一類兩自由度碰振系統(tǒng)的胞映射計算

王 艷，劉冬芳，楊黎昆，殷一首

(1.軍械工程學院基礎部，河北 石家莊050003;2.軍械工程學院二系，河北石家莊050003)

近年來國內外學者主要利用理論推導和計算機數(shù)值模擬相結合的方法研究了碰撞振動系統(tǒng)的動力學行為[1－4]。Hsu C.S[5]提出了胞映射數(shù)值計算方法，這種方法把狀態(tài)空間中的每個狀態(tài)變量按等間隔劃分成胞，以胞的中心點的特性代表整個胞的特性，通過對中心點進行連續(xù)的poincare映射，完成對所研究區(qū)域的全局分析。胞映射法使非線性動力學內在的復雜性通過相空間轉換而清晰地展現(xiàn)出來，只要計算機的速度和內存容量允許，對高維非線性動力學系統(tǒng)都能夠以任意尺度來劃分胞并進行胞映射全局性態(tài)分析。目前這種方法已被應用于進行單自由度碰撞振動系統(tǒng)的全局分析[6]，但尚未見將此方法應用于研究多自由度碰撞振動系統(tǒng)的全局性態(tài)。

本文對一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)的全局性態(tài)進行了分析，發(fā)現(xiàn)了在一定參數(shù)條件下存在的共存吸引子現(xiàn)象，進而結合胞映射方法和poincare映射，計算得出了系統(tǒng)單周期運動的吸引域，并給出了吸引域范圍隨外加激振頻率變化的趨勢。

1 兩自由度碰振系統(tǒng)的力學模型

圖1是一個兩自由度振動系統(tǒng)與固定約束發(fā)生碰撞的力學模型。質塊M1和M2分別由剛度為K1，K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1，C2的線性阻尼器連接。質量為M1和M2的質塊的位移分別用X1和X2表示。作用在質塊M1和M2上的激勵振幅為P1和P2，頻率為Ω的簡諧激勵Pi sin(ΩT+τ)(i=1，2)。當質塊M1位移X1等于間隙B時，質塊M1將與剛性約束A碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運動，然后再次與約束A碰撞，如此往復。假設力學模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復系數(shù)R確定，碰撞持續(xù)時間略去不計。在任意連續(xù)兩次碰撞之間，振動系統(tǒng)的運動微分方程為

質塊M1的沖擊方程為

方程(1)和(2)的無量綱形式為

在方程(3)和(4)中，“﹒”表示對無量綱時間t求導數(shù)，其中無量綱量為

建立碰振系統(tǒng)的Poincare映射。

2 系統(tǒng)的全局分析

選取一組無量綱系統(tǒng)參數(shù)為μm=2.0，μc=4.0，B=1.2，f20=0.0，C=0.0，R=0.7，取激振頻率ω為分岔參數(shù)，圖2給出了外加激振頻率ω∈[0.6～0.7]范圍內變化時系統(tǒng)的全局分岔圖。由于初始值不同或受到擾動，系統(tǒng)存在如圖2(1)、(2)所示的兩個不同周期運動的全局分岔圖。

圖2(1)顯示系統(tǒng)約在ω∈[0.6，0.635 5]范圍內具有雙周期運動，當激振頻率遞增穿越ω≈0.636時，系統(tǒng)由雙周期運動突變?yōu)閱沃芷谶\動，激振頻率繼續(xù)增大，周期運動失穩(wěn)，約在ω∈[0.651，0.658 5]區(qū)間內系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運動。隨著激振頻率的進一步增加，系統(tǒng)退出混沌狀態(tài)，呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期3運動。而ω增大至約0.678時，系統(tǒng)轉化為單周期運動。隨著激振頻率的增大，在ω≈0.693 5單周期運動發(fā)生hopf分岔，形成概周期運動，概周期運動失穩(wěn)后轉遷為混沌運動。圖3(1)～(8)是系統(tǒng)隨外加激振頻率的增加運動狀態(tài)的演化過程。

圖2(1)與(2)對比發(fā)現(xiàn)，當初始值不同或受到擾動時，系統(tǒng)在某個激勵頻率范圍內會存在多吸引子共存的現(xiàn)象。在ω≈0.616 5至ω≈0.635 5區(qū)間內，系統(tǒng)存在單周期運動和雙周期運動共存的現(xiàn)象，在ω≈0.662至 ω≈0.678區(qū)間內，則存在單周期運動和三周期運動共存的現(xiàn)象。

3 周期運動吸引域的胞映射計算

胞映射法認為，點映射系統(tǒng)只是從理論上將狀態(tài)空間看成是連續(xù)的，而實際總會有一個步長。當所找的點與理想點的距離小于這個步長時，就認為它們是同一點。這樣也就是說，狀態(tài)點可以用有限大小的單元－胞來表征。在胞映射思想的基礎上，結合變步長積分法，對圖1所示兩自由度碰撞振動系統(tǒng)周期運動的吸引域進行計算。先結合文獻[7]利用點映射和胞映射相結合的方法，求出系統(tǒng)周期運動在Poincare截面上的不動點及其周期數(shù)(不動點的個數(shù))。然后將研究區(qū)間細分為一定數(shù)量的胞，取每個胞的中心點作為初始迭代點進行點映射計算，求得其在Poincare截面上的映射點，如果映射點仍然落在研究區(qū)間內，記下映射點所在的胞，從而建立起胞與胞之間的映射關系，如果經過有限次迭代，系統(tǒng)收斂于不動點所在的胞，則這個胞就是系統(tǒng)周期運動吸引域中的一個胞。計算完研究區(qū)間里的所有胞，經過對映射的分析就可以得到系統(tǒng)周期運動吸引域的范圍。

選取一組無量綱系統(tǒng)參數(shù)為μm=2.0，μc=4.0，B=1.2，f20=0.0，C=0.0，R=0.7，ω =0.662，在一定的初始條件下，系統(tǒng)具有單周期運動，在Poincare截面上表示為不動點(1.2，2.650 3，0.196 6，0.096 4，1.377 9)。給初始條件一些擾動，系統(tǒng)可能發(fā)生周期三運動，在Poincare截面上表示為三個不動點，求得其中一個不動點為(1.2，1.392 1，0.541 9，－2.345 9，1.188 2)。

將研究區(qū)間劃分為300×120個胞，經過計算求得收斂于單周期運動的胞有24 027個，占總胞數(shù)的66.7%，系統(tǒng)單周期運動的吸引域如圖4(1)中的黑色區(qū)域，在此區(qū)域內任選一點作為初始迭代點，系統(tǒng)最終都可以穩(wěn)定在期望的單周期運動軌道上。系統(tǒng)其他參數(shù)保持不變，增大外加激振頻率ω，單周期運動的吸引域面積逐漸增大如圖4(1)～(3)。當ω=0.665時，收斂于單周期運動的胞有26 850個，占總胞數(shù)的74.6%。當 ω=0.667時，收斂于單周期運動的胞有32 079個，占總胞數(shù)的89.1%。經計算，當將外加激振頻率增大至ω≈0.678時，收斂于單周期運動的胞有36000個，占總胞數(shù)的100%，正符合系統(tǒng)的全局分岔圖顯示的信息ω≈0.678時，系統(tǒng)完全表現(xiàn)為單周期運動見圖2(1)。

4 結論

在設計碰撞機器時，最重要的是使機器工作在穩(wěn)定的周期運動中。為了便于設計，一種切實可行的方法是:通過分析單周期運動的穩(wěn)定性和局部分岔來獲得分岔圖。分岔圖能夠使我們在穩(wěn)定性前提下選取合適的參數(shù)，使單周期響應發(fā)生在所期望的位置。本文基于胞映射思想，采用變步長積分法，通過計算得出了一類兩自由度碰撞振動系統(tǒng)單周期運動的吸引域圖，在吸引域范圍內任選一點作為初始迭代點，系統(tǒng)最終都可以穩(wěn)定在期望的單周期運動軌道上，這就為碰撞振動機械系統(tǒng)的動力學優(yōu)化設計、可靠性及降低噪聲提供了理論依據(jù)，對涉及碰撞振動和機械間隙的廣泛領域都有積極的實際意義和運用價值。

[1]羅冠煒，謝建華.碰撞振動系統(tǒng)的周期運動和分岔[M].北京:科學出版社，2004.

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