一種基于彈道系數的外彈道擬合方法＊

安景新 徐 林 劉 忠 張國棟

（海軍工程大學電子工程學院指揮自動化系 武漢 430033）

1 引言

一種新型炮彈在列裝艦艇之前，一項重要的工作便是為火控計算機裝訂其射表。各種火炮及其配屬的每種彈丸均有各自的專用射表。編制射表的標準條件是在建立和求解彈道微分方程組時對初始條件及其有關參數規定的一組標準值。射表編擬的基本原理是理論與試驗相結合，即用實驗結果對理論彈道進行修正，使修正后的彈道與實際彈道相一致，而后以修正后的理論彈道為依據編擬計算射表［1］。

外彈道理論給出了描述彈丸運動規律的彈道數學模型。但是所用不同形式的模型都是在一定假設條件下推導出來的，都不同程度地與實際存在差別。要較準確測定這些起始擾動非常困難，目前還沒有理想的辦法；彈丸在運動中不可避免地存在受干擾問題，而許多干擾因素是很難用理論來描述的。正是由于這諸多原因使得用理論模型計算出來的彈道和實際彈道有較大差別，因此必須通過實驗結果對理論彈道進行修正，從而使修正后的理論彈道與實際彈道相一致［2～4］。由于火炮要在允許的各種仰角下進行射擊，而不同仰角的修正因子（或符合系數）又是隨仰角而變化的，因此，在射表編擬中，要進行較多射角的射擊試驗。即便是同一射角，由于實驗誤差的存在，也要進行較多發數或組數的試驗［5～8］。

當炮彈的質量和質心變化后，炮彈的轉動慣量等因素會發生變化，從而使其外彈道發生變化。這一變化如果通過六自由度的剛體彈道微分方程組進行求解的話，需要確定比較多的方程系數，這在工程實踐中存在不少困難。本文針對這種情況，采用二自由度的質點彈道微分方程組，確定其彈道系數，并利用解算彈道與實測彈道之間的擬合偏差對彈道系數進行修正，最終所得解算結果可以很好地符合實測彈道。

2 彈道擬合模型

2.1 質點彈道微分方程組

假設彈丸的外形和質量分布都是軸對稱體且攻角恒為零，氣象條件是標準的，無風雨。由于外形對稱、攻角為零，空氣阻力向量必然與彈軸重合。又由于質量分布對稱，故質心必在彈軸上。因此，空氣阻力必定通過質心。而重力總是通過質心的，這樣作用在彈丸上的力都過質心，彈丸便可作質點處理。此時，彈丸的運動是個平面運動問題，彈道成為平面曲線。質點彈道是實際彈道最簡單的模型，一般作為研究實際彈道的基準［9～10］。

在上述的假設條件下，將空氣阻力和重力對彈丸運動的影響，用空氣阻力加速度和重力加速度來表示時，以初速度v0和射角θ0發射的彈丸，在時刻t的運動狀態如圖1所示。圖中（x，y）為彈丸的質心坐標，v為彈丸速度，θ為彈道傾角，ax為空氣阻力加速度，g為重力加速度。

圖1 直角坐標系彈丸質心運動圖

圖2 基于彈道系數的外彈道擬合算法流程圖

則以t為自變量的直角坐標系彈丸質心運動方程組為

其中，Hτ（y）和G（vτ）均已編制成表或有標準函數，如G（v）＝4.737×10－4vCxon。

解算時可采用四階龍格－庫塔法，積分的起始條件為t＝0時

2.2 利用彈道系數的擬合模型

由式（1）可以看出，除彈道系數需要根據彈形、彈重進行確定以外，空氣密度函數Hτ（y）只隨高度變化，而空氣阻力函數G（vτ）只隨彈丸速度變化，且 Hτ（y）和G（vτ）均有相應的擬合函數［2］，因此可以通過對彈形系數的求解來進行彈道符合計算。

由于

其中，c為彈道系數，i為彈形系數，d為彈丸直徑，G為彈丸重量，cx0（M）為阻力系數，cx0n（M）為標準阻力系數。關于各種形狀彈丸的阻力系數，并不是很準確地遵守上式，尤其是當彈形與標準彈形相差較大時更是如此。彈丸在整個飛行過程中，由于馬赫數M的不斷變化，因而彈形系數也在不斷地略有變化。當彈形與標準彈相差愈大，則在整個飛行過程中彈形系數的變化也就愈大。在需要準確地計算彈道諸元時，就應該將彈形系數i如實地看作為M的函數：

因此，知道彈丸的直徑、重量以及阻力系數后，聯合（1）、（2）兩式，便可進行彈道的理論計算。

以（1）、（2）兩式所計算的理論彈道與實測彈道必然存在一定偏差，記x軸方向偏差為det x，y軸方向偏差為dety。為了將解算偏差體現在彈道系數中，采取以下方法：

Step1：用式（2）的彈道系數c求解彈道方程組，求得det x、dety；

Step2：將det x、dety擬合成隨射角、彈丸飛行時間變化的函數f（x）、f（y）；

Step3：利用蟻群算法搜索每一時刻對應于f（x）、f（y）的最優彈道系數c′；

Step4：將最優彈道系數c′帶入式（1）進行解算，得到滿意解。

算法流程圖如圖2所示。

3 實際應用

3.1 應用背景

某型定時引信彈丸，直徑0.1m，彈重15.8kg，炮口初速900m／s，射序1射角3～75mil，射序2～6射角3～33mil。彈丸阻力系數已知。由于彈丸屬空炸彈丸，故炮瞄雷達只抓取了上升段數據，示意圖如圖3所示。

圖3 實驗彈道示意圖

3.2 算法應用及分析

利用式（2）求解射序1～6的彈形系數，可得如圖4之示意圖。

圖4 6條彈道的彈道系數

圖5 射序1的實測彈道與解算彈道對比

圖6 解算彈道與實測彈道的偏差

圖7 理論彈道、修正彈道、實測彈道對比圖

利用上述所求出的彈道系數解理論彈道，所得結果如圖5、圖6所示。

利用蟻群算法搜索最優彈道系數后所求解的彈道與實測彈道示意圖如圖7所示。

由結果看出，通過原有的彈道系數求解出的彈道與真實彈道之間仍存在較大差別，初步認為這是由于原始數據中彈丸的阻力系數測定不準確造成的。將該不準確性在彈道系數的擬合計算中進行彌補，從而使解算的修正理論彈道能較準確地符合實測彈道。

4 結語

本文提出了一種以彈丸質心運動微分方程組為模型，采用估算彈道系數與誤差擬合修正相結合的彈道擬合方法，解決了擬合系數法難以保證全彈道一致精度的難題。該方法具有精度穩定性好，編程算法簡潔的特點，實際應用效果好，可對任意射角、初速的彈丸進行任意時刻的彈道擬合。通過實測數據對該方法的檢驗，表明該方法具有一定工程應用價值。

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