量綱分析及其應用

嚴導淦

（同濟大學物理教研室，上海 200092）

在當前理工科專業的物理課程和教材中，對“量綱”內容的介紹一般都比較少.有的即使教材中有所介紹，課程教學中也很少講授.實際上，對理工科學生來說，量綱分析及其方法，在有關專業的今后工作中是很有用的.它不僅可以找出某些物理量與另外一些物理量之間的關系；用于物理量的單位換算；檢驗公式的正確與否；還可以借以探究某些物理規律，有助于建立起函數關系的基本形式.

由于物理現象一般較復雜，涉及的因素很多，有時無法列出描述物理現象的微分方程；或者求解這些方程在數學上有困難，因而不得不乞助于其他分析途徑或實驗來解決.量綱分析在科技實踐中是進行分析和實驗的一種有效的手段.通過量綱分析，一般來說，可以合理而有目的地簡化實驗，并有助于整理實驗成果.

當然，要正確應用這一方法，還必須根據已有的科技知識和理論，對物理現象具有一定的分析能力.

本文就量綱分析問題作一簡介，旨在引起同行們的重視和共析.

1 量綱

度量物理量的單位的類別叫做量綱.例如小時、分、秒是不同的時間測量單位，它們都屬于同一時間種類，可以統一用T表示，則［T］①按照GB 3103—93文件規定，某個物理量X的量綱用dimX表示，考慮到國際物理學界的使用習慣和便于查閱歷史文獻，本文沿用［X］表示。就是上述時間單位的“量綱”.

在國際單位制（SI）中，取長度、質量、時間、熱力學溫度、電流、物質的量、發光強度這些物理量作為“基本量”，來表述物理現象及其運動規律.它們的量綱分別用［L］、［M］、［T］、［Θ］、［I］、［N］、［J］表示，叫做基本量綱.而其他一些物理量的量綱是根據有關的物理定義或定律，借上述這些基本量綱導出的，這些量綱就是相應于“導出量”的“導出量綱”.

基本量綱與其他基本量綱之間是相互獨立的，即一個基本量綱不能從其他基本量綱導出.例如我們不能從［L］、［I］中得出［M］，也不能從［T］、［M］中得出［L］；但［L］、［M］和密度的量綱［ρ］三者則非相互獨立的，因為［ρ］＝［L-3M］.

其次，基本量綱并沒有規定必須取幾個.例如在工程力學問題中，任一力學量的量綱一般取［L］、［T］、［M］為基本量綱；但也可以選用四個互不相關的基本量綱［L］、［T］、［M］及力的量綱［F］，即將［F］作為獨立的基本量綱.這時需將牛頓定律寫成F＝kma，而系數k的量綱則為［k］＝［FT2M-1L-1］.

一般來說，引入一個額外的物理系數，就可以增加一個相互獨立的基本量綱.過去工程上常采用［L］、［T］、［F］作為基本量綱，而今在力學中，已統一用［L］、［T］、［M］作為基本量綱.

導出量的量綱或物理方程中有量綱的常量均可用基本量綱的指數乘積形式表示，例如，借1摩爾的理想氣體狀態方程pV＝RT，可得R的量綱為［M1L2T-2Θ-1］.在力學中，任一物理量X的量綱均可用三個基本量綱［L］、［T］、［M］的指數乘積形式表示：

上式就是力學中的量綱公式，量X的性質可由量綱指數α、β、γ來反映.如α、β、γ中任一個不等于零，則說X是一個有量綱的量.在力學中，有量綱的量大致可分為三類：

（一）α≠0、β＝0、γ＝0為一幾何量；

（二）α≠0、β≠0、γ＝0為一運動學的量；

（三）α≠0、β≠0、γ≠0為一動力學的量.

例如面積A的量綱為長度量綱的平方，即［A］＝［L2］，或寫成量綱公式［A］＝［L2T0M0］.加速度的量綱公式為［a］＝［LT-2M0］，由于F＝ma，可知力F的量綱公式為［F］＝［M LT-2］.

2 無量綱的數——純數

有的物理量，其量綱為零.例如式（1）中各指數α＝β＝γ＝0，或

則X稱為無量綱數或純數，即只表示某個數.

無量綱數可以是兩個相同量的比值（例如，體積V的相對壓縮量，即為一個無量綱數）.也可以由幾個量綱通過乘、除而組成，而組合結果的各個基本量綱的指數為零，滿足式（2）.

例如，流體力學中區別層流和湍流的一個判據，即雷諾數（Reynold’s number，其中流體速度v的量綱為［LT-1］，管子直徑d的量綱為［L］，流體的運動粘度系數γ的量綱為［L2T-1］，則雷諾數的量綱為

即為無量綱數.

無量綱數有下述重要性質：

（1）無量綱數既無量綱又無單位，其數值大小與所選用的單位制無關，因而它可作為一個客觀的判據值.例如表征流體的某一流動狀態的雷諾數為Re＝2000，則不論采用SI制或英制單位，其值均保持不變.所以，雷諾數可作為一個客觀判據.

（2）一切有量綱的物理量都將因選取不同單位制而有不同數值.若用有量綱的物理量來表示一個物理規律的自變量，則此物理規律所表達的因變量也將隨所選用的單位而有不同的值.而單位是人為選用的，可是物理規律不應隨主觀意志而改變.只有無量綱量不隨所選用的單位的不同而改變其值，所以要正確反映物理規律，最好將其物理量組合成用無量綱數表示的形式.或者說，一個完整、正確的物理方程應是用無量綱項組成的方程.由此可見無量綱數的重要性.量綱分析的目的之一就是要找出正確地組合無量綱數的方法.

（3）在對數、指數、三角函數等任何超越函數運算中，都必須是對無量綱數來進行的.例如，理想氣體等溫壓縮過程中的功為

體積的壓縮比即為一無量綱數，故可取對數；而對有量綱的某些物理量取對數是無意義的.又如平面簡諧行波的表達式為

又如對物理現象中的自然衰減或增長過程，乃指過程中某一個量在確定的空間或時間間隔中的變化為其自身的一個恒定的分數，即可表示為微分形式

其中，N為變化著的量，α是常數，正負號分別表示增長或衰減.因此，變化率正比于測量這個變化率時N的值.積分上式得N＝N0e±αx或N＝N0e±αt，其中N0是N在x＝0或t＝0時的值，e是自然對數的底.這里不管對數的底e的指數是什么，它總是底數為e的自乘次數，所以這個指數函數e±αx或e±αt是無量綱數，即α的量綱和x-1或t-1的量綱一樣.

3 量綱分析的基本原理

凡是正確反映客觀規律的物理方程，其各項的量綱均須一致，這是量綱分析的一條基本原理，稱為量綱和諧原理.因為只有量綱相同的物理量才能加減；否則，把不同量綱的物理量相加減，例如把力和電流相加顯然無意義.所以，一個方程中各項的量綱必須相同和一致.但不同量綱的物理量可以相乘、除，可得出導出量綱表示的另一個物理量，如質量乘速度可得動量.

量綱和諧原理在科研中有廣泛應用，例如：

（1）一個物理方程在量綱上是和諧的，則方程的基本形式不因換用量度單位而改變.借量綱和諧原理，可用來檢驗所建立的方程或檢驗公式是否完整.例如三維的波動方程為

式中，S為位移，u為波速.上式各量的量綱均為［T-1］，因而此式的量綱是和諧的.不論用什么單位制，該方程的形式均不變；如果用方程中任一項去除式中各項，則可得到無量綱組成的方程式.

如果一方程不論是代數方程或微分方程在量綱上不和諧，則就得檢查一下方程是否完整，所用單位是否一致，在數學推導中是否有誤.

正確的物理方程固然要求量綱和諧，但在工程技術中，例如研究江河中泥沙運動的規律時，也有一些方程的量綱是不和諧的.這一般是指單純借實驗觀測資料所建立的經驗公式，它們在應用上是有局限性的.不過，隨著科學技術的不斷發展，可以期待，它們終究要被符合量綱和諧原理、且正確反映客觀規律的公式所取代.

（2）借量綱和諧原理建立物理方程，乃是量綱分析的方法之一，稱為瑞利（Lord Rayleigh）法則，它適用于較簡單的問題.

例1 在真空中質量分別為M1、M2的兩個物體間的萬有引力為為引力常量，r為兩個物體間的距離.設M1?M2，則M2在引力作用下將近似地以M1為中心沿圓軌道運動.

解 今用瑞利法則求物體M2沿軌道運行的周期τ.經分析，影響M2運動速度的物理量可能有M1、M2、r和G.但M2的影響可忽略，因為M2增大一倍，引力也增大一倍，這使物體M2之法向加速度（v2／r）維持不變；G雖為常量，但不能從影響因素中去掉.因為M1和r中都不含時間的量綱，所以周期τ不可能只是M1和r的函數.這表明，影響因素不一定都是變量.于是有如下的函數關系：

一般可將上述函數關系用指數的乘積形式來表示：

式中k為某一無量綱常數系數.從萬有引力公式，得［G］＝［M-1L3T-2］，則上式的量綱關系式為［T］＝［M］α［L］β［M-1L3T-2］γ，按量綱和諧原理，得

聯解上列三式，得

最后結果為

例2 根據實驗結果所得的數據分析，單擺的周期T可能與擺球的質量m、擺長l、擺角θ有關；并考慮到單擺處于恒定的重力場中，還與重力加速度g有關.于是，有如下的待定函數式

根據量綱和諧原理，由于上述這些量的量綱不同，它們不能相加減.因而，一般可假定上述函數關系具有這幾個量的冪次的乘積形式，寫作

式中，α、β、γ、δ為待定指數.把上式中的各量的量綱用力學中的基本量綱L、M、T表示，并且θ是量綱為1的數，則上式的量綱關系式為

上式左邊的周期T，其量綱是時間T，即［T］＝T.于是，按量綱和諧原理，為了使上式兩邊的量綱相同，其中同一基本量綱的指數應相等，從而有

聯立求解，得

把它們代入式（b），可得單擺的周期為

其中，量綱為1的系數θδ是擺角θ的函數，令Φ（θ）＝θδ，而Φ（θ）是無法用上述量綱分析方法給出的，可借實驗或其他途徑確定.

例3 求水波的波速公式.

解 根據水工實驗室測定的實驗數據分析可知，淺水波的波速v淺與水深h和重力加速度g有關；而深水波的波速v深與波長λ和重力加速度g有關.

對淺水波而言，令

式中，a為一無量綱常數系數；α、β為待定指數.上式的量綱關系為

按量綱和諧原理，上式中的量綱指數應滿足

聯解上式，得將α、β值代入式（a），得

從理論上推算，可得系數a＝1，于是淺水波波速公式為

對深水波而言，同理可借量綱和諧原理，讀者可自行推得

值得指出，在觀察或分析一個物理現象時，應盡可能地列舉出與該現象有關的主要變量（例如，例2中的式（a））；否則將直接影響分析結果的真實性.這是首要的、也是較困難的一步，往往取決于人們的實驗或理論水平，以及對所研究現象的分析能力.

4 量綱分析法的普遍理論——π定理

π定理是量綱分析的主要內容.這定理可敘述如下：

任何一個物理過程，如果包含有n個物理量，涉及m個在量綱上相互獨立的基本量綱，則這個物理過程可由n個物理量組成的（n-m）個無量綱數所表達的關系式來描繪.因這些無量綱數用π來表示，故稱此定理為π定理（證明從略）.

設影響物理過程的n個物理量為X1、X2、…Xn，則此物理過程可用一完整的函數關系式表述：

設這些物理量包含有m個在量綱上相互獨立的基本量綱，按π定理，這個物理過程可以用（n-m）個無量綱的組合量π表達的關系式來描述，即

應用π定理的步驟如下：

（1）觀察和分析所研究的物理現象，確定影響這一現象的各個物理量，即寫成式（3）.此處所說的有影響的物理量，是指對所研究的現象起作用的所有各種獨立因素.例如，研究聲波的傳播，主要包括介質的物理性質、邊界的幾何特性、波動的運動特征等.影響因素（可為變量，也可為常量）列舉得是否全面和正確，將直接影響分析的結果.這是首要的，也是較困難的一步，只能憑借人們對所研究現象的深刻認識和全面理解來確定.

（2）從n個物理量中選取m個基本物理量，作為m個基本量綱的代表.m一般取3.因此要求這三個基本物理量兩個是獨立的，即這三個物理量不能組合成一個無量綱數.設表示基本物理量X1、X2、X3的量綱式為

則X1、X2、X3不能形成無量綱數的條件為

（3）從三個基本物理量以外的物理量中，每次輪取一個，與這三個基本物理量相除（也可相乘），組合成一個無量綱的π項，這樣一共可寫出（n-3）個π項：

式中，ai、bi、ci為各π項的特定指數.

（4）每個 π 項即是無量綱數，即 ［π］＝［L0T0M0］.因此，可根據量綱和諧原理求出各π項的指數ai、bi、ci.

（5）寫出描述現象的關系式

這樣，就把一個具有n個物理量的關系式簡化為（n-3）個無量綱數的表達式.如前所述，無量綱數才具有描述自然規律的絕對意義.所以式（5）才是反映客觀規律的正確形式.而且也是進一步分析研究的基礎.

例4 如例4圖所示，一直徑為d、密度為ρ的圓球，在充滿密度ρ1、粘度μ1的無限介質中沉降.影響其沉降速度v的因素有d、ρ、ρ1、μ1（其量綱為［ML-1T-1］）及重力加速度g.今用π定理確定沉降速度的關系式.

例4圖

解 按題設的影響沉降速度v的因素，列出n＝6個物理量的關系式為

在上述6個物理量中選取3個基本物理量：圓球直徑d（代表現象的幾何尺度）；沉降速度v（代表現象中的運動學特征）；圓球密度ρ（代表圓球物性）.這三者包括了L、T、M三個基本量綱，有如下的量綱式

各指數項的行列式

即這三個基本物理量的量綱是獨立的.

于是，可寫出n-3＝6-3＝3個無量綱π數：

按量綱和諧原理，各π數的指數可確定如下：以式（a）的量綱式為例，有

得

對上述三式聯解求得，a1＝-1、b1＝2、c1＝0，于是，有

同理可求得

將各π項代入公式（5），得無量綱方程為

或將上式的隱函數式改寫成下列的顯函數式

最后得沉降速度v的關系式為

通過量綱分析的π定理，得出圓球沉速公式的基本形式，即斷定了成正比，并從無量綱函數f1知道了影響沉速的兩方面因素（反映介質對圓球的浮力）和（反映介質因其粘性引起的阻力），從而找到了進一步研究問題的途徑.

綜上所述，借量綱分析方法，不僅可以在已知物理過程有關的物理量情況下，借量綱和諧原理或π定理獲得各物理量之間的基本關系式，并找出深入研究該問題的途徑，而且可以使一些經驗公式具有理論上（量綱和諧性）正確的形式.因此，量綱分析法在科技領域（物理學、流體力學和工程學等）內常常作為一個有效的研究手段，而被廣泛地應用著.

鳴謝：

本文叼蒙王祖源教授和陸汝杰高級工程師審定和匡正，謹表謝枕.

［1］E.dost.Q.Isaacsen.Dimensional Methods in Engineering and Physics，1975年

［2］清華大學水力教研組編.水力學［M］.人民教育出版社，1981

［3］嚴導淦，王曉鷗，萬偉編.大學物理學［M］.機械工業出版社，2012

［4］錢寧，萬兆惠著.泥沙運動學［M］.科學出版社，1983