矩陣方程AX=B的自反最小秩解及其最佳逼近

肖慶豐,胡錫炎,張磊

(1.東莞職業技術學院公共教學部,廣東 東莞 523808;2.湖南大學數學與計量經濟學院,湖南 長沙 410082)

矩陣方程AX=B的自反最小秩解及其最佳逼近

肖慶豐1,胡錫炎2,張磊2

(1.東莞職業技術學院公共教學部,廣東 東莞 523808;2.湖南大學數學與計量經濟學院,湖南 長沙 410082)

利用矩陣對的廣義奇異值分解,得到了矩陣方程AX=B有自反解的充分必要件,以及有解時,定秩解、最小秩解的一般表達式.另外,給出了自反最小秩解集合中與給定矩陣的最佳逼近解.

矩陣方程;自反矩陣;廣義奇異值分解;最小秩解;最佳逼近

1 引言

本文用Cn×m表示所有n×m復矩陣集合,OCn×n表示所有n階酉矩陣組成的集合,In表示n階單位矩陣,AH表示復矩陣A的共軛轉置矩陣,A+表示矩陣A的M oore-Penrose廣義逆,r(A)表示矩陣A的秩,在Cn×m上定義內積為〈A,B〉=tr(BHA),?A∈Cn×m, B∈Cn×m,‖·‖表示由內積導出的范數,即Frobenius范數.

設P∈Cn×n,且PH=P,P2=I,則稱P為廣義反射矩陣.本文中的P為給定的廣義反射矩陣.

設X∈Cn×n,給定廣義反射矩陣P,若X滿足X=PX P,則稱X為關于P的自反矩陣.所有關于P的自反矩陣的全體記為:

矩陣反問題是當今計算數學中一個非常活躍的研究課題,它涉及的領域有結構動力學、固定力學、物理、電學、分子光譜學、量子力學、結構設計、參數識別、自動控制等等.近年來,特殊矩陣的反問題的研究也非常活躍[1-3].關于廣義自反矩陣P的自反矩陣在工程及計算科學中有很廣泛的用途[4-5],文獻[6]討論了矩陣方程AX=B的自反與反自反解,但在許多應用領域,如統計學和控制論中,人們不僅需要求出矩陣方程的解,而且也需要求出具有指定秩的矩陣方程的解.文獻[7]首先考慮了矩陣方程AX=B和AX B=C的定秩求解問題,文獻[8]給出了矩陣方程AX=B的可能秩的解,文獻[9]給出了矩陣方程AX=B最小秩的最佳逼近解.對于其他類型的矩陣方程,文獻[10]使用廣義逆給出了矩陣方程AX A?=B的最大秩和最小秩的Herm itian非負定解,文獻[11]使用廣義逆得到了矩陣方程AX B=C的最大秩和最小秩解,文獻[12]使用兩次SVD得到了秩約束下矩陣方程AX A?=B的Herm itian非負定解.本文研究矩陣方程AX=B的自反最小秩解及其最佳逼近,推廣了文獻[6]中的一些結果.

本文研究了如下問題:

本文在第二節借助于矩陣對的廣義奇異值分解,對矩陣方程CZ=D的一般解的秩進行了分析討論,在此基礎上來研究矩陣方程AX=B的定秩自反解.在第三節給出了最小秩的最佳逼近解.

2 問題 I解的表達式

其中1＞α1≥···≥αt＞0,0＜β1≤···≤βt＜1,而α2i+β2i=1,i=1,···,t.

引理 2.3 假設C∈Cm×n,D∈Cm×p,矩陣對(C,D)的廣義奇異值分解如引理2.2,則矩陣方程CZ=D有解Z∈Cn×p的充要條件是r(C,D)=r(C),且若矩陣方程CZ=D有解,則有

(1)矩陣方程C Z=D的通解表達式為:

其中Y31,Y32是具有相應維數的任意矩陣,U1,V1,SC,SD見引理2.2.

(2)矩陣方程C Z=D的解矩陣中最小秩和最大秩為:

(3)矩陣方程CZ=D的解矩陣中的最小秩解為:

其中Y32是具有相應維數的任意矩陣,U1,V1,SC,SD見引理2.2.

(4)矩陣方程CZ=D的解矩陣中的最大秩解為:

其中Y32是具有相應維數的任意矩陣,選取Y31要么行滿秩,要么列滿秩.U1,V1,SC,SD見引理2.2.

(5)對于m1≤s1≤M1,矩陣方程CZ=D的解矩陣中具有秩s1的解為:

其中Y32是具有相應維數的任意矩陣,選取Y31使得r(Y31)=s1?r(D).U1,V1,SC,SD見引理2.2.

把(17)式代入(16)式,則得到相容矩陣方程AX=B有秩為s的自反解的一般表達式為(14)式.且矩陣方程AX=B的自反矩陣解集合中的最小秩和最大秩為(13)式,以及最小秩解的表達式為(15)式.

3 問題 II解的表達式

參考文獻

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[2]肖慶豐,張忠志,顧廣澤.廣義次對稱矩陣反問題的最小二乘解[J].純粹數學與應用數學,2006,22(4):560-564.

[3]胡錫炎,張磊,周富照.對稱正交對稱矩陣逆特征值問題[J].計算數學,2003,25(1):13-22.

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The reflex ive m inim al rank solu tion of the m atrix equation AX=B and the op tim al app rox im ation

Xiao Qingfeng1,Hu Xiyan2,Zhang Lei2

(1.Departm ent of Basic,Dongguan Polytechnic,Dongguan 523808,China;
2.College of M athem atics and Econom etrics,Hunan University,Changsha 410082,China)

By app lying thegeneralized singu lar value decom position ofmatrix pairs,thenecessary and suffi cient conditions are obtained for the existence of the refl exive solutions of the m atrix equation AX=B,and the expression of the fixed and m inim al rank solutions is also shown.In addition,for them inim al rank solution set, the expression of the op timal approximation solution to a given matrix is derived.

m atrix equation,reflexivem atrix,generalized singu lar value decom position,m inim al rank, op tim al approxim ation

O241.6

A

1008-5513(2012)06-0719-09

2011-08-26.

國家自然科學基金(10571047);高校博士學科點專項科研基金(20060532014).

肖慶豐(1977-),博士,副教授,研究方向：數值代數.

2010 M SC:65F15,65D 99