科學領域中的黃金分割與優選法

李 蔚

安徽郵電職業技術學院基礎部，安徽合肥 230031

1 黃金分割

兩千多年來，人類一直沒有停止過對美的追求，追求美的步伐自古至今，可歌可泣。

美的存在形式多姿多彩，任人想象：當你面對一尊愛神維納斯的塑像時不會不為她那誘人的魅力所傾倒；當你眼前展現出一幅迷人的景致： 巍峨的群山、蜿蜒的溪流，你定會心曠神怡、流連忘返；當你沉浸在貝多芬史詩般的英雄交響曲中時，你的熱血在沸騰：你被那輝煌無比的樂章震撼了！這大概就是美的神奇力量之所在，但究竟什么是美，其奧秘是什么，這也是整個人類一直在孜孜不倦地探索著的事業了。

大千世界，無所不能。紛雜的、解決不了的問題最后毫不例外的都交給了聰明的數學家，建立數學模型，任其演繹。

早在公元前五世紀，古希臘數學家畢達哥拉斯就曾給美下過驚艷的定義：“凡是美的東西都具有共同的特性：這就是：部分與部分及部分與整體之間的協調一致?！保≒ythagoras,公元前580～500）。

（協調：你覺得眼熟嗎？答案是肯定的：和諧是其近義詞。數學家與政治家對美的定義具有異曲同工之妙。）

19世紀中葉，德國心理學家弗希納曾做過這樣一次實驗，舉行一次“矩形展覽會”，會上展出了他精心制作的各種矩形，并要求參觀者投票，選擇各自認為最美的矩形，結果有以下四種矩形當選：

矩形 寬x長 寬與長之比15x8 5∶8=0.62528x13 8∶13=0.615313x21 13∶21=0.619421x34 21∶34=0.618

四個矩形寬與長正好是斐波那契（Fibonacci，1170～1250）數列1，1,2,3，5,8,13,21,34,55,89,144,233，……中相鄰的兩個數，他們的比接近于0.618。

建筑師發現，邊長比為0.618的矩形具有特殊的美感，窗戶和房屋采用這樣的矩形結構，將特別令人賞心悅目。

終于，0.618這一再出現的神秘數字，引起了人們的關注，數學家始探索這一神秘數字的真正含義：

“部分與部分及部分與整體之間的協調一致”

假定C是線段AB的一個分點，為了使C滿足畢達哥拉斯的至理名言，必須：

AB∶AC=AC∶CB

美的密碼終于被揭露了！這正是0.618。

迎風飄揚的五星紅旗，莊嚴美麗，那是因為那一個個正五角星中包含著許許多多美的密碼（當然，這只是其中一個原因），還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什么？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。

由于美的密碼的有許多極為寶貴的性質，人們賦予密碼以尊稱—黃金比值（黃金數）；黃金比值——0.618；黃金分割——導致這一比值的分割；黃金分割點——C點稱之為線段AB的黃金分割點；黃金矩形——兩邊具有黃金比值的矩形；

黃金矩形的奇特性質：

是由一個正方形和另一個小黃金矩形組成。

上圖大矩形中各正方形的角點形成兩條直線，一條是大矩形的對角線，另一條是小矩形的對角線，即這一系列正方形，構成了無窮遞縮的比數列。

若設大黃金矩形的兩邊a∶b=ω，分出一個正方形后，所余小矩形的兩邊分別為(b-a)和a，它們的比

即小矩形也是黃金矩形

黃金矩形的上述性質說明我們可把黃金矩形分解為無限個正方形的和，上圖表明了這種分解的過程：

這個過程可以用下面的算式表示出來：

這是最簡單的連分式。

“0.618”這一美的密碼一經被人類掌握，立即成為服務于人類的法寶，

“黃金比值”——即為美的密碼的詮釋。

2 優選法

黃金數0.618如今已越來越多地被人們認識并被人們所利用。其最為我國人民所熟悉的應用當屬上個世紀70年代數學家華羅庚先生推廣的優選法了。

用數學語言來說即：效果是各因素的函數，優選問題可歸結為求效果函數的優值，但較多的情況下效果函數無法表達成一個式子，在這種情況，效果的優值，只能通過實驗的方法逐步尋找。

優選法（optimization method）是以數學原理為指導，合理安排試驗，以盡可能少的試驗次數盡快找到生產和科學實驗中最優方案的科學方法。即最優化方法。

優選法在數學上就是尋找函數極值的較快較精確的計算方法。1953年美國數學家J.基弗提出單因素優選法棗分數法和0.618法（又稱黃金分割法），后來又提出拋物線法。至于雙因素和多因數優選法，則涉及問題較復雜，方法和思路也較多，常用的有降維法、瞎子爬山法、陡度法、混合法、隨機試驗法和試驗設計法等。

早在上個世紀70年代，由于數學家華羅庚教授的大力宣傳和推廣優選法，全國各行各業都將優選法運用于生產實踐，從而產生了巨大的經濟效益。有研究表明，用這種“優選法”做16次試驗相當于用“均分法”2500多次試驗所達到的精度。實踐證明，在選擇合適的生產條件、進行新產品的試制、確保達到產品質量的情況下，“優選法”確實能讓我們快速選擇最佳方案。

華羅庚教授運用優選法中的黃金分割法簡化的方法為把一條線段分割為兩部分。在分割時，在長度為全長的約0.618處進行分割使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，用分數表示為(√5-1)/2，取其前三位數字的近似值是0.618。由于按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似表示（通常用φ表示）。通過簡單的計算就可以發現： (1-0.618)/0.618=0.6

一條線段上有兩個黃金分割點。

0.618剛好是黃金分割比，優選方法的目的在于減少實驗次數，找到最優方案。例如在一個因素時，只要做幾次就可以代替成百上千次實驗，如常見的有平行實驗法，正交實驗法。控制幾個因素來達到實驗目的。

華羅庚運用選法選法中的黃金分割法簡化的一種可以盡可能減少做試驗次數、盡快地找到最優方案的方法的實際應用：比如要試制一種新型材料，需要加入某種原料增強其強度，這就有加入多少的問題，加多了不行，加少了也不行，只有完全合適才可以。比如我們估出每噸加入量在1g～1000g之間，這樣我們就可以借用黃金分割規律來簡化試驗次數，而不必從1 g～1000g做1000次實驗，我們用一個有刻度的紙條來表示1g～1000g。在紙條上找到618(1000*0.618)克的地點畫一條豎線，做一次試驗，然后把紙條對折起來，找到618的對稱點382(618*0.618)，再做一次試驗，如果382g為最好，則把618以外的紙條裁掉。然后再對折，找到382的對稱點236(382*0.618)做試驗，這樣循環往復，就可以找到最佳的數值。

優選法的應用范圍相當廣泛，我國在生產企業中推廣應用取得了成效。企業在新產品、新工藝研究，儀表、設備調試等方面采用優選法，能以較少的實驗次數迅速找到較優方案，在不增加設備、物資、人力和原材料的條件下，縮短工期、提高產量和質量，降低成本等。

[1]張遠南.無限中的有限[M].上?？茖W普及出版社，1988：70-81.