結構化與非結構化網格融合技術研究

項立銀，陳 楊

(中國船舶重工集團公司第七二四研究所，南京 210003)

0 引言

網格劃分是有限元計算的基礎，高質量的網格對有限元計算的結果至關重要。數值計算中采用的網格通?？梢苑譃閮深悾Y構化網格與非結構化網格［1］。結構化網格是指網格區域內的節點都具有相同數目的毗鄰單元，具有所需單元數量少、計算速度快、計算精度高等優點，但適應性差，適用于形狀規則的幾何體;非結構化網格是指網格區域內的內部點不具有相同的毗鄰單元，即與網格剖分區域內的不同內點相連的網格數目不同。非結構化網格消除了結構網格中節點的結構性限制，節點和單元的分布可控性好，因而能較好地處理邊界。適用于模擬真實復雜外型，但收斂特性較差，計算精度低。

為了兼顧有限元計算對精度和效率的要求，本文將結構化與非結構化網格劃分技術融合起來。對于大型的三維模型，其相對規則部分用結構化網格劃分，不規則部分用非結構化網格劃分。通過網格拓撲轉化技術將交界面處的四面體網格轉化成三角形網格來滿足拓撲一致，實現網格連接，生成高質量的有限元計算網格。

1 方法原理

工程或物理學中的許多問題通常是以未知函數應滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數u 應滿足微分方程組［2-3］:

同時，未知函數u 還應滿足邊界條件:

其中，Ω為域，Γ為域Ω的邊界。

假如邊界條件(2）同時滿足邊界上的每一點，則等效積分方程

在求解域Ω中，若場函數u 是精確解，則在域Ω中任一點都滿足微分方程(1），同時在邊界Γ 上任一點都滿足邊界條件(2），此時等效積分形式(3）必然得到嚴格滿足。但是，對于復雜的實際問題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此需要找到具有一定精度的近似解。

假設u 可以采用近似函數來表示，一般形式為

其中，ai是待定參數，Ni為已知形函數。

對于三維力學問題，可取近似解:

顯然，在通常n 取有限項數的情況下近似解是不能精確滿足(1）和(2）的，形函數Ni的項數n 越多，近似解的精度將越高。對于三維力學問題，四面體的形函數n=4，六面體的形函數n=6，顯然在相同條件下六面體的計算精度要高于四面體。

有限元計算的精度和效率一直是一對矛盾體。采用非結構化網格可以自動化分，但計算精度低，有時為了得到較精確結果而細化網格，計算量又太大甚至導致現有計算機無法計算。采用結構化網格計算精度高，但現有軟件通常不能自動劃分，需要用戶手動參與，對幾何體進行分割等操作［4］。對于一些特別復雜的模型，即便人工參與劃分網格，要將三維模型切割成幾十甚至上百塊，結構化網格難以實現。

為了取長補短，充分利用結構化網格和非結構化網格的各自優勢，在網格劃分的時候把幾何拓撲相對規則的部分化成六面體網格，而把相對復雜的部分化成四面體網格，但六面體網格無法向四面體網格自由過渡。本文采用網格拓撲轉換實現網格連接，將六面體網格的交界面四邊形網格轉化成三角形網格來滿足連接拓撲一致，通過將轉化而來的三角形網格作為網格邊界實現連接面的節點匹配，最終生成期望的高質量網格。

2 算例

2.1 網格劃分方法

以一簡單例子說明本文的網格劃分方法。如圖1所示，將模型分為兩個區域(六面體網格區域和四面體網格區域），首先進行六面體網格區域的網格劃分，并將圖示交界面區域的四邊形網格轉化成三角形網格，以轉化的三角形網格作為四面體網格劃分的邊界條件，進行四面體網格劃分［5］。從最終的網格模型可以看出，在交界處這兩類的網格匹配得相當好。

圖1 網格劃分方法示意

2.2 模型介紹

為了驗證上述方法的可行性與有效性，選取某通用機柜對其進行模態分析。如圖2所示，該機柜總體尺寸較大，高度達到了1510 mm，而兩側壁較薄，僅為4 mm。但兩側壁幾何相對規則，而頂部和底部幾何形狀復雜，小特征較多。

圖2 通用機柜三維模型

2.3 有限元模型

分析機柜的結構特點可以看出，機柜主體中間兩側壁部分形狀較為規則，頂部和底部幾何形狀復雜。若全部采用非結構化四面體網格劃分，能較好地處理頂部和底部復雜的邊界，但單元數較多，達到了47204個單元，15778個節點;若全部采用結構化六面體網格劃分，單元數較少，兩側壁較容易實現但頂部和底部幾何過于復雜，難以實現。因此，本文提出結構化與非結構化相融合的網格對其進行網格剖分。首先，對兩側壁進行六面體網格劃分，并將交界面區域的四邊形網格轉化成三角形網格，以轉化的三角形網格作為頂部和底部網格劃分的邊界條件，進行四面體網格劃分。圖3左側為純四面體網格模型，右側為融合網格模型，共劃分了28037個單元，18086個節點。

圖3 機柜兩種網格劃分對比

2.4 仿真結果

仿真計算的約束條件與試驗安裝狀態一致，約束機柜底部3個方向的平動自由度與轉動自由度，對四面體網格模型和融合網格模型進行模態分析，四面體網格模型的一階模態為37.13 Hz，振型如圖4所示。融合網格模型的一階模態為24.87 Hz，振型如圖5所示。

圖4 四面體網格機柜一階模態振型

圖5 融合網格機柜一階模態振型

2.5 仿真與實驗結果對比

在振動試驗平臺上固定機柜底部對該機柜進行振動實驗。由于該實驗平臺測量范圍的限制，故只采集了一階模態，為28 Hz，結果見圖6。四面體網格模型和融合網格模型一階模態仿真結果與實驗結果對比見表1。

圖6 機柜一階模態試驗結果

表1 機柜一階模態仿真與實驗結果對比

從結果中可以看出，兩種網格劃分的機柜的一階模態振型一致，與實驗結果都存在一定的偏差，但四面體網格的結果誤差較大且偏大，這是由于四面體網格偏剛性所致;混合網格的結果誤差較小，與實驗結果吻合較好。

3 結束語

本文中所述結構化與非結構化相結合的融合網格，所需單元數量少、計算速度快，采用網格拓撲轉換實現網格連接，適用于形狀不規則的幾何體，與實驗結果對比發現計算精度較高，完全滿足工程仿真的需求。

［1］李揚，唐巨山，張婷.拓撲映射法劃分結構化六面體網格在水利工程方面的應用［J］.水利與建筑工程學報，2011，9(3）:134-137.

［2］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學出版社，2003:14-20.

［3］朱伯芳.有限單元法原理與應用(第3 版）［M］.北京:中國水利水電出版社，2009:127-128.

［4］劉聲，盛選禹.基于結構化網格自動劃分的汽車發動機強度分析［J］.計算機工程與設計，2010，31(10）:2316-2319.

［5］向華平.基于邊界拓撲轉化的四面體與六面體網格動態連接技術［J］.安徽大學學報，2011，35(2）:43-46.