基于灰色系統與逐步回歸及二者組合的大壩變形分析模型研究

周呂 ，文鴻雁，李超

(1.桂林理工大學測繪地理信息學院，廣西桂林 541004;2.廣西空間信息與測繪重點實驗室(桂林理工大學)，廣西桂林 541004)

1 引言

水庫大壩安全監測的原始觀測數據一般只展示了大壩的直觀表象，要深刻地揭示變形規律和做出判斷，還要通過對監測數據和監測資料進行系統的分析，對大壩的狀態做出及時的分析、解釋、評估和預測，才能為有效地監控大壩的安全提供可靠依據。大壩變形數學模型是以大壩效應量監測值建立起來的具有一定形式的數學方程式。這種數學方程式能夠反映大壩效應量監測值的定量變化規律，確定大壩效應量與其他環境影響因子間的確定性關系或統計關系［1］。由此本文通過灰色系統GM(1，1)、逐步回歸分析與最優加權組合模型對一大壩的同一監測點建立其水平位移量的變形模型，并將三個模型引入監測點的變形預測中，利用原始監測數據進行驗證，通過對比分析三模型的預測結果，表明通過最優加權組合建立的模型具有較高的預測精度。

2 灰色系統模型GM(1，1)的建立

灰色系統就是指既含有已知的又含有未知的或非確知的信息系統［2］。灰色系統理論通過對較少或不確定的表示系統行為特征的信息作生成變換來建立灰色模型(Grey Model)，以此來正確把握系統運行行為和演化規律。GM(1，1)模型是一個只需一個灰色數列且適用于大壩變形預測分析的模型。GM(1，1)預測模型的建立過程如下［2］:

為了提高系統原始數據的規律性，可對灰色量采用數據生成方式，獲得有較強規律性的生成數列。常用的生成方法主要有:累加生成、累減生成、均值生成等。

令x(0)為某一監測點各期的等間隔非負原始數據序列:

式中n為序列長度，k=1，2，…，n。對原始序列進行一次累加生成，得到光滑的生成數列(記 x(1)=AGOx(0)):

對(2)時間求導建立GM(1，1)一階線性灰微分方程，即GM(1，1)預測模型的白化方程:

式中a，b為待定常數。a用來控制系統發展態勢的大小，稱為發展系數;b用來反映數據的變化關系，稱為灰色作用量。由文獻［2］對方程(3)求一重積分，得到GM(1，1)白化方程的時間響應式:

通過累減生成GM(1，1)預測模型:

3 逐步回歸原理分析

逐步回歸的基本思想是，將變量在其偏回歸平方和經檢驗都顯著的情況下一個一個引入，同時對每一個選入的新變量進行逐個檢驗，以剔除不顯著變量，保證最后所得的變量子集中的所有變量都是顯著的，經過若干步后便得到“最優”變量子集［3］。

逐步回歸的數學模型為:

增加一個自變量u，相應的資料向量為un×1，于是模型(9)就變為:

如果經檢驗假設H0∶bu=0被接受，則變量u不能入選;若H0被否決，則變量u應入選。

逐步回歸的每一步驟，不但要選入變量，而且還要對已入選的變量進行檢驗，觀察每個變量的重要性是否發生變化。對不重要的變量要剔除，剔除變量的準則和方法如下:

設已入選變量就是前 k+1個變量:x1，x2，…，xk。用Fj表示變量xj(j=1，2，…，k+1)是否能剔除的統計量。用，Q(j)，R(j)(j=1，2，…，k+1)分別表示相應的xj的回歸系數的最小二乘估計，殘差平方和與矩陣R，考察模型為:

則有:

比較 F1，F2，…，Fk+1，取其中最小者，設為 Fk+1。設顯著水平為α時的臨界值為Fα(1，n－k－2)，如果Fk+1≤Fα(1，n－k－2)則表明 xk+1不重要，可以剔除。對剩下的變量再依照此方法考察，直到沒有需要剔除的變量時，再轉入考察是否有變量可以入選。

4 最優加權組合模型

組合預測就是將幾種單一模型的預測結果選取恰當的權重進行加權平均的一種預測方法。組合模型的建模過程如下［5］:

依據已有的觀測數據之間的物理特性建立各個不同的單一函數模型yi(i=1，2，…，k)，設有m個單一的函數模型，則有組合模型:Yq=f(y1，y2，…，yk)，k≤q，q為m個模型的組合數。

設組合模型中各函數模型的權重向量為:P=［p1，p2，…，pk］，取這時，組合模型的形式為:

若某一單個函數模型的擬合殘差為:

則各函數模型可構成擬合殘差矩陣:

組合模型的最優權重向量求解，是依據最小二乘原理對誤差平方和求解數學規劃。其目標函數與約束條件為:，令 R=［1，1，…，1］T，則有:

對式(14)用拉格朗日乘子法求解可得最優權重向量為:

將式(15)中所求得的 P=［p1，p2，…，pk］代入式(11)中可得最優加權組合模型。

當某一個模型，在擬合時，模型誤差較大，則該模型在組合時，占的權的比重則較少，當模型誤差較小，則該模型在組合時，占的權的比重則較大。

5 模型精度檢驗

本文采用后驗差檢驗法［4］評判模型的精度。后驗差是對殘差分布的統計特性進行精度檢驗，考察殘差較小的點出項的概率，以及與殘差方差有關的指標的大小，該檢驗法由后驗差比值C和小誤差概率P來共同描述。

式中:q(k)=x0(k)－^x0(k)

小誤差概率為:P=P{|q(k)－ˉq|＜0.6745s1}

按照C和P兩個指標，可以綜合評判模型精度，各精度等級如表1所示。

后驗差檢驗法精度等級表 表1

6 應用實例分析

大壩的變形分析一般包括:沉降分析、水平位移分析、裂縫分析、撓度分析等。以某大壩一監測點的20期水平位移觀測數據為例，分析影響大壩橫向水平位移較大的影響因子:氣溫(t)、水庫水位(h)、水頭(s)等并分別利用GM(1，1)模型、逐步回歸模型和最優加權組合模型對監測數據進行預測，與實測數據進行對比。GM(1，1)模型的建立利用MATLAB語言編程實現并完成數據的預測;逐步回歸模型的建立及數據的預測利用 SPSS Statistics實現(F選入的臨界值為0.05，F剔除的臨界值為0.10);最優加權組合模型的建立是在已經建立好的GM(1，1)模型與逐步回歸模型的基礎上，通過加權平均計算獲得各單一模型的權重來實現并完成數據的預測。結果如表2所示。

三種模型的預測數據與實測數據對比表表2

用后驗差檢驗法對以上三種模型進行精度檢驗，各個模型的后驗差比值C、小誤差概率P及綜合精度等級，如表3所示。

三種模型的精度對比表 表3

對各個模型的預測精度利用均方誤差、平均絕對誤差進行誤差分析，如表4所示。

三種模型誤差分析對比表 表4

由表3、表4可以看出，GM(1，1)模型的預測均方誤差較大，且GM(1，1)模型的綜合精度檢驗不合格;逐步回歸模型與最優加權組合模型均有較好的預測精度，綜合各項精度指標可知，最優加權組合模型的精度最高。

將GM(1，1)模型、逐步回歸模型與最優加權組合模型的運算值同實測數據進行對比，如圖1所示。

圖1 三種模型擬合結果對比

由圖1可以看出，大壩水平位移量隨觀測時間呈現出一定的周期性，水平位移量曲線呈波形;逐步回歸模型與最優加權組合模型的預測曲線呈波形，與實測水平位移量曲線較相似，而GM(1，1)模型的預測曲線呈線形，與實測數據曲線截然不同。由于大壩水平位移量受氣溫、庫水位、水頭等多方面的影響，水平位移量并不呈線性遞增或遞減，而是一條具有一定周期變換的波形曲線，這使得利用GM(1，1)模型對大壩水平位移量進行預測，模型擬合精度較差，所以水平位移預測精度較低。而逐步回歸模型考慮到了各影響因子影響擬合精度較高，預測的精度也較高;而將GM(1，1)模型與逐步回歸模型建立的組合模型，由于GM(1，1)模型的模型擬合誤差較大，則該模型在組合時，占的權的比重則極少，而逐步回歸模型的模型擬合誤差較小，所以該模型在組合時，占的權的比重則較大，這樣組合模型擬合與預測的結果基本上與逐步回歸模型計算結果一致。

7 結論

針對大壩變形分析，本文通過灰色系統GM(1，1)模型、逐步回歸模型與最優加權組合模型對一實例數據進行大壩水平位移的變形對比分析得出以下結論:

(1)由文中圖表可知，GM(1，1)模型在本實例波動較大或非線性數據的時模型擬合精度較差，用于水平位移預測精度不高。而逐步回歸模型，由于考慮到多因子影響，在本實例中，模型擬合精度較高，用于大壩水平位移預測精度較高，效果較好。

(2)對于大壩的變形分析，由于影響大壩變形的影響因子有很多，在對大壩形變進行分析、預報時考慮多方面且比較合理的影響因子會提高模型的預測精度。逐步回歸模型正是比較合理的選入與剔除模型的影響因子，故其精度滿足大壩水平位移量的預測分析。

(3)由于最優加權組合模型通過單一模型擬合精度進行最優加權組合，根據模型擬合誤差高低進行定權，能較好地保持擬合精度較高的模型的優點，故最優加權組合模型可以克服因選擇單一模型因擬合精度較差而得到的預測效果欠佳的風險，提高了模型整體應用效果。

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