基于采樣的非線性濾波算法比較＊

趙 侃 漆德寧

（解放軍陸軍軍官學院 合肥 230031）

1 引言

由于非線性問題的復雜性，非線性估計難度較大。進行非線性估計的的最優方案需要得到其條件后驗概率的完整描述，然而這種精確的描述需要太大的計算量而無法實際應用［1］，為此人們提出了大量次優的近似方法［2］，主要包括：對非線性函數進行近似，采用高階項忽略或逼近措施；用隨機采樣方法近似非線性分布的概率密度；用確定性采樣方法近似非線性分布；在非線性估計領域中使用遞推的擴展卡爾曼濾波（EKF）方法通過對非線性函數的Taylor展開式進行線性化截斷，從而將非線性問題轉化為線性問題。但EKF只適用于濾波誤差和預測誤差很小的情況。否則，濾波初期估計協方差下降太快會導致濾波不穩定，甚至發散。

本文對近年來受到廣泛關注的粒子濾波（PF）算法［3］和通過確定性采樣點來近似非線性分布不敏卡爾曼濾波進行討論。并通過仿真證明對于非線性程度高、模型復雜系統的估計問題本文研究的濾波算法能獲得更精確的估計結果。

2 UKF算法

Julier提出了unscented卡爾曼濾波（UKF）算法［4～6］。其核心思想是UT變換，狀態的概率密度分布可通過能完全表述密度函數的均值和方差的有限個樣本點來描述，通過直接使用狀態或測量的非線性方程映射這些樣本點，加權求和得到更新的均值和方差，若將非線性方程采用泰勒級數展開式表示，可看出UKF方法將精確到與三階泰勒級數展開式相當的均值和方差。

UKF算法流程如下：

Step1：初始化數據

Step2：通過非線性函數采樣得到k＋1時刻的sigma采樣點χk＋1，再由sigma點求取均值和方差。

Step3：計算量測采樣點Zk＋1點及其預測值、協方差矩陣P。

Step4：計算狀態向量和量測向量的協方差矩陣S。

Step5：計算濾波的增益值K。

Step6：計算狀態向量的估計值＾xk＋1和方差Pk＋1。

在卡爾曼框架內應用UT技術就得到了UKF算法。

3 粒子濾波算法

于是，就有了一種表示真實后驗密度p（x0：k｜z1：k）的離散帶權近似表示，而那些關于數學期望的復雜計算（通常帶有復雜的積分運算）就可以簡化為和運算，如

基本PF算法的一個主要問題是粒子退化，即經過幾次迭代之后，差不多所有的粒子都具有負的權值。重抽樣是解決退化問題的一個有效辦法，依靠重采樣，要求提議分布的設計盡可能逼近后驗概率密度函數，選擇和設計合適的次優提議分布一直是粒子濾波的研究重點之一。下面介紹一種基于不敏卡爾曼濾波提議分布的粒子濾波算法。

4 無味粒子濾波

在粒子濾波中，重要性密度函數的選擇是關鍵技術之一，選擇好的重要性密度函數可以大大降低粒子數目，上一節所研究的基本粒子濾波算法的基礎上采用UKF濾波生成重要性密度函數，得到基于UKF的粒子濾波算法（UPF）［8～10］，其運算步驟如下

step2：For t＝1，2，…

遞歸地計算每個粒子的重要性權值［7］，將各個粒子的權值歸一化

對于高維變量的估計，粒子濾波需要大量的粒子，所需的計算量巨大。本節中將UKF算法和PF算法相融合，形成了UPF算法。該算法思想采用UKF算法生成粒子濾波的提議分布，目的是能夠融入當前觀測的信息，以改善濾波效果。

5 實驗比較與分析

本文對EKF、UKF、PF、UPF三種方法進行仿真實驗，仿真環境如下：采用如下的非線性非高斯系統模型：

這里v（k）服從Gamma（3，2）分布，觀測噪聲R（k）服從高斯分布 N（0，10－5），目標的初始狀態x（0）＝20，經過100次蒙特卡羅仿真，每次仿真時間是60s，采樣間隔為1s。

在上述條件下，對各種濾波算法分別進行50次Monte Carlo仿真。為了清晰顯示各種濾波器的估計結果，圖1、圖2顯示了在不同初始誤差情況下，各種濾波算法對目標目標位置估計的誤差。

圖1 各算法的位置估計誤差（v（k）分別服從Gamma（3，2）

圖2 各算法的位置估計誤差（v（k）分別服從Gamma（9，6）

表1 濾波器運算效率比較

由圖1、圖2看出，各種濾波器都是漸進無偏的。UKF和PF，收斂速度最快、估計精度最高；EKF性能遜于UKF和PF，大約60s收斂到無偏位置，UPF由于粒子數不足，估計誤差曲線抖動較大；而UKF沒有出現濾波發散、丟失目標的現象。當增大初始誤差時，PF的收斂速度最快，UKF在起始階段濾波精度較低，但隨著時間增加其濾波精度與PF基本相同。

由表1可以看出，UKF運算效率最高；PF次之，UPF的運算時間約是UKF的5800倍。粒子濾波器已經不能實時對目標進行跟蹤。

6 結語

綜合考慮各種非線性濾波器的收斂速度、運算效率等因素，在初始誤差較小的情況下，UKF比PF具有更高的跟蹤精度，收斂更快，而在初始誤差較大的情況下，PF收斂速度更快，這可以贏得更多的預警時間。PF和UPF運算量巨大，無法實時跟蹤目標，而且需要更多的變量存儲空間。在目標跟蹤應用環境下，如果比較準確，過程噪聲較小的模型，UKF已經足夠精確，而PF在粒子數有限（本文中PF選用200個粒子）的情況下不能提高估計精度，因此，隨著計算機能力的不斷提高，PF將具有廣泛的應用空間。

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［3］Zhao Huibo，Pan Quan.PF-UKF-RJMCMC Approaches for Radar Target-Tracking［J］.International Conference on Information Technology and Computer Science，2009：273-374.

［4］Xiong K，Zhang HY，Chan CW.Performance Evaluation of UKF Based Nonlinear Filtering［J］.AUTOMATICA，2006，2（42）：261-270.

［5］Julier S J，Uhlmann J K.Unscented Filtering and Nonlinear Estimation［J］.Proc.IEEE，2004，92（3）：401-422.

［6］Van Zandt J R.Boost Phase Tracking with an Unscented Filter［J］.Proc.Of the SPIE，2002，4728：263-274.

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