帶色散項的高階非線性Schr¨odinger方程的精確解

曹瑞

(菏澤學院數學系,山東 菏澤 274000)

帶色散項的高階非線性Schr¨odinger方程的精確解

曹瑞

(菏澤學院數學系,山東 菏澤 274000)

對一類帶色散項的高階非線性Schr¨odinger方程的精確解進行研究.通過行波約化,將一類帶色散項的高階非線性Schr¨odinger方程化為一個高階非線性常微分方程.再借助于計算機代數系統Mathematica通過構造非線性常微分方程的精確解,成功獲得了一系列含有多個參數的包絡型精確解,當精確解中參數取特殊值時可以得到兩種新型的復合孤子解.并討論了這兩種孤子解存在的參數條件.

高階非線性Schr¨odinger方程;精確解;孤立波解

1 引言

物理學中許多重要現象的數學模型都是非線性發展方程,一般來說這些非線性方程很難求得精確解.非線性發展方程的精確解在研究非線性物理現象中起著至關重要的作用.尋找非線性發展方程精確解的方法一直是數學家和物理學家研究的熱點問題,幾十年來,提出了許多求解非線性發展方程的方法,例如Painleve截尾展開法[12],齊次平衡方法[34],雙曲函數法[56],sine-cosine方法[7],CK方法[8],Jacobi橢圓函數展開方法[9]以及作為 Jacobi橢圓函數展開方法一般化的F-展開方法[1012],利用這些方法得到非線性發展方程許多豐富的精確解,包括孤立波解,激波解,周期波解等.最近,提出了一種新的構造精確解的G'/G展開方法[13].運用這個方法,成功地獲得了大量非線性發展方程的精確解.

作為介紹這種方法應用的例子,本文構造了光纖中一類具有三階色散項與三次非線性項的高階非線性薛定諤(Schr¨odinger)方程(HNLS)的精確解

這個方程描述了光纖中超短光脈沖的傳輸,其中ψ=ψ(z,t)是慢變包絡振幅,z為傳輸距離,t為時間,α1,α2和α3分別表示與群速度,自相位調制和三階色散有關的實參數.含α4的項代表著自陡峭效應對光脈沖傳輸的影響,含α5的項代表著自頻移所產生的拉曼散射的影響.

經典的非線性薛定諤方程

描述了光脈沖在光纖中的群速色散效應與非線性克爾效應的關系,當二者的相互作用達到平衡時,脈沖就演化為光孤子.但是,對于飛秒級的光脈沖而言,脈沖的帶寬可與其載波頻率相比擬,光纖的高階色散效應(如三階色散等)和高階非線性效應已不能忽略.當方程(1)中α3=α4=α5=0時,方程(1)就變為經典的非線性薛定諤方程(NLS).本文將對方程(1)進行研究,以希望得到一些新結果.近年來,許多科研工作者從不同的方向分析研究了HNLS,得到了一系列的數值解,包括亮孤子和暗孤子,并已發現在負色散區(α1＜0)存在亮孤子解,而在正色散區(α1＞0)存在暗孤子解[1415].文獻[16]通過一系列分析計算,發現了HNLS一種新型組合孤子,并且在一定參數條件下,該組合孤子仍然可以在光纖中穩定傳輸.文獻[17]利用擴展的雙曲正切函數法,獲得了方程(1)的多組顯示精確行波解.當α3,α4,α5不為0時,雖然已經獲得了方程(1)的一些精確孤波解,但本文是第一次利用擴展的G'/G展開方法對方程(1)的精確孤波解進行新的研究,獲得了一些新的復合孤波解.

本文安排如下:第二部分,詳細介紹構造高階非線性Schr¨odinger方程的精確解的一般表達式過程;第三部分,給出參數取特殊值時高階非線性Schr¨odinger方程的孤立波解、雙曲函數解、三角函數解以及有理函數解;第四部分,得出一些結論.

2 精確解的一般表達式

這里N通過平衡給定方程(6)中的最高階偏導數項和非線性項來確定.根據N+2=3N,可得N=1.即方程(6)有下列形式的解:

將(8)式代入方程(6),那么常微分方程(6)的左邊可化為關于φ,φ的級數,合并φ,φ的相同冪次,令每一項的系數為零,得到關于a0,a1,b1,A,B,C,λ,μ的一個非線性代數方程組.借助于計算機代數系統Mathematica求解得到的這個代數方程組.將這些結果代入(6)式,并利用二階常系數微分方程的通解.得到非線性方程(1)含有多個參數的精確解的一般形式.

下面分三種情形來討論:

情形一(雙曲函數解) 若λ＜0,那么方程(7)有通解:

3 其它形式的解

注1 當所得精確解的一般表達式中參數取其它值時,可以獲得更為豐富的精確解,這里限于篇幅不再列出.

4 結語

本文應用行波變換,并結合常微分方程通解統一構造了具有三階色散、自陡峭效應和自頻移效應的高階非線性Schr¨odinger方程的三種不同類型的精確解.當精確解中參數取特殊值時可以得到新型的復合孤立波解.這些精確解豐富了高階非線性Schr¨odinger方程精確解的解系,而且有助于物理上對這類方程的研究.從所得解中可以看出,光脈沖的緩變包絡振幅ψ(z,t)具有形如(15),(16)式所示的新型的精確解.并進一步討論了新型的精確解存在的參數條件,指出了(15)式所示的解存在于負三階色散區域,而(16)式所示的解存在于正三階色散區域.這些新解的獲得將為光纖通信問題的研究,提供理論依據.從求解過程來看,此方法借助于計算機代數系統Mathematica構造非線性發展方程的精確解更直接、更高效,還可以用來求解其他的非線性發展方程包括高維方程,這方面的研究正在進行中.

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Exact wave solutions for the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation with a dispersion term

Cao Rui
(Department of Mathematics,Heze College,Heze 274000,China)

Exact solutions of the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation with a dispersion term are studied.By traveling wave reduction,the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation are transformed into nonlinear ordinary di ff erential equation,and then by constructing a series of exact solutions of nonlinear ordinary di ff erential equation,many envelope type exact wave solutions containing multiple parameters are obtained for the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation with the aid of computer algebraic system Mathematica.when parameters are taken speci fi c values,two new kind of soliton solution are obtained.And the conditions of the existence of soliton solution are discussed.

the higher-order nonlinear Schr¨odinger equation,exact wave solutions,solitary wave solutions

O175.29

A

1008-5513(2012)01-0092-07

2011-02-10.

菏澤學院科學研究基金(XY07SX01).

曹瑞(1979-),碩士,講師,研究方向：應用偏微分方程.

2010 MSC:35Q55