基于時域有限差分法的微帶天線分析

高紅友，于少鵬，姜 宇

（1.船舶重工集團723所，揚州225001，2.天津大學仁愛學院，天津301636，3.哈爾濱工程大學，哈爾濱150001）

0 引 言

微帶天線是由導電介質薄片粘貼在導體接地板背面介質基片上形成的天線，具有重量輕、成本低、平面設計、可以與集成電路兼容等優點，目前各式各樣的微帶天線被工程人員設計出來，獲得了廣泛的工程應用［1］。為了正確設計或選擇微帶天線，需要得到天線的電參數，而根據設計指標對其進行電磁特性分析決定著設計出天線的精確度。隨著計算電磁學的發展，目前已經提出矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、邊界元法（BEM）以及時域有限差分方法（FDTD）等數值方法對電磁問題進行求解，快速準確地計算復雜微波元器件、天線輻射元及天線的數值解成為可能［2］。1966年美國學者Yee提出的FDTD由于理論成熟，倍受關注，也早已應用到天線的分析和設計中［3－4］。本文對FDTD的計算過程進行了較詳細的推導，并將其應用到微帶天線分析中。

1 FDTD基本方程

1.1 Maxwell方程

微帶天線的電磁特性分析過程本質上是結合實際電磁參數求解Maxwell方程的過程。Maxwell旋度方程為：

式（1）和式（2）2個旋度方程式是最基本的，也是研究電磁場問題的出發點。

將式（1）和式（2）電磁場矢量在直角坐標系中可寫成x，y，z分量，有：

式中：ε為介質介電常數；σ為電導率；μ為磁導率；ρ為磁阻率。

這6個偏微分方程（式（3）～式（8））是研究FDTD的理論基礎。

1.2 FDTD基本單元

FDTD法通過微分差分的方法建立式（3）～（8）的差分方程，而建立差分方程的先決條件是構建合理的連續變量離散化的網格單元體系，FDTD基本單元就是一個經典的網格體系［5］，這為后續深入研究奠定了基礎，其直角坐標系的網格示意圖如圖1所示。

圖1 直角坐標系中的FDTD基本單元

從圖1可以看出E和H各分量在網格空間相互交叉，每個坐標平面上的E分量由4個H分量所環繞，同時每個H分量也由4個E分量所環繞，電磁相互交換。

1.3 FDTD差分方程

FDTD基本單元利用矩形網格進行空間離散，在一個FDTD網格單元中首先對每個節點編號處理，節點的編號和空間坐標位置點有下列關系：

則該點的函數式F（x，y，z，t）在時刻nΔt的值可寫為：

式中：Δx，Δy，Δz分別為x，y，z方向空間步長；Δt為時間步長。

采用差分式代替對時間和空間的微分，即：

按照式（11）和式（12）的形式，式（3）～式（8）可化為FDTD差分方程，以式（5）和式（8）為例得到差分式（13）和（14），其他公式的差分格式可類似寫出：

2 FDTD建模及結果分析

下面以微帶天線為例進行FDTD建模分析，微帶天線輻射單元尺寸為25.15mm×16.3mm，基板材料為聚四氟乙烯纖維板，其相對介電常數εr＝2.33，基板厚度為0.787mm，其結構如圖2所示。

圖2 微帶天線結構示意圖

利用Matlab軟件編寫FDTD程序完成計算，具體FDTD建模步驟如下：

（1）確定空間步長，采用等長空間步長設置，網格細化 Δx＝0.465mm、Δy＝0.359mm，Δz＝0.202mm，整個微帶天線空間為100Δx×60Δy×26Δz，將空間步長代入時間步長必須滿足Courant穩定性條件的計算公式，得到Δt＝0.548 8ps；

（2）設置吸收邊界，這里設置10層，在FDTD計算空間截止邊界區域設置；

（3）設置激勵源，采用高斯脈沖形式，激勵源的激勵位置在（0，30，0）處。

得到時間步長為100，500，1 000，2 000時電場強度分布，如圖3所示。

圖3 不同時刻微帶天線的電場分布

由電場強度分布得到微帶天線輸入端反射波和入射波曲線，從圖4中可見由于吸收邊界不可能完全吸收，還存在一定的反射，產生誤差，隨著計算時間的增加，反射波逐漸衰減，影響計算精度有限，再經過FFT變換得到反射系數S11變化曲線，如圖5所示。FDTD計算結果與電磁仿真軟件XFDTD比較，兩者數據比較吻合，滿足計算精度。

3 結束語

微帶天線是現代微波技術在天線領域的重要應用，已廣泛應用在電子、雷達、導航以及無線電設備上。為了正確設計微帶天線，需了解天線的電性能參數，用數值方法對微帶天線進行分析，精確度高，可以大大降低天線設計時間。

圖4 天線輸入端入射波和反射波

圖5 天線反射系數S11

本文介紹常用的時域有限差分方法分析微帶天線，導出FDTD的計算過程，總結出FDTD分析問題的一般步驟，最后，又用FDTD分析了一款微帶天線，得出不同時刻天線的電場分布和天線回波損耗S11，數值結果和仿真結果比較吻合，可以看出利用FDTD分析無疑利于設計微帶天線，這對FDTD分析電磁問題提供了一定的參考依據。

［1］鐘順時.微帶天線理論與應用［M］.西安：西安電子科技大學出版社，1991.

［2］劉波，高本慶.電磁場時域數值方法及其混合技術概述［J］.微波學報，2006，22（2）：1－6，25.

［3］葛德彪，閆玉波.電磁波時域有限差分方法［M］.西安：西安電子科技大學出版社，2005.

［4］姚廣鋒，王積勤，劉剛.采用PML的FDTD方法對矩形微帶天線的研究［J］.現代雷達，2003（11）：36－38.

［5］Yee K S.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14（3）：302－307.