基于集膚效應(yīng)的地鐵短路時間常數(shù)研究

魯小兵，周文衛(wèi)，王元貴

0 引言

在地鐵直流牽引供電系統(tǒng)中，最常見、危害最大的是短路故障，其中發(fā)生概率最高的是架空接觸網(wǎng)對走行軌的短路[1]。短路點和牽引所之間的距離對短路電流的特征有很大影響，按照短路故障發(fā)生的位置，可以將其分為近端短路和遠端短路。研究短路電流變化趨勢，進行短路電流計算，對于保護裝置參數(shù)整定有重要意義。

發(fā)生遠端短路時，由于走行軌是鐵磁材料，且橫截面積很大，容易受到集膚效應(yīng)的影響，在發(fā)生短路的暫態(tài)過程中，走行軌的電阻和電感等電氣參數(shù)會發(fā)生很大變化，從而影響短路電流的發(fā)展趨勢。本文在考慮走行軌集膚效應(yīng)的基礎(chǔ)上，對走行軌相關(guān)參數(shù)進行計算，為保護裝置整定提供依據(jù)。

1 短路模型

遠端短路故障可以不考慮詳細的整流機組交直流變換模型，將交流側(cè)等效為直流電壓源Ud0串聯(lián)電阻 Req和電感 Leq的方法來計算遠端短路故障電流[2]。在不考慮走行軌集膚效應(yīng)的條件下，接觸網(wǎng)和走行軌分別可以使用僅與長度有關(guān)、參數(shù)恒定的電阻串聯(lián)電感R1L1和R2L2來模擬。遠端短路模型如圖1所示。

圖1 遠端短路電流計算等效模型示意圖

由暫態(tài)電路可知：

式中，τ是時間常數(shù)，不考慮走行軌由于集膚效應(yīng)而導(dǎo)致參數(shù)變化的條件下，短路電流滿足

2 實測短路數(shù)據(jù)分析

但在實際工況環(huán)境下，時間常數(shù)是變化的，以廣州地鐵實測短路電流為例，計算其短路過程中時間常數(shù)的變化趨勢。

圖2 a和圖2 b分別為廣州地鐵某次短路的電流波形，將時間坐標平移，使短路起始點在0時刻，記錄不同時刻的電流值并計算其時間常數(shù)[3]，結(jié)果如表1所示。

圖2 實測短路電流曲線圖

從表1可以看出，在短路發(fā)展過程中，短路電流時間常數(shù)的整體發(fā)展趨勢是逐漸增大的。在圖1所示的模型中，只有走行軌的電氣參數(shù)由于受到集膚效應(yīng)的影響會發(fā)生較大變化，其他電氣參數(shù)基本穩(wěn)定。

在短路發(fā)展的初始階段，集膚效應(yīng)的影響最大，短路電流主要集中分布在鐵軌的外表面；隨著短路過程的發(fā)展，集膚效應(yīng)的影響變小，短路電流逐漸均勻地分布在整個鐵軌的截面上。因而，短路發(fā)展過程中，電阻值逐漸減小，電感值逐漸增大，這就解釋了時間常數(shù)隨著短路過程發(fā)展逐漸變大的原因。

3 集膚效應(yīng)理論分析

考慮集膚效應(yīng)對走行軌電阻和電感參數(shù)的影響，可以采用有限元分析等數(shù)值計算方法，也可考慮將不規(guī)則的走行軌等效為圓柱形導(dǎo)體的方法[4]。有限元方法需要進行邊界條件的確定、有限元網(wǎng)格的劃分、初始條件的求解等步驟[2]，尤其是有限元網(wǎng)格的劃分對計算精度和計算時間復(fù)雜度影響很大，非專業(yè)人員難以把握。本文考慮后一種方法，求得走行軌集膚效應(yīng)條件下的電阻及電感解析解。

在將走行軌等效為圓柱體模型時，有2種考慮方法：當(dāng)電流均勻分布在走行軌截面上時，可以用與走行軌截面面積相同的圓柱體截面來等效；當(dāng)電流主要分布在走行軌截面的外圍時，可以考慮用與走行軌截面周長相等的圓柱體截面來等效。走行軌集膚效應(yīng)嚴重時，電流主要分布在走行軌的外表面，因而采用后者計算等效圓柱體截面半徑。例如地鐵中使用的 P50型標準走行軌，橫截面周長為62.0 cm[5]，等效圓柱體截面半徑為9.867 cm。

表1 短路電流時間常數(shù)變化趨勢一覽表

3.1 等效圓柱體模型

圓柱形導(dǎo)體半徑為Ra，導(dǎo)體中沿z軸方向流過電流為I，電流密度為沿圓周方向的磁場強度為建立圓柱坐標系中等效圓柱體模型，如圖3所示。

在距離導(dǎo)體截面中心為r處，應(yīng)用安培環(huán)路定律可得

將上式兩端對半徑r進行微分并改寫為向量形式

式中，μ為磁導(dǎo)率，γ為電導(dǎo)率，將式（4）對 r求導(dǎo)并代入式（5）可得

而圓柱體的內(nèi)阻抗為

圖3 等效圓柱形導(dǎo)體模型示意圖

其中：

可以得到：

3.2 仿真驗證

采用文獻[4]的電氣參數(shù)，走行軌相對磁導(dǎo)率μr= 100，電導(dǎo)率γ = 4.5×106S/m，應(yīng)用式（8）—式（10）在 Matlab仿真環(huán)境下可以得到走行軌電阻和電感隨頻率變化趨勢（圖4和圖5）。

圖4 走行軌電阻隨頻率變化趨勢曲線圖

圖5 走行軌電感隨頻率變化趨勢曲線圖

4 結(jié)語

本文借助廣州地鐵實測數(shù)據(jù)，在數(shù)值分析和相關(guān)仿真模型的基礎(chǔ)上，提出了隨著短路電流的增大，其時間常數(shù)也在逐漸增大；同時，地鐵走行軌的集膚效應(yīng)隨著頻率的增大而更加明顯，內(nèi)電阻逐步增大，內(nèi)電感卻逐漸減小，從而導(dǎo)致了時間常數(shù)的變化。

[1]徐勁松，高勁，江平，等.淺析地鐵直流牽引變電所的保護原理[J].電氣化鐵道，2003，（6）.

[2]李良威.城市軌道交通直流側(cè)短路故障研究[D].成都：西南交通大學(xué)，2007.

[3]于松偉，楊興山，韓連祥，等.城市軌道交通供電系統(tǒng)設(shè)計原理與應(yīng)用[M].成都：西南交通大學(xué)出版社，2008.

[4]孔瑋.城市軌道交通直流牽引系統(tǒng)故障分析及若干問題的研究[D].保定：華北電力大學(xué)，2005.

[5]龔?fù)⒅?直流牽引供電系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型與短路計算研究[D].北京：北京交通大學(xué)，2009.

[6]何樺.基于小波變換的地鐵直流側(cè)遠方短路電流分析[D].南京：河海大學(xué)，2002.