拖曳衛(wèi)星有:1972年美國的TRIAD I、2004年美國的GP-B以及2009年歐洲的GOCE.還有一些計劃中的衛(wèi)星，如美歐合作的LISA、美國的STEP、法國的MI-CROSCOPE、意大利的Galileo Galilei以及中國南京紫金山天文臺的ASTROD.

無拖曳衛(wèi)星控制系統(tǒng)的目標(biāo)是使衛(wèi)星上的非重力加速度達到最小，由于內(nèi)部質(zhì)量塊幾乎運行在純重力軌道上，因此通過控制衛(wèi)星跟蹤質(zhì)量塊可以達到這一目標(biāo).衛(wèi)星和質(zhì)量塊的狀態(tài)可以通過直接測量得到或者由1個觀測器決定，對于后一種方法而言，觀測器的輸出——估計的狀態(tài)量反饋給控制器，通過閉環(huán)控制使衛(wèi)星達到期望的狀態(tài)［3］，無拖曳控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.

圖1 含有估計器的無拖曳控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

然而對于實際系統(tǒng)而言，必然存在著諸如過程噪聲和量測噪聲等各種各樣的噪聲，已不再適合采用確定性系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器理論.針對GOCE衛(wèi)星，文獻［4］采用了兩種不同的估計模型，對線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題進行了研究，文獻［5］在離散時間模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計了內(nèi)嵌模型控制器，其中閉環(huán)狀態(tài)估計器包含內(nèi)嵌模型和噪聲估計器兩部分.針對STEP衛(wèi)星，文獻［6］研究了狀態(tài)估計和參數(shù)估計問題.

在軌運行的無拖曳衛(wèi)星會受到大氣阻力、太陽光壓等外部干擾的影響，通常這些外部干擾為常值或是可建模的，通過對外部干擾進行建模和估計，在此基礎(chǔ)上加入前饋控制，可以將估計值直接反饋從而對外部干擾進行補償.

本文采用了卡爾曼濾波器對無拖曳衛(wèi)星的狀態(tài)及外部干擾進行估計，設(shè)計最優(yōu)控制器并利用估計得到的干擾對控制系統(tǒng)進行補償，從而滿足了控制系統(tǒng)的精度要求.

1 無拖曳衛(wèi)星相對動力學(xué)模型

加速度計模式(AM)和位移模式(DM)是無拖曳衛(wèi)星的兩種主要工作方式.位移模式為衛(wèi)星本體跟蹤質(zhì)量塊，直接實現(xiàn)無拖曳;而加速度計模式為質(zhì)量塊跟蹤衛(wèi)星本體，再根據(jù)加速度計的輸出控制衛(wèi)星本體實現(xiàn)無拖曳.本文的目的是研究位移模式下無拖曳衛(wèi)星控制系統(tǒng)的設(shè)計，采用位移模式最主要的優(yōu)點是系統(tǒng)控制精度高，因為使質(zhì)量塊懸浮不需要力或只需要很小的力，從而使噪聲水平很低［7］.考慮外部的衛(wèi)星和內(nèi)部的質(zhì)量塊為兩個分開的剛體，各自運行在軌道上，且受到外力的作用.為了控制衛(wèi)星跟蹤質(zhì)量塊，需要測量衛(wèi)星和質(zhì)量塊的相對位置，必須考慮耦合的衛(wèi)星－質(zhì)量塊動力學(xué).為推導(dǎo)運動方程所需的參考坐標(biāo)系如圖2所示.

圖2 無拖曳衛(wèi)星參考坐標(biāo)系

圖中，RI為慣性參考坐標(biāo)系;RSC為衛(wèi)星本體坐標(biāo)系，原點為衛(wèi)星的質(zhì)心;RH為空腔本體坐標(biāo)系，原點為衛(wèi)星的無拖曳點，也即空腔的中心位置;RTM為質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系，原點為質(zhì)量塊的質(zhì)心，坐標(biāo)軸和質(zhì)量塊的慣性主軸平行;rSC為衛(wèi)星的質(zhì)心在慣性系的位置矢量;rTMabs為質(zhì)量塊的質(zhì)心在慣性系的位置矢量;rH為空腔中心相對于衛(wèi)星質(zhì)心的距離，對于位移模式的無拖曳衛(wèi)星來說，空腔中心與衛(wèi)星質(zhì)心重合，即rH=0;r為質(zhì)量塊質(zhì)心相對衛(wèi)星質(zhì)心的位置矢量;rTM為質(zhì)量塊質(zhì)心相對空腔中心的位置.

假設(shè)無拖曳衛(wèi)星只包含1個質(zhì)量塊，質(zhì)量塊采用靜電懸浮的方式.通過衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊各自的軌道動力學(xué)模型，得到質(zhì)量塊和衛(wèi)星本體的相對動力學(xué)線性化模型為

其中:mSC為衛(wèi)星的質(zhì)量;mTM為質(zhì)量塊的質(zhì)量;vTM為質(zhì)量塊相對于空腔坐標(biāo)系速度矢量;rTM可由敏感器測量得到，有

feSC為作用在衛(wèi)星上的外力之和，包括控制力fcSC和干擾力fdSC;feTM為作用在質(zhì)量塊上的外力之和，本文中質(zhì)量塊受到的外力只考慮質(zhì)量塊與衛(wèi)星本體間的耦合力，則

式中Dtrans和Ktrans為衛(wèi)星本體與質(zhì)量塊的耦合系數(shù)矩陣.軌道坐標(biāo)系的原點選為質(zhì)量塊的質(zhì)心，ω0為軌道角速度ω0=［0 0 ω0］T，假設(shè)無拖曳衛(wèi)星運行在圓形軌道上，軌道半徑為rSC=a，則

其中

式中03和I3分別表示3×3的零矩陣和3維單位矩陣.

2 無拖曳衛(wèi)星內(nèi)外干擾分析

無拖曳衛(wèi)星受到的主要干擾力包括:大氣阻力、太陽光壓以及與質(zhì)量塊之間的相互吸引力等.對于近地軌道衛(wèi)星，氣動力是主要的干擾，對于深空探測衛(wèi)星，太陽光壓是主要干擾.表1中給出了無拖曳衛(wèi)星在近地軌道上(＜500 km)所受攝動力的模型及參數(shù).

表1 衛(wèi)星所受的攝動力模型及參數(shù)

除外部干擾外，系統(tǒng)上常作用有各種噪聲，如系統(tǒng)噪聲和敏感器的量測噪聲等.衛(wèi)星受到的噪聲和干擾都是隨機信號，可以利用功率譜密度進行描述.圖3給出了衛(wèi)星本體X軸向所受大氣阻力的加速度功率譜密度曲線.

作用在衛(wèi)星上的干擾力設(shè)為正余弦函數(shù)形式，可以采用式(4)所示的干擾力模型進行卡爾曼濾波器設(shè)計，

其中:fd為干擾力矢量;fsin和sin分別為干擾的正弦系數(shù)及它對時間的導(dǎo)數(shù);fcos和˙fcos分別為干擾的余弦系數(shù)及它對時間的導(dǎo)數(shù);ωd表示氣動干擾的頻率.

圖3 大氣阻力加速度功率譜密度

無拖曳控制的性能指標(biāo)要求通常為在一定的測量頻帶內(nèi)(通常是低頻段)，使衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊上的非重力加速度噪聲的功率譜密度低于某一水平［8］.本文控制指標(biāo)要求如下:在 0.005～0.1 Hz的頻帶內(nèi)，衛(wèi)星本體與質(zhì)量塊的相對位置控制精度達到2.5×10－5m，衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊上的殘余加速度功率譜密度分別小于2.5×10－7(m·s－2)/和2.5 ×10－9(m·s－2)/

3 最優(yōu)狀態(tài)估計器

對于實際的無拖曳衛(wèi)星控制系統(tǒng)，需要考慮系統(tǒng)模型誤差、干擾及噪聲等問題，對于這樣的隨機系統(tǒng)，需要應(yīng)用卡爾曼濾波理論對狀態(tài)進行最優(yōu)估計.

分別建立系統(tǒng)方程和量測方程，考慮如下無拖曳系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題:

其中系統(tǒng)的輸出y(t)=Cˉx(t)+Du(t);w(t)與v(t)為零均值的高斯分布噪聲，分別表示過程中的干擾和輸出變量量測的隨機干擾，協(xié)方差矩陣為

設(shè)衛(wèi)星受到的干擾力具有正弦特性如式(7)所示，且在實際仿真時加入一定隨機干擾:

則在式(5)中有

矩陣對(ˉA，ˉB)和(ˉA，C)分別是能控和能觀測的，根據(jù)連續(xù)時不變系統(tǒng)卡爾曼估計理論［9］，估計模型可以寫成如下形式:

估計器增益L必須能提供在存在噪聲w(t)和v(t)條件下的最佳估計.

定義估計誤差

根據(jù)式(5)和式(8)推導(dǎo)出誤差的動態(tài)方程

其中L=ˉPCTV－1滿足下面的代數(shù)Riccati方程:

對于卡爾曼濾波，w(t)包括了系統(tǒng)的干擾和模型的不確定性，v(t)則考慮了所有測量噪聲和測量的不確定性，測量噪聲的協(xié)方差矩陣和系統(tǒng)狀態(tài)初值的統(tǒng)計特性參數(shù)可以通過觀測和分析得到.

4 控制器的設(shè)計

在最優(yōu)狀態(tài)估計基礎(chǔ)上，以估計狀態(tài)代替系統(tǒng)的真實狀態(tài)進行線性反饋.依據(jù)觀測誤差最小的原則，定義如下狀態(tài)控制器的最優(yōu)控制目標(biāo)函數(shù):

其中加權(quán)矩陣Q為對稱半正定矩陣，R為對稱正定矩陣，即Q=QT≥0，R=RT＞ 0.

易判斷系統(tǒng)(4)可控，由最優(yōu)控制理論［10］，得出存在最優(yōu)控制律u*(t)使系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定，并且具有滿意的動態(tài)性能，控制器如下:

對于線性定常系統(tǒng)，加權(quán)矩陣Q和R均取為對稱正定矩陣.

圖4給出了帶干擾前饋的無拖曳控制系統(tǒng)框圖.其中，在卡爾曼濾波器中引入了干擾模型，對干擾進行估計，以補償外部干擾引起的輸出誤差，卡爾曼濾波器估計得到的相對狀態(tài)信息反饋到最優(yōu)控制器，并在閉環(huán)系統(tǒng)中增加了前饋補償控制，則作用到無拖曳衛(wèi)星系統(tǒng)的控制力為u(t)=

圖4 具有干擾前饋的無拖曳控制系統(tǒng)

5 仿真分析

在Matlab/Simulink環(huán)境下進行了仿真，驗證設(shè)計的控制器和加入干擾補償后系統(tǒng)對干擾的抑制作用，仿真參數(shù)如下:

1)仿真的初始條件選取為:衛(wèi)星本體質(zhì)量為1 050 kg，質(zhì)量塊質(zhì)量為1 kg，衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊之間三軸初始相對距離分別為1×10－3，5×10－3和2×10－3m.衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊之間的耦合系數(shù)矩陣為

2)氣動干擾的頻率 ωd=1.2×10－3Hz.系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的功率譜密度分別為

仿真結(jié)果如圖5～圖11所示.圖5和圖6分別為卡爾曼估計器對無拖曳控制系統(tǒng)的相對位置估計誤差和相對速度估計誤差.從圖中可以看出，狀態(tài)的估計誤差大約為2×10－8.圖7為干擾的估計誤差曲線，估計誤差大約為2×10－6.較小的估計誤差表明所設(shè)計的卡爾曼濾波器能對相對位置、相對速度和外界干擾信息進行較準(zhǔn)確地估計，估計器的性能良好.因此對于工程實際來說，良好的狀態(tài)和干擾估計是很有必要的.

圖5 X軸向相對位置估計誤差

圖6 X軸向相對速度估計誤差

圖8和圖9分別為加入干擾補償前后衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊的相對位置曲線.可以看出，無干擾補償時，在干擾力的影響下，相對位置正弦運動的幅度較大.加入干擾補償后，輸出曲線變的“平緩”.在圖8中相對位置的穩(wěn)態(tài)值之所以是等幅振蕩的正弦過程，是由于系統(tǒng)受外界正弦干擾的影響，因此采用經(jīng)典最優(yōu)控制的無限時間二次型性能指標(biāo)具有一定的局限性，為了解決這一問題，可以考慮選擇一種能保證收斂的最優(yōu)控制的性能指標(biāo)，并尋求使性能指標(biāo)取得最小值意義下的最優(yōu)控制律.

圖7 X軸向干擾估計誤差

圖8 干擾補償前衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊的相對位置

圖9 干擾補償后衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊的相對位置

在仿真中，只對質(zhì)量塊施加耦合力，控制器控制衛(wèi)星本體跟蹤質(zhì)量塊實現(xiàn)無拖曳控制，衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊上的殘余加速度功率譜密度曲線如圖10和圖11所示.在0.005～0.1 Hz的測量頻帶內(nèi)，衛(wèi)星本體和質(zhì)量塊上的殘余加速度功率譜密度達到了性能指標(biāo)要求.

圖10 衛(wèi)星本體上的殘余加速度功率譜密度

圖11 質(zhì)量塊上的殘余加速度功率譜密度

6 結(jié)論

本文針對存在干擾及噪聲的無拖曳衛(wèi)星控制系統(tǒng)，采用卡爾曼濾波方法對狀態(tài)和干擾進行了估計，并基于狀態(tài)估計設(shè)計了最優(yōu)控制器，利用干擾估計采用前饋控制對干擾進行補償，從而有效地抑制了干擾對控制系統(tǒng)的影響.

與傳統(tǒng)衛(wèi)星控制系統(tǒng)相比，無拖曳衛(wèi)星對控制系統(tǒng)提出了極高的性能指標(biāo)要求，因此，下一步將對衛(wèi)星模型的建立和控制器的設(shè)計進行更深入地研究.另外，無拖曳衛(wèi)星的性能指標(biāo)是在頻域中給出的，下一步也可以考慮基于頻域的控制器設(shè)計方法，以滿足控制系統(tǒng)的高精度及強魯棒性要求.

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Disturbance compensation control for drag-free satellite with Kalman estimator

LI Chuan-jiang，WANG Yu-shuang，MA Guang-fu，ZHANG Hai-bo

(School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China)

In order to reduce the influence of disturbance on the drag-free satellite，a disturbance compensation control combined with optimal control of quadratic performance based on a Kalman estimation theory is presented.Firstly，the relative dynamics of the satellite and the proof mass are modeled.Secondly，the state estimation of the drag-free satellite is given and an optimal controller is established.Finally，the control system with a feedforward loop for disturbance compensation based on Kalman filter is constructed.The simulation results in MATLAB/Simulink indicate that the disturbance compensation together with optimal control is effective to reject external disturbance，the accuracy of the drag-free satellite can be satisfied.

drag-free satellite;kalman estimator;optimal control;disturbance compensation

V448.2

A

0367－6234(2012)07－0008－06

2011－03－31.

國家自然科學(xué)基金資助項目(61004072)，中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項基金資助項目(HIT.KLOF.2010016)，哈爾濱市科技創(chuàng)新人才研究專項資金資助項目(2010RFQXG029).

李傳江(1978—)，男，副教授，碩士生導(dǎo)師;

馬廣富(1963—)男，教授，博士生導(dǎo)師.

李傳江，chuanjiangli@gmail.com.

(編輯 張 宏)