基于Daubechies小波分析的單頻大采樣率GPS周跳探測

蔣俊華 ，蔣代楊，汪閩，汪偉

(1.天津市測繪院，天津 300381;2.天津市勘察院，天津 300191)

1 引言

對于單頻大采樣率載波相位數據，很多因素造成的誤差足以讓小周跳湮沒在噪聲中難以探測。并且，在很多情況下，噪聲也不是高斯白噪聲?；谶@種考慮，結合周跳產生的規律，用星間－歷元間的兩次差分和小波多尺度分析的方法，來探測周跳，并利用小波變換的最細的兩個尺度層形成空間屏蔽濾波器，對小波探測后的數據進行降噪，使得周跳點得以顯露。大量的實驗結果表明:對大采樣率的單頻載波相位數據，用這種方法可以準確的探測到2周以上的周跳，對完全湮沒在噪聲中的一周左右的小周跳，該方法不具備優勢。但通過設置軟閾值利用小波變換對信號做平滑降噪處理，從而認為近似處理掉了一周左右的小周跳。

2 數學方法與模型

2.1 小波基礎

如果:φ(t)∈L2(R)，且滿足

通過該變換，可以把時域信號f(x)展開成若干描述子頻帶的時域分量之和［1］。對小波函數，用二進的方法對其離散化，可以得到:

用該小波基采用Mallat快速算法對等采樣率的離散載波相位數據進行離散小波變換。小波函數采用正交的、具有近似對稱性的、緊支集長度為2的 Daubechies小波。采用該小波的原因是:連續歷元二次差前有周跳的數據點是關于突變中心奇對稱的，選擇具有近似中心奇對稱的db2小波，經小波變換后，可以得到局部范圍中心偶對稱的極值點，根據該極值點，可以檢測到周跳所在。

2.2 Mallat快速算法

建立在多分辨率分析(Multi－Resolution Analysis)基礎上的金字塔式離散小波分解過程可以描述為:

其中，n=1，2，…N －1，(N 為采樣點數)，j為小波分解層數，hk－2n，gk－2n分別為分解的權系數。

2.3 空間屏蔽濾波器

空間屏蔽是用Daubechies小波變換的兩個最大尺度j和j+1的細節系數對應相乘，即:

其中，F(x)是空間濾波器系數，Dj(x)和Dj+1(2x)分別為第j和j+1層細節對應的分解參數。噪聲在兩個相鄰尺度上的小波分解，可認為是不相關的，即滿足:E［xj，xj+1］=0。而信號畸變點的小波變換在相鄰兩個尺度上有一致的變化趨勢，利用該特征組合成空間屏蔽濾波器可以更加突現畸變點而削弱噪聲?；凕c的Lipschitz指數與小波變換在該點的極大值關系為［7，8］:

其中，j是變換尺度，K是與尺度函數相關的常量，a是Lipchitz指數。對二次差后的載波相位數據，其Lipschitz指數a＞0，所以，隨著小波變換尺度的增加，畸變點的最大值隨著增加。相鄰兩個尺度的小波變換細節系數構成的空間屏蔽濾波器可以削弱噪聲，突現畸變點。

2.4 探測原理

根據單頻星間－歷元間的二次差，我們知道，在沒有噪聲干擾和周跳發生的情況下，在連續歷元時間間隔內，衛地距的變化加速度是緩慢的、其曲線一階導數是平滑的［5］;而星間－歷元間的二次差可以消除接收機鐘差的影響，從而使得由于接收機鐘差對周跳的影響消除，經歷元間求差后可以削弱大氣影響。如果把周跳看做是信號瞬間能量，那么，星間－歷元間的二次差相當于提高了信噪比。用緊支集長度為2的Daubechies小波對二次差后離散數據進行多尺度的時—頻局部化分析，結合Mallat離散小波的快速算法，檢測出周跳的具體位置。因為白噪聲的小波分解在較細尺度層上是均勻稠密且相關性很差，所以用第j層和第j+1層的db2小波分析的細節系數構成空間屏蔽濾波器，對db2小波分析的高頻細節部分做濾波處理，進一步削弱噪聲的影響，讓周跳位置更清晰的顯露。

3 算例及分析

人為模擬周跳:用事先準備好的、采樣率為30 s的、沒有周跳的某型號單頻GPS接收機實測的16#、31#衛星數據作星間－歷元間雙差，并人為在星間單差的第50、150、350 個歷元處分別加入 1、2、2 周周跳(表1)，經過歷元間雙差(圖1)，后用db2小波5個尺度層進行探測，探測結果如圖2所示，db2探測結果的高頻系數經小波變換的最高層跟次高層組成的空間屏蔽濾波器后的效果如圖3所示。

增加周跳前后的數據列表表1

圖1 星間－歷元間二次差結果

圖2 經db2小波探測周跳結果

圖3 經空間濾波器后的周跳結果

從圖2可以看出，對采樣率為30 s的單頻含周跳數據做db2小波變換后，2周的周跳結果探測比較明顯(圖2第150、第350歷元處)。對1周的周跳，在該點噪聲很小的情況下可以顯現(圖2第50歷元處)。經過空間屏蔽濾波器后，由圖3可見:噪聲明顯降低了很多，2周周跳點的位置十分突出;但對1周的周跳，如果在該點的噪聲很小的情況下，就可以探測到。但對小采樣率的數據(小于5 s)來說，在一個歷元間隔內，相位數據受到加性噪聲的干擾要比大采樣率的數據小，故對小采樣率的單頻數據來說，用該方法對1周左右的周跳是容易探測到的。

4 小波探測周跳的關鍵技術

一般地，對單頻大采樣率載波相位數據，其本身受到噪聲污染的因素很多(比如接收機鐘差，衛星鐘差，大氣影響等)，而且很難消除。用星間－歷元間的二次差分結合多尺度小波分析的方法可以準確探測到2周的周跳。其技術關鍵在于:在處理高頻數據時，結合高斯白噪聲經過多層多尺度小波分析后幅度(能量)以約 2－1/2倍速快速衰減的特性［1，8，9］，把相鄰兩個細尺度層上的小波變換對應相乘，形成空間屏蔽濾波器，用其與最細層的小波變換相乘，可以很好的消除噪聲影響，為大采樣率載波相位數據的小周跳探測創造了條件。

5 結論

本文對大采樣率單頻GPS載波相位數據的周跳的探測做了探討:對觀測數據做星間－歷元間二次差分，對差分后的序列做db2小波分析，并經過由db2小波分析的最細兩個尺度組成的空間屏蔽濾波器濾波后，可以準確探測到2周以上的周跳，但對1周的周跳探測效果不十分明顯。該方法與高次差法探測周跳的主要區別是:該方法充分利用了白噪聲隨小波變換尺度的增加快速衰減的特性探測到信號突變點，而高次差法只是在歷元間求差，其不能削弱白噪聲的影響，因此，高次差法不能探測到小的周跳。

對1周左右的周跳，如果采取小波變換后通過設置軟閾值的方法對數據濾波，在抑制噪聲的同時，可以認為在一定程度上對1周的周跳進行了修復，這是對后期工作的展望，不在本文討論之內。

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