一種隱式廣義預測自校正控制算法及其仿真研究

符曉玲

（昌吉學院物理系，新疆昌吉831100）

1 引言

在眾多的預測控制算法中，近年來研究最活躍的，同時成果也最多的是D.W.Clarke等人于1987年提出的廣義預測控制（Generalized Predictive Control，GPC）算法［1-3］。廣義預測控制作為一種新型的遠程預測控制方法，集多種算法的優點于一體，具有較好的性能。現有多種修正算法，大體上可分為顯式算法和隱式算法兩種。顯示算法是先辨識對象模型參數，然后利用Diophantine方程作中間運算，最后得到控制律參數，由于要作多步預測，就必須多次求解Diophantine方程，因要經過繁瑣的中間運算，故計算工作量較大，占線時間較長。隱式算法不辨識對象模型參數，而是根據輸入／輸出數據直接辨識求取最優控制律中的參數，因而避免了在線求解Diophantine方程所帶來的大量中間運算，減少了計算工作量，節省了時間［4-6］。

為了驗證隱式算法的可行性和優越性，本文將對其算法進行介紹，并進行仿真研究，分析仿真結果，總結參數變化對整個系統性能的影響。

2 單輸入單輸出系統的隱式廣義預測自校正控制算法

2.1 并列預測器

GPC的最優化控制律

要求ΔU必須知矩陣G和開環預測向量f，原因是控制量加權因子λ和經柔化后的設定值向量W均屬已知量。隱式自校正方法就是利用輸入／輸出數據，根據預測方程直接辨識G和f。

以前根據預測理論，為了預測超前輸出，引入Diophantine方程得到的最優輸出預測值為：

根據式（2）可得n個并列預測器為：

分析式（3）可知，矩陣 G 中所有元素 g0，g1，…，gn-1都在最后一個方程中出現，因此僅對式（3）的最后一個方程辨識，即可求得矩陣G。

2.2 矩陣的求取

在式（3）的最后一個方程中，令

則式（3）的最后一個方程可寫為：

輸出預測值為 y（k＋n／k）＝X（k）θ（k）或

本課中，按照學生的認知規律，教師把對食物網的探究進行梯度設計，首先請學生閱讀《有趣的“貓和牛”》，學習達爾文研究食物網的方法和角度。學生發現數量變化后，也領悟到了尋找生物間的關系是蘊含在其中的方法。教師再請學生結合一日三餐，思考：人是否屬于食物鏈（網）中的一員？我們從食物中獲得了什么？能量主要儲存在哪里？引導學生從數量、物質、能量三個角度進行探究。為了提升探究的有效性，教師進一步組織如下活動：

若在時刻 k，X（k-n）元素已知，Enξ（k＋n）為白噪聲，就能用普通最小二乘法估計參數向量θ（k），然而通常Enξ（k＋n）不是白噪聲，因此采用將控制策略與參數估計相結合的方法，即用輔助輸出預測的估計值來代替輸出預測值 y（k／k-n），且認為與實際值 y（k）之差為白噪聲 ε（k）。

θ（k）可用以下遞推最小二乘公式估計為：

式中：λ1為遺忘因子，0＜λ1＜1。

k時刻n步估計值可由下式算出，即

2.3 預測向量f的求取

根據GPC與動態矩陣控制（DMC）控制規律的等價性，GPC中的f向量相當于DMC中的Y0向量，可得到下一時刻的預測向量f為

在G和f求得后，就可利用式（1）計算控制量，在計算的每一步，都能得到此步至以后n步各點上的n個控制序列。為及時利用反饋信息決定控制量，每次僅將序列中的第一個控制量作用于系統，其后的n-1個控制量不直接作用于系統，而只用于＾的計算。

2.4 控制律的簡化

在自校正方案中，可從式（1）看出，每次計算必須在線求解一次 n×n 維逆陣（GTG＋λI）-1，在這里與基本的GPC一樣，也引入控制時域長度，m（m≤n）當 j＞m 時，有 Δu（k＋j-i）＝0，從而矩陣 G 變成 n×m維，矩陣（GTG＋λI）則變成了 m×m 方陣，降低了維數，減少了計算工作量。對階數較低較易控制的簡單系統，可取 m＝1，這時（GTG＋λI）將由矩陣變成一個標量數值，而整個運算過程將不會有矩陣運算。

2.5 GPC控制算法中的主要參數

對GPC來說，影響其性能的主要參數主要有以下幾個。

（1）采樣周期T

采樣周期T直接影響到g0，g1，…，gn-1和gT矩陣。采樣周期T的選擇，原則上應使采樣頻率滿足香農定理的要求，即應大于2倍截止頻率。T大有利于控制穩定，但不利于抑制擾動。T太長，將會丟失一些有用的高頻信息，無法重構出連續時間信號，且使模型不準，控制質量下降；T也不能太短，否則機器計算不過來，且有可能出現離散非最小相位零點，影響閉環系統的穩定。

（2）預測長度n

預測長度n對系統的穩定性有重要的影響。若控制長度m很小，控制加權系數λ＝0，即在控制增量不受壓制的情況下，增大n總可以得到穩定控制；若m為任意，通過加大λ，當∑gi＞0時，可得到穩定控制。

n對系統的動態特性也有影響。當n較小時，系統動態性能較差，增加n，可明顯改善動態性能，增強系統的魯棒性。但n過大，對進一步改善系統的動態性能作用不大，反而會增加計算時間，一般取 n＝5-15。

（3）控制長度m

控制長度m對系統的性能影響較大。較小的m，對控制起到一定的約束作用，使輸出變化平緩，有利于控制系統穩定；而偏大的m，表示有較多步的控制增量變化，增大了系統的靈活性和快速性，但往往產生振蕩和超調，引起系統的不穩定。因此，m的選擇應兼顧快速性與穩定性，一般取m＝1-3。

（4）控制加權系數λ

增加λ，控制量減少，輸出響應速度減慢，有益于增強系統的穩定性；但過大的λ會使控制量的變化極為緩慢，系統得不到及時的調節，反而會使動態特性變壞，一般取 0＜λ＜1。λ＝0 時，對控制量無約束。

（5）柔化系數α

柔化系數α對系統的魯棒性有重要的影響。若α小，跟蹤的快速性好，魯棒性差；增加α，系統的快速性變差，而魯棒性提高，故α的選擇必須在動態品質與魯棒性之間折中考慮，一般取0＜α＜1。

3 單輸入單輸出系統的仿真研究

為驗證該控制策略的有效性，對非最小相位系統進行仿真。考慮系統模型為：

將這個非最小相位系統與非線性環節構成非線性控制系統，如圖1所示。

圖1 具有非線性特性的非最小相位控制系統

取參數：p＝n＝6，m＝2，λ＝0.8，α＝0.3，λ1＝1；RLS參數初值：gn-1＝1，f（k＋n）＝1，Po＝105I，其余為零；ξ（k）為［-0.2，0.2］均勻分布的白噪聲，可得如圖 2 所示特性曲線。

圖2 跟蹤給定值特性曲線（m＝2，λ＝0.8，α＝0.3）

為了比較參數變化對系統特性的影響，再取一組參數：p＝n＝6，m＝2，λ＝0.6，α＝0.3，λ1＝1；RLS 參數初值：gn-1＝1，f（k＋n）＝1，Po＝105I，其余為零；ξ（k）為［-0.2，0.2］均勻分布的白噪聲，可得如圖 3 所示特性曲線。

由圖2和圖3可以看出，按照前面的方法來選擇參數，系統能夠較好的工作。而λ的引入是為了抑制過于劇烈的控制增量，以防止系統發生劇烈振蕩。比較圖2和圖3，當λ從0.6變為0.8時，控制量減少，輸出響應速度減慢，但穩定性增強了。因此，增加λ，輸出響應速度減慢，有益于增強系統的穩定性。

圖3 跟蹤給定值特性曲線（m＝2，λ＝0.6，α＝0.3）

4 結束語

本文通過對廣義預測控制進行改進，介紹了隱式廣義預測自校正控制算法，并進行了仿真研究。通過仿真結果驗證了該算法的優越性和可行性，并分析了參數變化對整個系統性能的影響，從而為廣義預測控制在工業生產中的應用提供一定的依據。

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