一類非線性隨機系統的自適應預測控制

侯曉秋，陳志學

（1.黑龍江科技學院電氣與信息工程學院，黑龍江哈爾濱150027；2.中國兵器工業第205研究所，陜西西安710065）

1 引言

自 1982 年 Billings等提出 NARMAX 模型［1］以來，針對于NARMAX模型的辨識和控制問題的研究已形成Billings學派，因人工神經網絡可逼近任意非線性系統，已提出許多控制算法，采用多模型逼近NARMAX模型的多模型自適應控制算法，我國學者韓志剛，侯忠生提出的無模型控制，各種采用時變線性模型逼近NARMAX模型的控制算法，采用動態切平面逼近NARMAX模型的控制算法等。文獻［2］給出的基于一步時滯情形的NARMAX模型的最小預測誤差自適應預測控制器的準則函數具有局限性，致使算法存在穩態偏差，文獻［3］對文獻［2］的準則函數進行改進，所提出的控制算法無穩偏，文獻［4］研究了NARMAX模型的多重時滯情形，文獻［2-4］的算法只適用于確定性情形，本文研究多重時滯隨機性NARMAX模型的自適應預測控制問題。

2 一類非線性隨機系統的NARMAX模型

Billings等提出NARMAX模型：

其中：y（t）為系統輸出，y（t）∈R1；U（t）為系統的m 維輸入，U（t）∈Rm；ξ（t）為系統干擾量，ξ（t）∈R1；Y（t＋d-1）為系統 t＋1 時刻至 t＋d-1 時刻輸出的集合；Y（t）為系統到t時刻為止的輸出的集合，U（t-1）為系統到t-1時刻為止的輸入的集合；ξ（t＋d）為系統止t＋d時刻的干擾量的集合；θ為未知參數；d為系統時滯，f（…）表示一般的非線性函數。因ξ（t）一般是無法測量的，故其在f（…）中出現的形式難以確定，所以上式NARMAX模型實用性差，這里將NARMAX模型的各種隨機干擾等效在系統的輸出端，當等效的干擾為平穩隨機序列時，基于文獻［5］線性濾波和譜分解定理及成型濾波器原理構成一非線性隨機系統模型：

其中：η（t）為平穩隨機序列，且

其中：e（t）為零均值，方差為 σ2的白噪聲序列，而

這里假設n2，nc已知，A2（q-1）和C（q-1）為穩定多項式。

3 四個假設條件

假設1：系統（1）式輸入輸出可觀測的，可控制的，即對某一系統有界的期望輸出信號，存在有界的可行控制輸入信號，使得系統在此控制輸入信號的驅動下，其輸出等于系統的期望輸出。

假設2：f（…）關于Y（t＋d-1）及U（t）的偏導數是連續的，且各偏導數有界。

假設3：由泰勒展開公式，在工作點Y0（t＋d-1），U0（t）處用線性的動態切平面去逼近一般的非線性系統式（1）時，假設有：

其中：

這里，假設3中的y0（t），U0（t）一般可為：

假設 4：d、n2、nc，已知。

假設1-3對多數非線性系統成立的分析見文獻［4］。

4 動態切平面逼近非線性系統

在工作點Y0（t＋d-1），U0（t）處對式（1）的非線性系統用動態切平面逼近，由一階泰勒展開公式得：

其中：

而

整理寫成，

其中：

而

這里，D（t）在t時刻是一個已知的量。

將式（2）代入式（8）整理得：

其中：

5 廣義最優預測

對于式（12），定義輔助輸出 s（t＋d）為，

其中：

可用如下引理闡述廣義最優預測：

引理1：廣義最優預測，滿足預測誤差方差，

其中：G（q-1）、F（q-1）滿足以下阿斯特羅姆恒等式，

式中：

證明：參考文獻［6］可證。

6 自適應預測控制算法

6.1 預測控制算法

控制輸入準則函數為，

而

且

定理1：對于非線性隨機系統式（1），滿足假設條件1-4，基于式（24）控制輸入準則函數的預測控制器算法為：

其中

證明：參考文獻［2、3、4、6］證明如下：

上式等價于如下準則函數：

由 J＊［U（t）］對 U（t）求偏導，

由式（19）得：

整理得：

得：

可得：

［7］的矩陣反演公式得：

式（34）代入式（33）即得式（28）算法。

6.2 自適應預測控制算法

當式（1）模型參數未知時，可采用文獻［8］的非線性參數估計算法估計其值，結合引理1的廣義最優預測算法和定理1的預測控制算法，構成自適應預測控制。

7 仿真研究

已知系統的形式為：

其中：θ1，θ2，a1的真值為：

U0（t），y0（t）選取如下：

參考輸入為：

結合現階段工程造價工作的信息化發展，雖然已經得到了絕大部分企業的認同，也積極進行了多方面的嘗試，但是在具體落實中卻同樣也存在著多方面的缺陷和不足，具體問題表現如下。

u1（t）及u2（t）的限幅為：

白噪聲，

參考文獻［3，4］的魯棒控制策略，使系統無穩偏，且控制輸入收斂于以原點為中心的變化域內，

采用文［8］的參數估計算法，仿真結果如圖1、圖2、圖3所示。由圖1可知系統的輸出響應曲線在0≤t≤100時不理想，這是由于算法開始時系統未知參數偏離其真值過大造成的，但系統能穩定運行，說明算法的魯棒性好。

圖1 輸出響應曲線

圖2 控制信號u1（t）的變化曲線

圖3 控制信號u2（t）的變化曲線

8 結束語

文中研究了一類非線性隨機系統的控制問題，所提出的模型較Billings等提出NARMAX模型具有實用性，控制算法適用于時變隨機系統，且系統無穩態偏差，控制輸入收斂于以原點為中心的變化域內，具有應用參考價值，進一步可研究其自適應廣義預測控制算法和多變量情形。

參考文獻：

［1］Billings，S.A.，and Leontaritis，I.J.Parmeter estimation techniques for nonlineat systems ［J］，6th IFAC Symp.Ident，and Syst.Par.Est.，1982：427-433.

［2］侯忠生.非參數模型及其自適應控制［M］.北京：科學出版社，1999，98-101.

［3］侯曉秋.非線性確定性系統的魯棒自適應控制器［J］.黑龍江科技學院學報，2003，13（2）：54-57.

［4］侯曉秋.多重時滯非線性系統的自適應預測控制［J］.黑龍江科技學院學報，2008，18（2）：137-139.

［5］韓曾晉.自適應控制［M］.北京：清華大學出版社，1995.70-76.

［6］Clarke D W ，Gawthrop P J.Self-tuning controller［J］.Proc.IEE，1975，122（9）：929-934.

［7］方崇智，蕭德云.過程辨識［M］.北京：清華大學出版社，1994.146-147.

［8］侯曉秋.非線性隨機系統的具有遺忘因子的遞推最小二乘法［J］.黑龍江科技學院學報，2008，18（4）：306-309.