一類非線性快慢系統(tǒng)非局部問題的攝動解

衛(wèi)麗娟,王曉云,2

(1.中北大學(xué)數(shù)學(xué)系,山西 太原 030051;2.山西警官高等?？茖W(xué)校,山西 太原 030021)

一類非線性快慢系統(tǒng)非局部問題的攝動解

衛(wèi)麗娟1,王曉云1,2

(1.中北大學(xué)數(shù)學(xué)系,山西 太原 030051;2.山西警官高等?？茖W(xué)校,山西 太原 030021)

主要討論了一類非線性快慢系統(tǒng)非局部問題的攝動解,在適當(dāng)?shù)臈l件下,根據(jù)不同邊界層利用伸長變量和冪級數(shù)展開理論,構(gòu)造了問題的形式漸近解,并利用微分不等式理論在整個區(qū)間上證明了形式漸近解的一致有效性,把奇攝動問題的攝動解推廣到快慢系統(tǒng)非局部問題的攝動解.

快慢系統(tǒng);非局部問題;漸近展開式;微分不等式

1 引言

奇異攝動理論自應(yīng)用于控制理論的研究以來,一直伴隨著控制理論的發(fā)展而壯大.其中,奇攝動快慢動力系統(tǒng)出現(xiàn)在很多領(lǐng)域中[16],也是國際學(xué)術(shù)界研究中的一個熱門話題[610].近年來,許多學(xué)者做了大量的工作,得到一系列的成果,如Tikhonov定理,O'Malley-Vasil'eva展開,慢流形的逼近等.本文利用邊界層理論討論了一類非線性快慢系統(tǒng)非局部問題的攝動解,并給出解的一致有效性證明.

考慮如下快慢系統(tǒng)的非局部問題:

2 形式漸近解的構(gòu)造

系統(tǒng)(N)的漸近解可分為外部解和邊界層的校正項(xiàng)兩部分.首先構(gòu)造外部解,然后在此基礎(chǔ)上構(gòu)造校正項(xiàng).

假設(shè)系統(tǒng)(N)有外部漸近展開解:

由(19)式可以求得X0,Y0,X1,Y1,依次可以確定Xi,Yi序列,其中i=0,1,2,…,于是得到系統(tǒng)的外部展開式,但是外部解未必滿足(3),(4),(7),(8)式,所以需要構(gòu)建系統(tǒng)在t=0和t=1處的校正項(xiàng).

3 邊界層的校正

4 解的一致有效性證明

[1]范興華,田立新.快慢型 Van-der Pol系統(tǒng)動力學(xué)行為的慢流形控制 [J].西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2004,29(5):798-802.

[2]丁海云,倪明康.函數(shù)不連續(xù)的二階擬線性奇攝動邊值問題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,26(5):768-775.

[3]蔣扇英,徐鑒.奇異攝動法在輸電線非線性振動問題中的應(yīng)用[J].力學(xué)季刊,2009,30(1):33-38.

[4]莫嘉琪,朱江.非線性非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程奇攝動問題[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2003,23(5):466-470.

[5]蔡晨曉,鄒云.線性奇異攝動系統(tǒng)的矩陣不等式方法H∞控制[J].兵工學(xué)報,2005,26(3):367-371.

[6]Koskie S,Coumarbatch C,Gajic Z.Exact slow-fast decomposition of the singularly perturbed matrix di ff erential Riccati equation[J].Applied Mathematics and Computation,2010,216:1401-1411.

[7]Fridman E.Exact slow-fast decomposition of the nonlinear singularly perturbed optimal control problem[J]. Systems and Control Letters,2000,40:121-131.

[8]Chiba H.Periodic orbits and chaos in fast-slow systems with Bogdanov-Takens type fold points[J].Journal of Di ff erential Equations,2011,250:112-160.

[9]Chen S L.The asymptotic solutions for a class of singularly perturbed nonlinear equation[J].Pure and Applied Mathematics,2004,20:344-349.

[10]Zhao W L.Existence of solutions of boundary value problems for third order nonlinear di ff erential equations[J].Jilin University Nature Science,1984,2:10-19.

Perturbation solution of a class of nonlinear slow-fast system nonlocal problem

Wei Lijuan1,Wang Xiaoyun1,2
(1.Department of Mathematics,North University of China,Taiyuan 030051,China;
2.Shanxi Police Academy,Taiyuan 030021,China)

A class of nonlinear speed system perturbed solution nonlocal problem is discussed in this paper. Under suitable conditions,according to di ff erent boundary layer and using stretchy variable and power series launched theory,the asymptotic expansions of solution of this problem is shown and proved to be uniformly e ff ective using the theory of di ff erential inequality in the whole interval.This paper extends the perturbed solution of singularly perturbed problems to nonlinear slow-fast system nonlocal problem.

speed system,nonlocal problem,asymptotic expansions,di ff erential inequality

O175.14

A

1008-5513(2012)01-0129-08

2011-03-19.

山西省自然科學(xué)基金(2011011002-1);中國博士后特別資助基金(201104653).

衛(wèi)麗娟(1985-),碩士生,研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

王曉云(1972-),副教授,研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

2010 MSC:35B25