調整步長牛頓法

劉停戰，劉偉，何穎

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

調整步長牛頓法

劉停戰，劉偉，何穎

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

本文研究了求解非線性方程組的迭代解法，提出了一種調整步長牛頓法。證明了該算法在不同條件下的二階收斂性和大范圍收斂性。

非線性方程組;牛頓法;調整步長牛頓法

1 引言

設F是實的或復的高維Banach空間上的某個凸子集Ω到同型空間S上的非線性算子，考慮求方程組

的解，其中F(x)=(f1(x)，…，fn(x))。我們知道在迭代法中，牛頓法和牛頓下山法最具代表性，牛頓法有二階收斂性，牛頓下山法有大范圍收斂性。牛頓法和牛頓下山法的迭代格式分別為:

2 調整步長牛頓法

我們構造方程組(1)的等價方程組

對(2)式使用牛頓法，得到牛頓迭代格式:

注 該算法是牛頓下山法的推廣。當0＜λ1=λ2=…=λn≤1時，調整步長牛頓法就簡化為牛頓下山法。當λ1=λ2=…=λn=1時，調整步長牛頓法即為牛頓法。

3 調整步長牛頓法的收斂性

關于調整步長牛頓法的收斂性及收斂階，我們有:

由以上可知，滿足Kantorovich定理的條件，所以結論成立。

定理1 給出了調整步長牛頓法的半局部收斂性，下面討論調整步長牛頓法的大范圍收斂性。

于是利用上式立即導出x(k)有極限x*∈Ω0存在，并注意‖［F'(x(k))］-1‖≤β以及λk的有界性。對(7)式令k→∞導出F(x*)=0。這樣就證明了調整步長牛頓法的大范圍收斂性。

4 數值實驗

本節將考慮使用上述調整步長牛頓法與牛頓法來計算一個例子，迭代終止條件為‖xk-x(k-1)‖＜10-6。

例1

表1

通過表l的計算結果可以看出當初始迭代點x(0)距離解較遠時，牛頓法發散，調整步長牛頓法卻收斂，這就說明了迭代格式(7)具有大范圍收斂性。

［1］劉興龍.解非線性方程組的一種帶參數的Newton方法［J］.哈爾濱工業大學學報，1979(2):97-104.

［2］馮果忱.非線性方程組迭代解法［M］.上海:上海科學技術出版社，1989.

［3］盧興江.關于解非線性方程組的Newton型迭代法的若干研究［J］.浙江絲綢工學院學報，1998，15(2):141-144.

［4］Ortega JM，RheinboldtW C.多元非線性方程組迭代解法［M］.北京:科學出版社，1983.

Step-adjusting New ton M ethod

LIU Ting-zhan，LIUWei，HE Ying
(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

In this paper，we studied iterative method for solving nonlinear equations and obtained stepadjusting Newton method.Second-order convergence and global convergence are also proved in different conditions.

nonlinear equations;Newton method;step-adjusting Newton method

O241.7

A

1673-4793(2012)01-0008-03

2011-07-12

劉停戰(1954-)，男(漢族)，吉林長春人，中國傳媒大學理學院教授.E-mail:tzliu@cuc.edu.cn.

(責任編輯

:宋金寶)