有限區間上奇異攝動系統T ikhonov定理的推廣

王凱明,金德泉

(1.西安交通大學數學與統計學院,陜西 西安 710049;2.長安大學理學院,陜西 西安 710064; 3.廣西大學數學與信息科學學院,廣西 南寧 530004)

有限區間上奇異攝動系統T ikhonov定理的推廣

王凱明1,2,金德泉1,3

(1.西安交通大學數學與統計學院,陜西 西安 710049;2.長安大學理學院,陜西 西安 710064; 3.廣西大學數學與信息科學學院,廣西 南寧 530004)

為了研究奇異攝動系統的解的性態,在一個指數穩定的新準則下推廣了有限區間上非線性奇異攝動系統的Tikhonov定理,最后給出了實例以驗證本文給出的條件.

奇異攝動;指數穩定;Tikhonov定理

1 引言

考察非線性奇異攝動系統:

系統(1)是一個經典奇異攝動控制系統.許多經典物理系統都具有這種形式,例如,汽車減震系統、柔性關節機器手[14]等.這些控制系統的主要特點是控制器u只是直接作用在快子系統 (1-2),而控制的目標卻經常在慢子系統(1-1).所以如果雅克比矩陣為奇異矩陣,則系統(1)的線性化系統是不可控的.所以線性化方法并不適合這樣的系統.然而,在一定條件下,系統(1)可以由兩個不同時間尺度的獨立子系統來逼近,亦即邊界層系統和簡化系統(參考Tikhonov定理[2]).所以,如果把控制輸入分為兩個相應部分,它們相對獨立地出現在快慢子系統中,這就使得系統(1)可以通過分別設計邊界層系統和簡化系統而具有一種期望的設計能力.復合控制就是建立在這樣的理念上,許多奇異攝動系統的控制設計都是復合控制[1,5].

由于奇異攝動系統的廣泛應用而使它的研究得到了越來越多的關注,多時間尺度下的Tikhonov定理成為這些研究中一個主要的方法[6-7].Tikhonov定理指出系統(1)的解可以由簡化系統和邊界層系統的解逼近,只需邊界層系統以及 (或)簡化系統平衡點滿足一定的穩定性.在現有的研究中,有很多關于邊界層系統指數穩定的方法,Lyapunov直接方法一直都是一個主要的方法[8].然而,由于Lyapunov函數的構造具有很強的技巧性,而且基于構造Lyapunov函數的直接法既不能確定狀態平衡點的收斂速率也不能判斷吸引域的大小.在2001年,文獻[9]提出了一個新的方法:非線性測度,來研究非線性動力系統的指數穩定性.在2011年文獻[10]在此基礎上提出了一個判斷非線性系統指數穩定的一個新的準則.應用這個準則,可以定量地研究奇異攝動系統中的指數穩定性.

本文應用文獻[10]提出的新準則證明了有限區間上奇異攝動系統的Tikhonov定理,并給出實例以驗證本文給出的條件.實例說明,這種新條件在實際控制系統中更易證明和計算.

2 非線性系統的穩定性

在本節中,給出文獻[10]中提出的非線性系統指數穩定的新準則.在這個準則中提出一個指數穩定的特征數,這個特征數使得指數穩定性成為一個可以度量的性質,可以給出指數穩定的收斂速率和吸引域的估計.

考慮以下系統:

其中H絕對連續以保證此系統解的存在唯一性.

定義 1[2]如果存在正數c,k和λ,使得

則稱系統(2)的原點是指數穩定的,λ為收斂速率,{v|‖v‖＜c}為原點的吸引域.

引理 2.1[10]對于給定點e∈Rk,假設在Rk和開球?={v∈Rk:‖v?e‖＜r}存在向量范數‖·‖,使得

則e為系統(2)的指數穩定平衡點,而且系統從?(即v(t0)∈?)出發的任意解滿足:

注意到α(H,?,e)不僅依賴于函數H,域?和點e,而且依賴于范數‖·‖.事實上,范數的自由選取使得α(H,?,e)更有應用價值.當‖·‖為l2-范數時,有

3 T ikhonov定理的推廣

本節在上節的指數穩定準則的基礎上給出有限區間上Tikhonov定理的新的證明.與傳統的通過Lyapunov函數的證明相比較,新的準則更易于計算和驗證.

考察奇異攝動系統[2],

函數f和g對(t,x,z,ε)∈[0,t1]×Dx,×Dz×[0,ε0]連續可微,其中Dx?Rn,Dz?Rm為連通開集,ξ(ε)和η(ε)對ε是光滑的,t＞0.記系統(7)的解為x(t,ε)和z(t,ε).

在方程(7-2)中令ε=0,則

設方程(8)對任意的(t,x)∈[0,t1]×Dx有唯一的孤立實根z=h(t,x),其中h(t,x)被稱為“準靜態”.得到簡化系統

令y=z?h(t,x),則系統(7)在新變量(x,y)下成為:

4 例子

是線性的,顯然定理3.1的所有的假設都滿足,所以可以用簡化系統的解和邊界層系統的解來逼近x和z.

令 ε=0.001 A=?0.5,B=?1,C=1.在 [?1,1]×[?1,1]隨機選取 10個初始點.在圖 1可以看到系統 (16-1)在原點的周圍沒有吸引子.然而,圖 2和圖 3相應的表明:當t∈[0,0.0003],可以用z(t,ε)和h(t,ˉx(t))+?y(t/ε)來逼近x(t,ε)和z(t,ε),逼近誤差為O(ε).

圖1 系統(16-1)的解.

圖2 誤差x(t,ε)?(t).

圖3 誤差 z(t,ε)?h(t,(t))?(t/ε).

參考文獻

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A developm ent of T ikhonov theorem for singu lar pertu rbation
system s on fi nite interval

Wang Kaim ing1,2,Jin Dequan1,3
(1.School of Mathematics and Statistics,Xi′an Jiaotong University,Xi′an 710049,China; 2.School of Science,Chang′an University,X i′an 710064,China; 3.College of M athem atics and In form ation Sciences,Guangxi University,Nanning 530004,China)

To study the non linear singular perturbation system s,this paper develops T ikhonov theorem of singular perturbations on finite time interval under a new exponential stability criterion.At last,exam p les are given to our condition.

singular perturbations,exponential stability,T ikhonov theorem

O175

A

1008-5513(2012)06-0728-07

2012-07-07.

國家自然科學基金(60970149);中央高校基本科研業務費(CHD 2011JC009).

王凱明(1974-),博士生,副教授,研究方向：非線性系統穩定性.

2010 M SC:35B25