SF-環(huán)的內(nèi)射性

李艷午,程海霞

(1.蕪湖信息技術(shù)職業(yè)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003;2.南京大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇 南京 210093; 3.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

SF-環(huán)的內(nèi)射性

李艷午1,程海霞2,3

(1.蕪湖信息技術(shù)職業(yè)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003;2.南京大學(xué)數(shù)學(xué)系,江蘇 南京 210093; 3.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000)

研究了SF-環(huán)與P-內(nèi)射環(huán)的關(guān)系,構(gòu)造了SF-環(huán)成為P-內(nèi)射環(huán)的一系列條件.證明了SF-環(huán)R只要滿足其中之一:R的每個(gè)極大左理想是有限生成的;特殊右零化子的降鏈條件;對(duì)R的每個(gè)極大左理想M,l(M)在R中是本質(zhì)的,那么R就是P-內(nèi)射環(huán).在此基礎(chǔ)上,利用一定條件下SF-環(huán)的P-內(nèi)射性,發(fā)展了SF-環(huán)的若干新結(jié)果,這些結(jié)果部分地拓展了有關(guān)文獻(xiàn)中的結(jié)果.

SF-環(huán);正則環(huán);P-內(nèi)射環(huán);半單環(huán);零化子升(降)鏈條件

1 引言及預(yù)備知識(shí)

顯然,正則環(huán)是SF-環(huán),也是P-內(nèi)射環(huán),但SF-環(huán)和P-內(nèi)射環(huán)是否為正則環(huán),仍懸而未決.而且SF-環(huán)和P-內(nèi)射環(huán)之間的關(guān)系也尚不明確,鮮有研究.因此,研究SF-環(huán)和P-內(nèi)射環(huán)之間的關(guān)系,構(gòu)造兩者之間的充分條件或充要條件是有意義的,在所構(gòu)造的條件下,這兩個(gè)重要環(huán)類的一些重要性質(zhì)就可以互相傳遞,從而拓展已有的相關(guān)結(jié)果,豐富環(huán)論的內(nèi)容,同時(shí)對(duì)環(huán)論的研究思路也有一定的啟發(fā)意義.

鑒于以往很多作者都討論了SF-環(huán)與正則環(huán)以及強(qiáng)正則環(huán)之間的關(guān)系[810],而對(duì)于SF-環(huán)的其它性質(zhì)涉及甚少.本文首先研究了SF-環(huán)與P-內(nèi)射環(huán)的關(guān)系,構(gòu)造了SF-環(huán)成為P-內(nèi)射環(huán)的條件;然后,在所構(gòu)造的條件下,利用SF-環(huán)的P-內(nèi)射性,發(fā)展了關(guān)于SF-環(huán)的若干新結(jié)果.文中結(jié)果部分拓展了文獻(xiàn)[8-10]中的有關(guān)結(jié)果.

2 SF-環(huán)與P-內(nèi)射環(huán)

3 SF-環(huán)的內(nèi)射性

上面構(gòu)造了SF-環(huán)成為P-內(nèi)射環(huán)的條件,本節(jié)在上面所構(gòu)造的條件下,利用SF-環(huán)的內(nèi)射性發(fā)展了SF-環(huán)的若干新結(jié)果,拓展了文獻(xiàn)[8-10]的有關(guān)結(jié)果.

定理2.1和定理2.2表明了半單環(huán)在刻畫環(huán)類時(shí)的重要作用,因此研究一個(gè)環(huán)與半單環(huán)的等價(jià)性或一個(gè)環(huán)成為半單環(huán)的條件都是有意義的.

文獻(xiàn)[8]的定理2利用特殊右零化子的降鏈條件刻畫了SF-環(huán)的阿丁半單性,受此啟發(fā),下面定理則是利用特殊左零化子的升鏈條件得到了SF-環(huán)的半單性.

定理 3.1 設(shè)環(huán)R是滿足特殊左零化子升鏈條件的非奇異的SF-環(huán),那么只要R再滿足下列條件之一,R就是半單環(huán).

(1)R的不可分解的商環(huán)是正則的;

(2)R的每個(gè)極大左理想是有限生成的;

(3)對(duì)R的每個(gè)極大左理想M,l(M)在R中是本質(zhì)的;

(4)R的不可分解商環(huán)是左quasi-duo的;

(5)R是約化環(huán).

(1)R有一個(gè)生成子RG是Noether的;

(2)每一個(gè)有限生成左R-模是Noether的;

(3)每一個(gè)有限生成左R-模的每個(gè)子模是有限生成的.

作為正則環(huán)的一個(gè)例子,利用SF-環(huán)在一定條件下的半單性,我們可以證明:

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The injectivity of SF-Rings

Li Yanwu1,Cheng Haixia2,3
(1.Wuhu Vocational College of Information Technology,Wuhu 241000,China;
2.Department of Mathematics,Nanjing University,Nanjing 210093,China;
3.College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

In this paper,we studied the relations between the SF-rings and the P-injective rings.Firstly, we constructed some conditions that SF-rings be P-injective rings.In this section,we proved that a SF-ring R as soon as satis fi es one of the conditions:every maximal left ideal of R is fi nitely generated and special right annihilator descending chain condition and is essential in R for any maximal left ideal of R,then R is a P-injective ring.Secondly,we developed some new results about SF-rings by their injectivity based on certain conditions.Our work extends some results of related references to some extent.

SF-rings,regular rings,P-injective rings,semi-simple rings,annulator ACC(DCC)

0153.3

A

1008-5513(2012)01-0017-08

2011-02-03.

2009年安徽高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2009B017Z);安徽省教育廳優(yōu)秀青年人才基金(2009SQRZ223);安徽省2008年高等學(xué)校省級(jí)教學(xué)研究重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2008jyxm180).

李艷午(1975-),碩士,副教授,研究方向:環(huán)論.

MSC 2010:16E50