非線性耦合振子間產生靶能量傳遞的初始條件

張也弛，孔憲仁

(哈爾濱工業大學衛星技術研究所，150080 哈爾濱)

非線性耦合振子間產生靶能量傳遞的初始條件

張也弛，孔憲仁

(哈爾濱工業大學衛星技術研究所，150080 哈爾濱)

針對線性振子連接非線性能量阱的系統中產生靶能量傳遞需要一定的初始條件，首先說明最優靶能量傳遞同其非保守系統中完全能量傳遞存在一致性，之后建立該非保守系統的慢變力學模型，并針對該系統提出引發最優靶能量傳遞的初始能量同系統中立方剛度存在精確比例關系的假設和推論，通過數值仿真驗證了該假設及推論的正確性.最后將該結論應用于線性振子連接非線性能量阱系統的立方剛度設計，提出了設計可實現靶能量傳遞的立方剛度的方法.

靶能量傳遞;非線性耦合振子;立方剛度;非線性振動;非線性動力吸振器

動力吸振器(tuned vibration absorber，TVA)最早由Frahm于1905年提出［1］，并被廣泛應用于建筑、機械等結構中.線性TVA的缺點是只在吸振器彈簧的固有頻率附近有效，一旦吸振器的彈簧等部件老化或設計時彈簧剛度發生偏差，造成吸振器的固有頻率偏離主結構的振動頻率，就會使得吸振效率降低.Roberson［2］指出，在動力吸振器中引入非線性，可以有效的增加振動抑制的帶寬，使得動力吸振器的魯棒性顯著提高.此后，非線性動力吸振器開始得到學者們的關注.

近年來，非線性能量阱(nonlinear energy sink，NES)是非線性動力吸振器的研究熱點［3－10］，NES 即指用于實現靶能量傳遞(targeted energy transfer，TET)的非線性吸振器.靶能量傳遞［3］是指能量在非線性耦合振子間的高效傳遞現象，其特點是能量傳遞速度快，每次傳遞能量大小較精確［4］.文獻［5］研究了范德波爾振子連接NES的自激振動和分岔.文獻［6］對于含有非線性阻尼的NES進行了研究.文獻［7］假設靶能量傳遞主要由1:1內共振引起，研究了兩自由度線性系統連接NES的結構，在數值解與解析解比較中發現在其兩個1:1內共振間存在大量次諧振.文獻［8－9］對NES的減震效果進行了實驗研究，驗證了部分理論成果.文獻［10］對能量從線性振子到非線性振子的傳遞及反向傳遞進行了研究.由于強非線性作用的影響，NES沒有特定的固有頻率，在靶能量傳遞的作用下主結構中的振動能量不可避免地傳遞至NES并在其中耗散.

在抑制沖擊荷載產生的自由振動的過程中，NES的特性之一是對初始能量大小有較強的選擇性，在初始能量小于一定值時，振動能量幾乎不會傳遞至NES，而當初始能量遠大于一定值時，在NES中耗散的能量比率也會大大降低，也就是說NES在某個大小的初始能量下效率較高，因此依據外界激勵的大小進行NES的非線性剛度的調節十分必要.

本文在對保守系統中能量完全傳遞至NES所需的條件做簡要介紹的基礎上，將對非保守系統中的靶能量傳遞進行研究.首先研究非保守系統中的完全能量傳遞與最優靶能量傳遞關系的一致性.然后將保守系統中的完全能量傳遞條件推廣至非保守系統，給出依據初始能量大小選擇系統剛度的方法，最后通過仿真算例說明前面給出的方法是正確有效的.

1 保守系統的力學分析

考慮下面的非線性保守系統:

其中:m1為線性振子的質量，m2為非線性振子的質量，m2?m1;k為線性剛度;k1為立方剛度.對上式引入新的時間尺度

并作以下變量替換:

式(1)可變換為

式中˙x表示對τ的導數，ε?1.

對式(2)作變量替換

及以下復變量代換

其中 j=1，2.式(2)可寫為

對上式進行以下多尺度展開:

消除久期項，可得以下慢變方程［11］:

對式(5)進行如下正則變換:

可得哈密頓量

由于方程(5)滿足

可得方程(5)的另1個首次積分

由上式可知

式(6)和式(7)即為方程(5)的兩個首次積分.

系統(2)中線性振子的能量如下［12］:

兩振子間的完全能量傳遞可由下式表示:

將式(8)代入式(6)，有

對上式做極限可表示能量完全傳遞至非線性振子的過程，

即

由式(3)、(4)可知線性振子的位移可表示為

結合式(9)、(10)，當初始能量完全集中在線性振子且僅為初始位移引起時，引發兩振子間完全能量傳遞的初始條件可寫為

若初始能量僅為初始速度引起，可寫為

2 非保守系統的力學分析

2.1 非保守系統中的完全能量傳遞

對于非線性系統

圖1表示系統(13)中不同初始位移下80 s內在NES中耗散的能量比率，式中參數取m1=1，m2=0.1，k=1，k1=0.2，C1=C2=0.01，Ediss由下式計算得到

其中x0為兩振子的初始位移，x10=x20=x0.由圖可見NES的效率在一定的初始位移下較高，超出一定范圍效率會降低，盡管選擇不同參數會使得有效范圍有所增大，但趨勢是一致的.

圖1 初始能量在NES中的耗散比例

圖2為t=80 s時在NES中耗散的能量比率，由圖2可見在x0=0.42時Ediss達到最大值，NES的效率達到最高，此時兩振子能量的變化曲線如圖3所示，可見線性振子能量可在半個慢周期內完全傳遞至NES，即非保守系統中能量完全傳遞至NES的條件也為最優靶能量傳遞的條件，因此完全能量傳遞的研究對于NES的調制至關重要.進行NES的優化可從分析該系統中的完全能量傳遞入手.

圖2 t=80 s時初始能量在NES中的耗散比例

圖3 兩振子能量變化曲線

2.2 非保守系統的慢變力學模型

對系統(13)引入新的時間尺度并進行變量替換

則式(13)可變換為

在對上述系統的內在保守系統進行研究的基礎上，本節將直接對上式進行如下復變量替換:

式(15)可寫為

消除久期項，有

經推導易得

即有

系統(15)中線性振子能量可寫為

所以當φ1=0且φ2≠0時，主結構的能量完全傳遞至NES.

雖然非保守系統中的最優靶能量傳遞無法給出確切的表達式，但由式(16)可看出當阻尼c1與c2取為小量時，φ1與 φ2仍可近似表達為 φ1≈ ncos θeiα，φ2≈ nsin θeiβ.假設最優靶能量傳遞發生時，初始能量與剛度的關系同保守系統中是相同的(下面會給出仿真驗證)，從而可由該關系進行NES中的剛度設計.

3 最優靶能量傳遞

3.1 最優靶能量傳遞與系統參數的關系

初始能量全部集中于線性振子，定義引起最優靶能量傳遞的初始條件為x10=X10、x20=X20、，由式(11)～(12)可知，保守系統中發生完全能量傳遞時:

式中∝表示成正比，下面對系統(13)進行仿真計算，考察在非保守系統中上述關系是否依然成立.

由式(14)可知，knl代表主結構質量和線性剛度歸一化后的立方剛度，因此盡管在下面的仿真中knl∈［0.1，9］，但其實際代表立方剛度同主結構線性剛度之比為0.1～9，因此仿真范圍已經完全滿足工程實際需要.

另外，通過計算初始條件在一定范圍內變化時的Ediss的最大值，得到最優靶能量傳遞對應的初始條件，這樣雖然使得下面的仿真計算量非常大，但可以準確得到在knl取某定值時引發最優靶能量傳遞的初始條件.

圖4中ε=0.1.由圖4可見引發最優靶能量傳遞的初始速度同立方剛度的 -0.5次方成正比.

圖4 引發最優靶能量傳遞的初始速度同系統剛度的關系

由圖5可見引發最優靶能量傳遞的初始位移同立方剛度的－0.5次方成正比.

圖5 引發最優靶能量傳遞的初始位移同系統剛度的關系

該結論可描述如下:

該結論中只考慮了兩種特殊的初始情況，即初始能量全部由初始位移引起或全部由初始速度引起，下面將該結論推廣至更一般的情形.

在系統(15)中，若式(17)、(18)成立，則有

其中E0為線性主結構中可引發最優靶能量傳遞的初始能量.令 g2(c1，c2，ε)+f2(c1，c2，ε)=2ψ(c1，c2，ε)，則有

所以得到如下推論:在系統(15)中，如果初始能量全部集中于線性振子，則引發非線性吸振器中最優靶能量傳遞的初始能量同knl的比值成反比.

圖6中初始能量同樣完全集中于線性振子，但其中同時包含初始速度與初始位移.由圖6可見仿真結果與理論分析完全符合，說明該推論是正確的.

圖6 引發最優靶能量傳遞的初始能量同系統剛度的關系

至此，本文將引發非線性吸振器中最優靶能量傳遞的初始條件推廣到了一般情況.

3.2 初始條件變化時最優靶能量傳遞的確定

由式(19)可知，如果在一組系統參數下計算出 ψ(c1，c2，ε)，則該推論可用于計算 knl變化時引發最優靶能量傳遞的初始能量，方法如下:

式中:ti表示系統接近穩定的某時刻.由上式中的第1個方程先確定特定參數下最優靶能量傳遞對應的初始能量E0，然后由第2個方程可得ψ(c1，c2，ε).則在knl取任意值時引發最優靶能量傳遞的初始能量都可由式(19)得到.這對于在沖擊荷載下NES的調節非常重要，應用式(19)、式(20)可根據外界沖擊荷載的大小方便的選取knl.

對于初始能量全部由初始速度或位移引發的兩種特殊情況，有

4 仿真算例

本節通過兩個算例說明如何根據前文中得出的關系進行NES剛度的設計，同時本節算例的結果也驗證了前面得到的結論.

例1 系統(15)中各參數設置為c1=c2=0.01，ε=0.1，初始能量全部集中于線性振子，計算knl變化時可引發最優靶能量傳遞的初始位移

使用式(21)，可計算得到當knl=0.1時，有f(c1，c2，ε)=0.205 5，則由式(17)可知在 knl變化時，始終有X10=0.205 5/，圖7 表示由該式計算得到的引發最優靶能量傳遞的初始位移X10及數值仿真得到的結果的比較.

圖7 不同初始位移下能量在NES中的耗散

圖中取t=80 s，此時系統能量已基本耗散完畢.曲線表示Ediss隨初始位移的變化，豎線表示用文中方法計算得到的引發最優靶能量傳遞的初始位移.由圖可見該方法可準確計算出Ediss最大時對應的初始位移，說明文中方法是有效的.

例2 系統(15)中各參數設置為c1=0.008，c2=0.006，ε =0.08，計算 knl變化時最優靶能量傳遞對應的初始能量.

使用式(20)，首先計算得到當knl=0.2時，ψ(c1，c2，ε)=0.013 5，則由式(19)可知在 knl變化時，始終有E0=0.013 5/knl，圖8表示由該式計算得的引發最優靶能量傳遞的初始能量E0及數值仿真得到的結果的比較.

圖8 不同初始能量下能量在NES中的耗散

圖中取t=80 s，曲線表示Ediss隨初始能量變化的曲線，豎線表示用文中方法計算得到的引發最優靶能量傳遞的初始能量.由圖中比較可見，式(19)可精確估計knl變化時引發NES中最優靶能量傳遞的初始能量.

5 結論

本文通過建立非線性耦合振子的慢變近似模型并對其進行研究，建立了保守系統中的完全能量傳遞同非保守系統中最優靶能量傳遞之間的關系.研究表明在其他系統參數不變的前提下，NES中引發最優靶能量傳遞的初始能量同knl的大小成反比.

在以上結論基礎上，本文給出了根據不同初始能量大小，調節knl使得NES產生最優靶能量傳遞的方法，該方法可用于設計NES中的系統剛度.數值仿真和算例表明本文的結論和方法都是正確的.

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Initial conditions for targeted energy transfer in coupled nonlinear oscillators

ZHANG Ye-chi，KONG Xian-ren
(Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China)

The initial conditions for targeted energy transfer in coupled nonlinear oscillators are investigated.First it is shown that optimal targeted energy transfer and complete energy exchange in non-conservative systems are basically the same in the system of a linear oscillator coupled with a nonlinear energy sink.An assumption and an inference are proposed that there is a proportional relationship between initial energy for inducing optimal targeted energy transfer and the cubic stiffness based on the research of slow-flow dynamics of the non-conservative system.The assumption and inference are verified by numerical simulations.The result can be applied for design of the cubic stiffness for inducing optimal targeted energy transfer in the system of a linear oscillator coupled with a nonlinear energy sink，and the method is also given in the paper.

targeted energy transfer;coupled nonlinear oscillators;cubic stiffness;nonlinear oscillation;nonlinear vibration absorber

O328;O322

A

0367－6234(2012)07－0021－06

2011－02－22.

長江學者和創新團隊發展計劃資助項目(IRT0520).

張也弛(1983—)，男，博士研究生;

孔憲仁(1961—)，男，教授，博士生導師.

張也馳，zhangyechi@hit.edu.cn.

(編輯 張 宏)