考慮側斜及縱傾情況下的船舶螺旋槳最佳環量分布計算

王超，何苗，周劍，熊鷹，黃勝

(1.海軍工程大學 船舶與動力學院，湖北武漢430033;2.哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

船舶螺旋槳的徑向環量分布直接決定了螺旋槳的載荷分布及效率，因此，如何計算螺旋槳最佳環量分布是船舶螺旋槳理論設計及性能預報中重要的一步.Betz［1］早在1919年就以升力線理論為基礎導出了均勻流中螺旋槳最佳環量分布的條件，Lerbs［2］也提出了一種計算最佳環量分布的方法，并將其應用于非均勻流中的螺旋槳.他們都用了Betz條件，但其方法只對于均勻流的情況是完全正確的.初始的升力線理論沒有考慮螺旋槳的側斜分布與縱傾分布，而且Lerbs提出的誘導因子法并沒有考慮附著渦以及側斜分布等產生的影響.

本文應用螺旋槳的升力線旋渦模型［3］，把集中的附著渦放置在槳葉的中線即弦長中點處，以計及槳葉側斜和縱傾的影響，如果槳葉沒有側斜和縱傾，則升力線仍為徑向線，否則升力線為一空間曲線.通過計算分析了側斜及縱傾變化對螺旋槳最佳環量分布、誘導速度以及對水動力螺距角的影響等.

1 升力線基本理論

升力線上的誘導速度采用離散馬蹄渦模型，即把升力線均勻離散為M個附著渦段，形成M個螺旋馬蹄形渦.記渦段端點的徑向坐標為rom(m=1，M+1)，渦段中點徑向坐標為rm(m=1，M)，則馬蹄渦系在控制點處產生的誘導速度可按下式［4］計算:

式中:Γn為第 n 個馬蹄渦的環量強度，Ha，t(m，n)為第n個單位強度的螺旋馬蹄形渦所產生的誘導速度，下標a和t分別為軸向和切向方向.

螺旋槳工作時，尾流具有誘導速度而產生誘導損失，此種能量損失等于螺旋槳所吸收的功減去螺旋槳所作的有用功，令Ei表示單位時間內能量損失［5］，則

為了便于討論，給定Ti，此時Ei取極小值時，Qi必最小.因此，船舶螺旋槳的最佳環量分布條件可描述為:在給定推力(或轉矩)的情況下，使螺旋槳效率最高，即螺旋槳的轉矩最小(或推力最大)，由此得到的環量分布稱為最佳環量分布.這里，螺旋槳的尾渦忽略徑向收縮，且忽略粘性力.則螺旋槳的無粘推力及轉矩可表示為［6］

2 計入縱傾與側斜的螺旋槳最佳環量分布的計算

考慮了螺旋槳的側斜分布后，升力線模型中的附著渦線不再是沿著徑向的一條直線段，因此，在求解螺旋槳誘導速度時不可再直接應用Lerbs誘導因子法.本文采用離散渦分布的方法，為了方便討論，忽略流體粘性，假定推力已知，使螺旋槳的轉矩最小.求解過程中主要采用了以下2種計算方法.

1)方法A

即拉格朗日乘子法求極小值的方法［4］，為此引入函數 F(λ，Γ1，Γ2，…，ΓM)=Qi+ λ［Ti(1-t)-T］，此問題即為求函數F的極小值.于是令

通過上式可得出線性方程組:

式(5)及(6)構成了M+1個線性方程，為了使方程系數比較工整，往往首先給定定拉格朗日乘數λ的初值，這樣方程(6)就變成了含有M個未知環量的M個線性方程組:

先計算出推力，如果推力不等于給定的推力，則修改拉格朗日乘數λ，進行下一次迭代，直到推力等于給定的推力為止，此時得到的環量分布即為最佳環量分布［6］.但由于誘導速度 ua、ut與水動力螺距βi有如下關系:

而初始時βi(j)往往未知，通常以各半徑處的進角為初始迭代值.

2)方法B

由前面推導的螺旋槳最佳環量分布條件，建立確定最佳環量分布的線性方程組進行數值計算［3］.以敞水螺旋槳為例.假定螺旋槳推力為T，直徑D，槳葉數Z，進速為VA，槳葉上誘導速度為ua、ut.

敞水條件下最佳環量分布條件為

式中:C為常數.

由葉元體的速度多角形可知:

將式(10)代入式(9)，并結合式(1)可得以下線性方程組:

考慮到影響系數Ha，t(i，j)與螺旋槳水動力螺距角有關，而初始水動力螺距角是未知的，通常以螺旋槳進角作為初始迭代值，迭代公式見式(8).

由線性方程組可知，常數C的取值直接關系到環量分布的大小.為了快速得到給定推力T的螺旋槳最佳環量分布.通常先根據螺旋槳直徑D與推力T計算理想推進器的推進效率ηiA:

令 C=0.95ηiA，代入方程組(11)，可求得螺旋槳敞水最佳環量分布，修改常數C可得給定推力下的螺旋槳最佳環量分布.若考慮螺旋槳船后及推力減額的影響，可令再代入方程組(11)，由水動力螺距角的迭代公式(8)、修改常數C及求解方程組(11)便可得螺旋槳的最佳環量分布.

3 計算結果分析

3.1 角度步長對螺旋槳最佳環量分布的影響

因為誘導速度的計算直接關系到了螺旋槳最佳環量分布的計算，而誘導速度與影響系數Ha，t(m，n)有著直接關系.在計算 Ha，t(m，n)時，自由渦系部分計算是直接根據自由渦系誘導速度的積分公式進行數值計算的，所以角度步長的選擇對Ha，t(m，n)及螺旋槳最佳環量分布影響很大［8］.計算所采用的螺旋槳參數如表 1［9］.

表1 螺旋槳主要參數Table 1 Main parameters of propeller

由圖1可以得出角度步長DAF取得過大時，最佳環量分布偏差較大［10］，這是因為角度步長過大時，自由渦線形狀與真實螺旋線偏差較大;角度步長取得過小時，計算精度可以滿足要求，但計算時間大大加大，不利于快速計算.而取DAF=2.5度時，最佳環量分布基本上趨于穩定，因此，下文計算時角度步長均取為DAF=2.5度.

3.2 縱傾的影響

采用方法 B 分別對縱傾為 0°、1°、2°、…7°、8°的無側斜螺旋槳最佳環量進行了計算與對比;同時計算分析了縱傾對螺旋槳誘導速度與水動力螺距角的影響，詳細可見圖2～5(實體標志曲線位于左側坐標之中).

圖1 敞水情況下最佳環量分布曲線Fig.1 The optimal circulation distribution in open water condition

圖2 不同半徑處環量隨縱傾變化曲線Fig.2 The change of optimal circulation distribution along with rake increasing

圖3 最佳環量分布最大值隨縱傾變化曲線Fig.3 The max value of optimal circulation distribution along with rake changing

由圖2可知，在靠近葉根與葉梢處最佳環量隨著縱傾增加呈現減小的趨勢，而在其他半徑處則呈現相反的規律.同時，由圖3可以看出最佳環量分布的最大值隨縱傾變化幅度較小，但均比無縱傾時要偏大些(計算中最大值位于0.7R處).

圖4 不同縱傾情況下的誘導速度Fig.4 The induce velocity in different rake conditions

由圖4可知，隨著縱傾增加，軸向誘導速度Ua與切向誘導速度Ut均逐漸減小.但由于理論上自由渦線是一條半無無窮長的近似螺旋渦線，計算時并未完全計及，因此，在外半徑區內切向誘導速度Ut本身已經很小了，容易出現一些誤差.

圖5 各個半徑處水動力螺距角隨縱傾變化曲線Fig.5 The change of βialong with rake increasing

由圖5(實體標志曲線位于左側坐標之中)可明顯觀察到，隨著縱傾的增加，螺旋槳各個半徑處的水動力螺距角均呈現遞減的趨勢，在螺旋槳的幾何螺距角一定的情況下，螺旋槳各個半徑剖面處有效攻角則相應增加，這在某一程度上說明了增加縱傾可以提高螺旋槳推力系數，但從圖5中可看出，水動力螺距角的變化不是很大，故影響很小.

3.3 側斜的影響

為了考慮側斜分布對敞水及船后螺旋槳最佳環量分布的影響，采用方法A分別計算敞水及船后的有無側斜情況下螺旋槳最佳環量分布.計算采用的螺旋槳的主要特征參數如表2［11］，伴流及側斜分布見表3.

由圖6可知，在敞水或伴流情況，側斜分布使螺旋槳最佳環量分布在內半徑區有所增加，而且在一定范圍內隨著側斜角的增加環量呈現增大的趨勢，但總的影響不是很大.而由圖7和圖8可知，側斜分布對軸向誘導速度的影響較切向誘導速度偏大，而且軸向誘導速度隨著側斜分布的變化與切向誘導速度成相反的趨勢.

表2 螺旋槳主要參數Table 2 Main parameters of the propeller

表3 伴流分布及側斜分布Table 3 Wake flow and skew conditions

圖6 敞水及船后伴流螺旋槳最佳環量分布Fig.6 The optimal circulation distribution under open water and wake flow conditions

圖7 軸向誘導速度Ua徑向分布Fig.7 The radial distribution of Ua

圖8 切向誘導速度Ut徑向分布Fig.8 The radial distribution of Ut

由圖9(實體標志曲線位于左側坐標之中)可知，不論在敞水或伴流情況下，隨著側斜角的增加，內半徑區內的水動力螺距角呈現增大的趨勢，而在外半徑區的水動力螺距角則呈現減小的趨勢，這是因為側斜分布對軸向誘導速度的影響與切向誘導速度的影響相反的緣故.

圖9 不同側斜分布的水動力螺距角Fig.9 The βiof different skew distributions

4 結論

該文針對傳統升力線理論的特點，計入縱傾與側斜的影響，根據編寫的程序求解了螺旋槳的最佳環量分布，重點分析縱傾與側斜對螺旋槳最佳環量分布等的影響.通過計算分析得出以下結論:

1)通過計算分析，獲知采用角度步長DAF=2.5度可以得出比較可靠的結果.

2)隨著縱傾增加，在靠近葉根與葉梢處的最佳環量呈現減小的趨勢，而在其他半徑處則呈現相反的規律;同時隨著縱傾增加，軸向誘導速度與切向誘導速度以及螺旋槳各個半徑處的水動力螺距角均逐漸減小.

3)側斜分布對軸向誘導速度的影響與切向誘導速度的影響相反，從而隨著側斜角的增加，內半徑區內的水動力螺距角呈現增大的趨勢，而在外半徑區的水動力螺距角則呈現減小的趨勢.

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