點集拓撲教學方法的探索與實踐

霍承剛，晉守博，馬書飛

（1.宿州學院 數學與統計學院，安徽 宿州234000;2.禹城前油坊中學 山東 禹城 251200）

在大規模擴招形勢下步入高校的大學生，有相當一部分在不同程度上存在著缺乏學習興趣的問題，而且高校中也存在著明顯的學生被動學習現象，有些學生甚至有嚴重的厭學情緒，逃課現象比較普遍。若要問他們為什么逃課，多數人會說這是因為所講授的內容不能引起學生聽課的興趣。為此，有人提出學生聽課的積極性全靠教師去調動，教師調動不起學生的興趣，就不要去怪學生。[1]這種說法有一定的道理，但并非百分之百的真理。當然，造成這個問題的原因是多方面的，有主觀因素，也有客觀因素。“大學生學習興趣的缺乏直接影響著高等教育教學質量的提高，高校必須多方齊下，綜合治理，建立合理的激勵與培養機制，充分調動大學生的學習興趣”。[2]孔子說：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者。”學生能夠“好之，樂之”，學習達到快樂的地步，就會輕松，就會長進。快樂和興趣并存，建立在興趣之上的學習，注意力最集中，接受新知識最容易，思維最活躍，最敏捷。因此，充分調動學生求知的欲望，讓學生不厭不倦地投入到學習中，以達到事半功倍的效果是教學重要的目標之一。

點集拓撲既是理工科相關專業的一門基礎課，也是后續課程如拓撲學、泛函分析、概率論等課程的基礎。它的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供一種重要的理論，而且為其它學科提供研究方法和語言。點集拓撲理論性比較強，學生普遍反映概念難懂，習題難做，方法不易掌握。上述問題的存在，不但影響了學生學習的積極性，更主要的是影響了后繼課程的學習，不利于人才的培養。因此，在有限的課時內，如何使學生學習起來有積極性，既掌握了理論與方法，又了解了知識的應用，組織安排好課程的教學，進行教學方法的改革十分必要，且勢在必行。[3]

1 營造和諧的教學氛圍

目前多數學生常常憑興趣學習，喜歡那位老師，就認真學習那位老師教的課。所以，教師要融洽師生情感，營造民主和諧的教育教學氛圍，優化師生關系。教師走進課堂必須情緒飽滿，使學生望之而精神一振，端坐靜盼；講課時，要盡可能地縮小與學生之間的空間距離，走下講臺，走近學生，最大限度地和每一個學生進行心理溝通。課堂教學中，要發揚民主，信任學生，給學生提供發表不同見解的機會，引導、鼓勵和督促學生表達自己的感受和體會。課外可以和學生討論點集拓撲中的有趣現象，例如從點集拓撲的同胚角度來看面包圈和喝水的杯子實質是一樣的。這樣當老師把愛的陽光灑入每個學生的心田時，學生自然就會像向陽花一樣向老師靠攏。因此，平等、和諧、信任的師生關系，自由、寬松、民主、融洽的課堂氛圍是喚起學生學習興趣并促其主動學習的基礎，也是實現主體性參與教學的前提。

2 加強直觀圖形教學

在數學的教學過程中，為了解釋所講的內容或直觀地表達教學內容，畫草圖方法，既有利于教學，又有利于學生更好地理解和掌握所講的內容，這種教學效果是極其有效的。通過使用一些簡單的圖形對數學對象進行思維，就是將數學問題的各個部分，有機地與圖形的相應對象建立對應，把對數學問題的思考轉化為對圖形對象的思考，這樣的思維過程正是數學形象思維的過程，其目的就是利用圖形的構造方式、功能向學生展現數學問題的實質。[4]在高等數學中為了講解二重積分，通過先求解曲邊梯形的面積再引入二重積分的概念，學生接受過程就變得順理成章。在點集拓撲教學中也應當多結合幾何意義講解抽象概念，下面通過實例具體說明。

設X和Y是兩個度量空間，f:X→Y，以及x0∈X。如果對于 f(x0)的任何一個球形鄰域 B（f(x0)，ε），存在x0的某一個球形鄰域 B（x0，δ），使得 f（B（x0，δ））?B（f（x0)，ε），則稱映射在 x0點處是連續的。[5]

這一概念可以通過圖1來刻畫。

圖1

顯然，這樣能有效地促進學生形象思維的形成和發展，培養并提高學生數學形象思維的能力。另外，可以結合多媒體演示抽象概念的幾何意義，[6]通過直觀圖形可以使學生容易地理解和接受概念，從而一定程度上增加了學生的學習點集拓撲的信心，進一步對培養和激發學生學習點集拓撲的興趣起到潛移默化的作用。

3 注重學科對比在點集拓撲教學中的應用

對比分析是點集拓撲教學中的一種重要方法。一是在這門課程中的各概念之間進行細致的對比，例如正則空間與正規空間的對比，各種緊致空間之間的對比。二是與其它課程知識點間的對比，數學分析中數列涉及到斂散性，連續性以及極限存在的條件等等，而點集拓撲中的序列也涉及到這些內容，但它們之間存在許多異同之處，教師在講授時可以把這些知識拿來討論對比。通過這些內容的對比討論，可以使學生更深入理解不同學科中的知識以及它們之間異同關系。例如，在講授連續映射時，通過組織課堂討論、相互提問、積極思考，讓學生搞清楚如何將數學分析中函數在某一點的連續概念過渡并推廣到拓撲空間之間的連續映射，而且讓學生深刻理解在一般拓撲空間中不能用點列的收斂來刻畫聚點這一事實，進而讓學生知道拓撲空間之間的連續映射不能用極限來刻畫。經過討論，學生不僅弄懂了教材上的概念、性質和定理，而且許多學生還可以經過課堂討論再對證明思路梳理和完善，形成一套新的證明方法，對不正確的思路和誤區也相應找到了其錯誤的根源，起到很好的教學效果。

4 完善成績評估方法

為了提高大學生自覺學習的興趣，有必要對成績評估方法加以改革。許多教師采取點名方式對曠課者的成績予以處罰，消極懲罰措施在一定條件下可以保留實施。要想從整體上提高大學生積極性，還需另辟蹊徑，獎勵的方法便是其一。眾所周知，精神獎勵與物資利益相結合是現代思想政治教育學中的一項基本原則。這里所指的獎勵，主要是對那些完成作業良好，課堂發言踴躍，課外積極提出問題、解決問題的學生，可以按一定比例列入期末考試成績，對其余學生起到鼓勵示范作用。在實際教學中的基本思路是。

1.加入章節總結與章節測試；

2.引領學生展開研究性學習和創新性試驗項目的研究，比如數學建模與數學小論文，具體做法是在每章節后布置一些建模試題或讓學生自己結合教學尋找材料建立模型，或結合課堂教學寫出一些小論文，比如可以歸納開映射的性質[7]等；

3.課堂討論與回答問題成績。

總體的做法是，期末成績的比例逐漸下降到70%-80%，平時成績逐漸上升到20%-30%，讓學生真正成為學習的主人。通過一個學期的實踐，證明這一改革是有效的。

1.提高了學生的學習主動性與積極性。學生在完成每一章節后，都及時地復習總結，寫出單元小結；

2.課堂討論與回答問題更加積極。因為，討論發言與否、發言的質量都直接記入成績，所以學生發言明顯積極了，也明顯地表現出更為積極地思考問題；

3.期末閉卷成績更加理想，不及格率明顯降低，優秀率有所提高。這里原因很多，但加強了平時的學習與復習應是主要原因。

在高校教學改革中，老師還采取開卷形式，論文形式，口試形式等多種方式作為學生成績考核手段，這些嘗試，我們都應積極支持，共同探索公共理論課程考核評估體系。[8]

5 結束語

教學改革是一項重要而復雜的基礎工作，積極有效的推行教學改革對提高高校的教育教學質量有著極其重要的意義。針對點集拓撲課程的內容、性質和特點，在教改中，采用適當的教學方法以達到本門課程的教學目的和要求是一項具有重要意義的創新。

[1]夏大鋒.關于一般師范院校點集拓撲教學內容的一點思考[J].阜陽師范學院學報，2000，17（1）：53-55.

[2]張奠宙.大學數學教育的若干新趨勢[J].高等數學研究，1999，(3):2-4.

[3]劉偉忠.研究性教學中的難點與實施重點[J].中國高等教育，2006，（24）:36-37.

[4]陳翔.圖像思維在高等數學教學中的作用[J].安徽電氣工程職業技術學院學報，2004，9（2）:103-106.

[5]熊金城.點集拓撲講義[M].北京：高等教育出版社，1998，55-144.

[6]郭學軍，袁德有.應用型本科院校高等數學教學改革的探索與思考[J].河南教育學院學報(自然科學版)，2009，18(3）:60-62.

[7]霍承剛.對開映射的研究[J].黃山學院學報，2010，12(3):10-11.

[8]霍承剛.點集拓撲教學的幾點建議 [J].德州學院學報，2011，27(7):146-147.