基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強(qiáng)方法

李 康，周錦標(biāo)，趙乾宏

（中國衛(wèi)星海上測控部 江蘇 江陰 214431）

無抽樣Contourlet變換不僅具備多尺度、多方向和各向異性特征，還具備平移不變性，因而是一種優(yōu)良的圖像處理工具。文中在無抽樣Contourlet變換域構(gòu)造了一種有效的非線性映射函數(shù)，給出了一種基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強(qiáng)方法。實驗結(jié)果表明，和無抽樣小波變換相比，無抽樣Contourlet變換可以更好地增強(qiáng)圖像的細(xì)節(jié)信息。

1 無抽樣Contourelet變換

Contourlet變換[1]在進(jìn)行分解和重構(gòu)過程中，有大量的下采樣和上采樣操作，使得Contourlet變換缺乏平移不變特性，而變換的平移不變特性在信號處理中發(fā)揮著重要的作用。為此，Cunha等Contourlet變換的基礎(chǔ)上，提出了無抽樣Contourlet變換 （NSCT），它是Contourlet變換的平移不變版本，并且已經(jīng)應(yīng)用于圖像去噪和圖像增強(qiáng)等領(lǐng)域中。

與Contourlet變換類似，NSCT也是將尺度分解與方向濾波分開進(jìn)行：首先采用無抽樣的塔式濾波器（Nonsubsampled Pyramid Filter Bank，NSPFB）獲得信號的多尺度分解，然后用無抽樣方向濾波器組 （Nonsubsampled Directional Filter Banks，NSDFB）對得到的各尺度子帶信號進(jìn)行方向分解，從而得到不同尺度、方向的子帶。與Contourlet變換不同的是，NSCT在信號的分解和重構(gòu)過程中，取消了下采樣和上采樣操作，使得NSCT不僅具備多尺度、良好的時頻聚集性、高度的方向性和各向異性，而且具有平移不變特性以及各子帶之間具有相同尺寸大小等特性。

NSCT采用的NSPFB為二通道無抽樣濾波器組，如圖1（a）所示。 其中，分解濾波器{H0（z），H1（z）}和合成濾波器{G0（z），G1（z）}滿足 Bezout恒等式，如式（1）所示，從而保證了NSPFB滿足完全重構(gòu)（Perfect Reconstruction，PR）條件。與一維“à trous”小波[2]算法相似，NSPFB的每一級濾波器需要對上一級中采用的濾波器按采樣矩陣D=2I（其中I為2階單位矩陣）進(jìn)行上采樣。對于多層NSPFB，j尺度下低通濾波器的理想頻率域支撐區(qū)間為 [-（π/2j），（π/2j）]×[-（π/2j），（π/2j）]，而相應(yīng)的帶通濾波器的理想頻率域支撐區(qū)間為從頻率區(qū)間[-（π/2j-1），（π/2j-1）]×[-（π/2j-1），（π/2j-1）]中去除頻率支撐區(qū)間 [-（π/2j），（π/2j）]×[-（π/2j），（π/2j）]后的部分。因為分解后的低通信號和各尺度下的子帶信號與原信號大小尺寸相同，所以NSPFB的冗余度為J+1（J為NSPFB分解的級數(shù)）。

NSCT采用的NSDFB也是一組二通道非下采樣濾波器組，如圖 1（b）所示。 其中，分解濾波器{U0（z），U1（z）}和合成濾波器{V0（z），V1（z）}也滿足 Bezout恒等式，如式（2）所示，從而也保證了NSDFB滿足完全重構(gòu)條件。采用理想頻率支撐區(qū)間為扇形的濾波器U0（z）和U1（z）可以實現(xiàn)二通道方向分解。在此基礎(chǔ)上，對濾波器 U0（z）和 U1（z）采用不同的采樣矩陣進(jìn)行上采樣，并對上一級方向分解后的子帶信號進(jìn)行濾波，可以實現(xiàn)頻域中更為精細(xì)的方向分解。例如，可以對濾波器U0（z）和 U1（z）分別按采樣矩陣進(jìn)行上采樣得到濾波器 U0（zQ）和 U1（zQ），然后再對第一級二通道方向分解后得到的子帶進(jìn)行濾波，可以實現(xiàn)四通道方向分解。對于更多方向的分解，需要采用更為復(fù)雜的采樣矩陣對濾波器進(jìn)行上采樣。如果對某尺度下的子帶進(jìn)行1級方向分解，可得到21個與源信號尺寸大小相同的方向子帶。

圖1 NSCT中的二通道無抽樣濾波器組Fig.1 Nonsubsampled filter banks in NSCT

將NSPFB與NSDFB相結(jié)合，就可以實現(xiàn)NSCT。源信號經(jīng)NSPFB分解后得到的高頻帶通信號再輸入到NSDFB中以獲得帶通方向子帶，該過程在NSPFB輸出的近似分量上迭代進(jìn)行，從而實現(xiàn)對源信號的多尺度、多方向分解。由NSPFB和NSDFB的冗余特性，可以得到NSCT的冗余度為，其中J為分解尺度數(shù)，lj為j尺度下的NSDFB分解級數(shù)。

2 圖像增強(qiáng)方法描述

基于多尺度變換的細(xì)節(jié)信息增強(qiáng)方法的基本思想是用映射函數(shù)來修改原始信號的變換系數(shù)，然后用修改后的變換系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)[3-5]。為了有效抑制噪聲系數(shù)、增強(qiáng)細(xì)節(jié)信息系數(shù)，通常使用的是非線性映射函數(shù)且該函數(shù)應(yīng)具備以下條件[6]：1）強(qiáng)邊緣不應(yīng)變模糊；2）細(xì)節(jié)信息應(yīng)當(dāng)比強(qiáng)邊緣得到更高的增強(qiáng)；3）具有單調(diào)性；4）具有反對稱性。我們在NSCT域構(gòu)造了一種簡單而有效的非線性映射函數(shù)：

其中，角標(biāo) j、k 和（m，n）分別代表尺度、方向和位置；C（j，k，m，n）表示 原 始 信 號 的 NSCT 系數(shù) ，C^（j，k，m，n）表示 修 改 后 的 NSCT 系數(shù)；M（j，k）表示子帶內(nèi)系數(shù)幅值的最大值；T（j，k）是門限閾值，用于抑制隨機(jī)噪聲，這里我們選用K-sigma閾值；p是一個常數(shù)，用于控制映射函數(shù)的形狀和增強(qiáng)的程度，圖2給出了p值不同時，修改后的NSCT系數(shù)和原始信號的NSCT系數(shù)之間的關(guān)系。可以看到：為了增強(qiáng)細(xì)節(jié)信息，參數(shù)p應(yīng)當(dāng)滿足0＜p≤1；而且增強(qiáng)的程度隨著參數(shù)p的減小而增大。在增強(qiáng)區(qū)間[T（j，k），M（j，k）]和[-M（j，k），-T（j，k）]內(nèi)，映射函數(shù)的斜率大小隨 著系數(shù)幅值 的增大而減小，從而，和強(qiáng)邊緣相比，對應(yīng)于較小幅值系數(shù)的細(xì)節(jié)信息會得到更大的增強(qiáng)；小于和略大于門限 T（j，k）的小幅值系數(shù)對應(yīng)于噪聲和擾動，這些系數(shù)可被有效地抑制；此外，該非線性映射函數(shù)顯然滿足單調(diào)性和反對稱性。

圖2 修改后NSCT系數(shù)和原始系數(shù)之間的關(guān)系Fig.2 Enhanced coefficients versus original coefficients

基于無抽樣Contourlet變換的細(xì)節(jié)信息增強(qiáng)的方法可總結(jié)如下：

1）對輸入的二維信號進(jìn)行NSCT變換，從而得到NSCT系數(shù)。

2）用式（3）的非線性映射函數(shù)修改系數(shù) C（j，k，m，n），從而得到修改后的系數(shù)C^（j，k，m，n）。

3）用C^（j，k，m，n）進(jìn)行 NSCT 重構(gòu)，得到增強(qiáng)后的信號。

3 實驗結(jié)果

我們選擇 512×512大 小 的標(biāo)準(zhǔn) 圖 像 Barbara、Lena、Peppers進(jìn)行實驗，采用3尺度NSPFB變換，從最細(xì)尺度到最粗尺度，每個尺度下的方向數(shù)目依次取8、4、4，取0.7。表給出了使用不同方法降噪后圖像的細(xì)節(jié)方差 （DV）和背景方差（BV），可以看到，基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強(qiáng)方法可以更好地增強(qiáng)圖像的微弱信息。

表1 不同增強(qiáng)方法的增強(qiáng)效果比較Tab.1 Enhancement results with different m ethod

4 結(jié) 論

文中研究了基于無抽樣Contourlet變換的圖像增強(qiáng)方法，在無抽樣Contourlet變換域構(gòu)造了一種簡單有效的非線性映射函數(shù)，利用無抽樣Contourlet變換的多尺度、高度方向性和各向異性以及平移不變特性實現(xiàn)圖像細(xì)節(jié)的增強(qiáng)，并用測試圖像算例驗證了該方法的優(yōu)越性。

[1]Do M N，Vetterli M.The contourlet transform:an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transactions on Image Processing，2005，14（12）:2091-2106.

[2]Mallat S.A wavelet tour of sinal processing[M].2nd ed.New York:Academic，1999.

[3]Lu J，Jr.Healy D M.Contrast enhancement of medical images using multiscale edge representation[J].Optical Engineering，1994，33（7）:2151-2161.

[4]Laine A，F(xiàn)an J，Yang W.Wavelets for contrast enhancement of digital mammography[J].IEEE Engineering in Medicine and Biology Magazine，1995，11（5）:536-551.

[5]ZONG Xu-li， Andrew F L， Edward A G， et al.De-noising and contrast enhancement via wavelet shrinkage and nonlinear adaptive gain[J].Wavelet Applications，Proceedings of SPIE，1996，2762:566-574.

[6]Sakellaropoulos P，Costaridou L，Panayiotakis G.A waveletbased spatially adaptive method for mammographic contrast enhancement[J].Physics in Medicine and Biology，2003，48（6）:787-803.