一類兩自由度碰振系統的胞映射計算

王 艷，劉冬芳，楊黎昆，殷一首

(1.軍械工程學院基礎部，河北 石家莊050003;2.軍械工程學院二系，河北石家莊050003)

近年來國內外學者主要利用理論推導和計算機數值模擬相結合的方法研究了碰撞振動系統的動力學行為[1－4]。Hsu C.S[5]提出了胞映射數值計算方法，這種方法把狀態空間中的每個狀態變量按等間隔劃分成胞，以胞的中心點的特性代表整個胞的特性，通過對中心點進行連續的poincare映射，完成對所研究區域的全局分析。胞映射法使非線性動力學內在的復雜性通過相空間轉換而清晰地展現出來，只要計算機的速度和內存容量允許，對高維非線性動力學系統都能夠以任意尺度來劃分胞并進行胞映射全局性態分析。目前這種方法已被應用于進行單自由度碰撞振動系統的全局分析[6]，但尚未見將此方法應用于研究多自由度碰撞振動系統的全局性態。

本文對一類兩自由度碰撞振動系統的全局性態進行了分析，發現了在一定參數條件下存在的共存吸引子現象，進而結合胞映射方法和poincare映射，計算得出了系統單周期運動的吸引域，并給出了吸引域范圍隨外加激振頻率變化的趨勢。

1 兩自由度碰振系統的力學模型

圖1是一個兩自由度振動系統與固定約束發生碰撞的力學模型。質塊M1和M2分別由剛度為K1，K2的線性彈簧和阻尼系數為C1，C2的線性阻尼器連接。質量為M1和M2的質塊的位移分別用X1和X2表示。作用在質塊M1和M2上的激勵振幅為P1和P2，頻率為Ω的簡諧激勵Pi sin(ΩT+τ)(i=1，2)。當質塊M1位移X1等于間隙B時，質塊M1將與剛性約束A碰撞，改變速度方向后，又以新的初值運動，然后再次與約束A碰撞，如此往復。假設力學模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，碰撞過程由碰撞恢復系數R確定，碰撞持續時間略去不計。在任意連續兩次碰撞之間，振動系統的運動微分方程為

質塊M1的沖擊方程為

方程(1)和(2)的無量綱形式為

在方程(3)和(4)中，“﹒”表示對無量綱時間t求導數，其中無量綱量為

建立碰振系統的Poincare映射。

2 系統的全局分析

選取一組無量綱系統參數為μm=2.0，μc=4.0，B=1.2，f20=0.0，C=0.0，R=0.7，取激振頻率ω為分岔參數，圖2給出了外加激振頻率ω∈[0.6～0.7]范圍內變化時系統的全局分岔圖。由于初始值不同或受到擾動，系統存在如圖2(1)、(2)所示的兩個不同周期運動的全局分岔圖。

圖2(1)顯示系統約在ω∈[0.6，0.635 5]范圍內具有雙周期運動，當激振頻率遞增穿越ω≈0.636時，系統由雙周期運動突變為單周期運動，激振頻率繼續增大，周期運動失穩，約在ω∈[0.651，0.658 5]區間內系統表現為混沌運動。隨著激振頻率的進一步增加，系統退出混沌狀態，呈現出穩定的周期3運動。而ω增大至約0.678時，系統轉化為單周期運動。隨著激振頻率的增大，在ω≈0.693 5單周期運動發生hopf分岔，形成概周期運動，概周期運動失穩后轉遷為混沌運動。圖3(1)～(8)是系統隨外加激振頻率的增加運動狀態的演化過程。

圖2(1)與(2)對比發現，當初始值不同或受到擾動時，系統在某個激勵頻率范圍內會存在多吸引子共存的現象。在ω≈0.616 5至ω≈0.635 5區間內，系統存在單周期運動和雙周期運動共存的現象，在ω≈0.662至 ω≈0.678區間內，則存在單周期運動和三周期運動共存的現象。

3 周期運動吸引域的胞映射計算

胞映射法認為，點映射系統只是從理論上將狀態空間看成是連續的，而實際總會有一個步長。當所找的點與理想點的距離小于這個步長時，就認為它們是同一點。這樣也就是說，狀態點可以用有限大小的單元－胞來表征。在胞映射思想的基礎上，結合變步長積分法，對圖1所示兩自由度碰撞振動系統周期運動的吸引域進行計算。先結合文獻[7]利用點映射和胞映射相結合的方法，求出系統周期運動在Poincare截面上的不動點及其周期數(不動點的個數)。然后將研究區間細分為一定數量的胞，取每個胞的中心點作為初始迭代點進行點映射計算，求得其在Poincare截面上的映射點，如果映射點仍然落在研究區間內，記下映射點所在的胞，從而建立起胞與胞之間的映射關系，如果經過有限次迭代，系統收斂于不動點所在的胞，則這個胞就是系統周期運動吸引域中的一個胞。計算完研究區間里的所有胞，經過對映射的分析就可以得到系統周期運動吸引域的范圍。

選取一組無量綱系統參數為μm=2.0，μc=4.0，B=1.2，f20=0.0，C=0.0，R=0.7，ω =0.662，在一定的初始條件下，系統具有單周期運動，在Poincare截面上表示為不動點(1.2，2.650 3，0.196 6，0.096 4，1.377 9)。給初始條件一些擾動，系統可能發生周期三運動，在Poincare截面上表示為三個不動點，求得其中一個不動點為(1.2，1.392 1，0.541 9，－2.345 9，1.188 2)。

將研究區間劃分為300×120個胞，經過計算求得收斂于單周期運動的胞有24 027個，占總胞數的66.7%，系統單周期運動的吸引域如圖4(1)中的黑色區域，在此區域內任選一點作為初始迭代點，系統最終都可以穩定在期望的單周期運動軌道上。系統其他參數保持不變，增大外加激振頻率ω，單周期運動的吸引域面積逐漸增大如圖4(1)～(3)。當ω=0.665時，收斂于單周期運動的胞有26 850個，占總胞數的74.6%。當 ω=0.667時，收斂于單周期運動的胞有32 079個，占總胞數的89.1%。經計算，當將外加激振頻率增大至ω≈0.678時，收斂于單周期運動的胞有36000個，占總胞數的100%，正符合系統的全局分岔圖顯示的信息ω≈0.678時，系統完全表現為單周期運動見圖2(1)。

4 結論

在設計碰撞機器時，最重要的是使機器工作在穩定的周期運動中。為了便于設計，一種切實可行的方法是:通過分析單周期運動的穩定性和局部分岔來獲得分岔圖。分岔圖能夠使我們在穩定性前提下選取合適的參數，使單周期響應發生在所期望的位置。本文基于胞映射思想，采用變步長積分法，通過計算得出了一類兩自由度碰撞振動系統單周期運動的吸引域圖，在吸引域范圍內任選一點作為初始迭代點，系統最終都可以穩定在期望的單周期運動軌道上，這就為碰撞振動機械系統的動力學優化設計、可靠性及降低噪聲提供了理論依據，對涉及碰撞振動和機械間隙的廣泛領域都有積極的實際意義和運用價值。

[1]羅冠煒，謝建華.碰撞振動系統的周期運動和分岔[M].北京:科學出版社，2004.

[2]呂小紅，朱喜鋒.一類沖擊鉆進機械系統的動力學特性[J].振動與沖擊，2011，30(6):239－242.

[3]李群宏，陸啟韶.一類雙自由度碰振系統運動分析[J].力學學報，2001，33(6):776－ 786.

[4]揚振中.小型振動沖擊式打樁機動力學性能研究[J].農業機械學報，1999，30(6):36 － 40.

[5]HSU C S.Cell－to－cell mapping:a method of global analysis for non－linear system[M].New York:Springer Verlag，1987.

[6]HSU C S.A gerenalized theory of cell－to－cell mapping for nonlinear dynamical systems[J].ASME J.Appl.，Mech.，1981，48:634 －642.

[7]李 健，張思進.非光滑動力系統胞映射計算方法[J].固體力學學報，2007，28(1):93 －95.