物理背景在Fourier級數教學中的重要性

李 麗，項明寅

(黃山學院 數學與統計學院，安徽 黃山 245041)

1 引言

Fourier級數是在解決實際問題時常見的一類函數項級數。Fourier（1768-1830）是法國的數學家、物理學家，他在1807年向巴黎科學院呈交了一篇關于熱傳導問題的論文，宣布任一函數都可以展成三角函數的無窮級數。Fourier級數 （即三角級數）、Fourier分析等理論均由此創始。

Fourier級數在數學物理和工程中都有重要應用，例如偏微分方程邊值問題的基本求解方法就是Fourier級數法；在通訊和電子技術中Fourier級數也有很大的作用。因而，這部分內容在高等數學教學中是重點。但是太過抽象和理論化，學生往往難以理解，所以有不少學者針對這個問題進行了研究。李文新[1]用Mathematica軟件編寫程序，通過靜態與動態圖形形象解釋了用三角級數逼近周期函數時的過程；鄒國源[2]從最佳近似的角度討論函數的Fourier級數；成波[3]總結了函數的Fourier級數展開式的三種教學類型；胡小榮、李建平[4]對Taylor級數和Fourier級數進行了比較和總結。

本文從物理背景這個角度揭示把一個周期函數表示成Fourier級數的意義，并且從兩個方面說明物理背景在Fourier級數教學中的重要性：第一，實例導入是引入概念的一項重要策略；第二，數學和物理的密切關系。

2 Fourier級數的物理背景

Fourier級數是從振動和熱傳導這類物理問題引入的，這里以振動為例。在振動中，最簡單、最基本的是簡諧振動，運動方程可以表示為

在物理學中，任意一個復雜的振動都是由兩個或兩個以上的簡諧振動所合成，確切地說，它可表示為頻率為v與頻率為v倍數的簡單振動之和。物理中將復雜的周期振動分解為一系列簡單振動之和的方法稱為頻譜分析。[5]

3 在教學中的重要性

3.1 實例導入是引入概念的一項重要策略

數學概念是數學最基本的知識，是理解和掌握數學理論及方法的基礎。但是，如果把概念的教學過于簡單化，只是純粹地解釋其含義，然后硬灌輸給學生，就無法調動學生的學習興趣，收不到好的教學效果，更談不上培養學生的創新思維能力了。那么，在課堂教學實踐中，如何采用恰當的策略導入概念呢？

魏國強指出，實例導入是一個重要方法。[6]具體來談，對于我們將要介紹的新概念，選取合適的例子進行分析和抽象，最后概括為一般的、本質的數學概念。國內外大多數學教材都采用這一策略，在教學中也比較普遍。

對于Fourier級數，其抽象性和復雜性讓很多學生望而生畏不知所云。不少高等數學教材的這部分內容并未提及物理背景。在講授Fourier級數這一概念之前，如果先介紹其物理背景，分析本質，再從中抽象出概念，就向學生展示了這一知識的形成過程，不僅有助于增強學生的學習動力和興趣，而且有助于學生創新能力的培養。淡化形式，注重本質，才能夠更深刻地理解問題。

3.2 數學和物理的密切關系決定了物理背景在數學教學中的意義

一方面，數學是研究物理的一個重要工具，許多物理規律都要用數學表達式來進行研究，并且物理學的每一次飛躍都伴隨有新的數學知識的介入。另一方面，物理科學對數學概念和思想起到了源泉作用。正如拉克斯所說：“數學和物理的關系尤其牢固，其原因在于，數學的課題畢竟是一些問題，而許多數學問題是從物理中產生出來的，并且不止于此，許多數學理論正是為處理深刻的物理問題而發展出來的。”[7]因此，在Fourier級數這一部分內容的教學中物理背景是非常重要的，它有助于學生深刻理解這一抽象理論的源泉，從而提高學習興趣，增加學習動力。

[1]李文新.函數展開成Fourier級數的幾何解釋[J].江西教育學院學報(綜合),2005,26(3)：5-6.

[2]鄒國源.從最佳近似來理解Fourie級數[J].高等數學研究,1994,2：17.

[3]成波.函數的Fourier級數展開式的三種教學類型[J].安康師專學報,2005,17(2)：97-99.

[4]胡小榮,李建平.關于Taylor級數和Fourier級數的幾點注記[J].數學理論與應用,2008,28(1)：49-51.

[5]孫凡,習崗.普通物理學[M].北京：中國農業出版社,2002.

[6]魏國強.大學數學教學中導入概念和結論的策略[J].無錫教育學院學報,2006,26(1,2)：64-66.

[7]厚宇德,馬國芳.物理學與數學[J].現代物理知識,1996,(1)：278-279.