儲油罐變位識別與罐容表標定的積分應用

謝俊鵬，廖大成，熊 杰，馬 翠

(第三軍醫大學 a.學員旅十三隊;b.數學與生物數學教研室，重慶 400038)

加油站的儲油罐一般都有與之配套的“油位計量管理系統”，其原理是采用流量計和油位計來測量進出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表(即罐內油位高度與儲油量的對應關系)進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。然而，許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化(以下稱為變位)，從而導致罐容表發生改變。按照有關規定，需要定期對罐容表重新進行標定。針對該問題，作如下假設:儲油罐變位時未發生形變;儲油罐在進出油過程中形狀保持不變;室外溫度的變化對油體積變化的影響忽略不計;油罐壁光滑均勻、忽略壁厚。

1 小橢圓型儲油罐變位識別與罐容表標定

1.1 罐體無變位時

小橢圓型儲油罐(兩端平頭的橢圓柱體)的罐體可以被看成是一段臥置的橢圓柱體，其正面、截面示意圖如圖1所示。

圖1 小橢圓型儲油罐正面、截面示意圖

以小橢圓的長軸所在直線為x軸，罐體水平臥置時油浮子所在直線為y軸，罐體的中心軸線為z軸，3條軸線的交點為原點O，建立如圖2所示坐標系。

設儲油罐截面的橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，罐內油位的高度為H，此時相應的罐內儲油量為V(H)，則有截面的橢圓方程:

本問題歸結為求儲油罐內油品體積與油品液面高度的函數，即:

其中:H=0，V(H)=0;H=2b，V(H)max=f(2b)。

圖2 小橢圓型儲油罐坐標系

設儲油罐內油位高為H時油面與橢圓截面的交點坐標為(x，y)，儲油罐罐體長為 L，Sxy表示罐內油位高為H時，油面沿y軸方向縱截面的面積，h0表示油位高為H時，油面在坐標系內的y軸坐標，即:

根據微元法的思想及定積分的概念，有面積元素

由式(1)可得

聯立式(1)～(5)可解得

儲油罐內油位高度為H時的儲油量為

現可知，a=0.89 m，b=0.6 m，L=2.45 m，聯立式(2)、(3)、(6)、(7)，代入相應的數值，可得V(H)與H之間的關系為

其中0＜H≤1.2。

1.2 罐體縱向變位后

當傾斜角α存在時，儲油罐發生縱向變位，此時可建立如圖3所示坐標系。

圖3 儲油罐傾斜后的正面示意圖坐標系

圖3中的z1，-z2分別表示油罐兩端在z軸上投影點的z坐標，z0表示儲油罐傾斜后任意縱截面與z軸交點的z坐標，此時該截面上的油位高度為hy。

采用與建立儲油罐無變位時模型相同的思想，即可求出當儲油罐縱向傾斜時，儲油罐縱截面的面積表達式Sxy以及罐內儲油量表達式V(H)與油位計測量出的罐內油位的高度H之間的關系。

當儲油罐處于縱向傾斜變位時，可將儲油罐罐體劃分為5個區域(如圖3所示)，其中每一個區域都是能反映罐容表對罐內儲油量測量的作用區域。

由式(3)以及對圖3的綜合分析可知，在坐標系中無論h0取何值，H與h0之間的關系始終為

因而，可用h0與V(H)關系來代替討論H與V(H)之間的關系。

現對圖3中的5個區域逐一進行分析:

1)當h0≤-b時，由于油位計不能測量出罐內油面的實際高度，使罐容表不能測量出罐內的儲油量，出現罐容表的第1個測量盲區(圖3中區域Ⅰ下方的測量盲區)，此時V(H)與h0無關。

2)當-b＜h0≤z1tanα-b時，罐容表的作用區域為圖3中的區域Ⅰ。

3)當z1tanα-b＜h0＜b-z2tanα時，罐容表的作用區域為圖3中的區域Ⅱ。

4)當b-z2tanα≤h0＜b時，罐容表的作用范圍為圖3中的區域Ⅲ。

5)當h0≥b時，H=2b，由于罐體縱向傾斜，儲油罐不能繼續進油，罐容表的測量值達到最大值，此時儲油罐并未裝滿，罐容表出現第2個測量盲區(即圖3中區域Ⅲ上方的測量盲區)，罐中的儲油量為

綜上所述，當儲油罐罐體縱向傾斜后，儲油罐內的油位高度H與罐內儲油量V(H)之間的關系為

其中H=h0+b，即V(H)反映了儲油罐罐體變位后對罐容表的影響。

1.3 罐體縱向變位后罐容表的標定

利用罐體縱向傾斜后油位高度標定罐容表的數學模型，即式(9)，可以給出油位高度間隔為1 cm的罐容表標定值(油位高度從1～120 cm)，如表1所示。

1.4 標定效果檢驗及誤差分析

根據儲油罐傾斜變位進油的相關數據，對所建立的罐體縱向變位后罐容表標定模型進行效果檢驗及誤差分析，分別計算出罐內油位高度的標定值與實際測量值之間的絕對誤差δ與相對誤差η，經計算可知45 ＜ δ＜92，1.5% ＜η ＜5.5%，誤差較大。對不同的油位高度H與絕對誤差δ兩項進行分析，可以求得H與δ之間的關系為

利用式(9)、(10)可求出不同的H所對應的V(H)與 δ，根據 V'(H)=V(H)-δ，即可得到對罐容表標定出來的V(H)修正后的修正值V'(H)。再對修正后的V'(H)進行誤差分析，此時各組數據的相對誤差η≤1.5%，說明此時模型效果較好。

表1 油位高度間隔為1 cm的罐容表標定值

對表1得出的罐容表標定值進行修正，得到的修正值如表2所示。

從修正結果來看，修正效果明顯的是儲油罐油位高度在25～113 cm內的標定值。

油罐出油時的模型檢驗及修正與油罐入油時的模型檢驗及修正方法一致，在此不再贅述。

表2 修正后油位高度間隔為1 cm的罐容表標定值

2 實際儲油罐變位識別與罐容表標定

2.1 罐體水平臥置時

當實際儲油罐水平臥置時，參照問題1中同一背景下類似問題的思想與解法，可建立實際儲油罐水平臥置時V(H)與H之間的關系模型，此時油罐的截面為圓面，建立如圖4所示的坐標系。

圖4 實際儲油罐平臥時的坐標系

已知2R=3，L=8，c=1，其中 c為球冠體的高，設Va(H)、Vc(H)為油罐左右兩端球冠體的儲油量，Vb(H)為圓柱體的儲油量，V(H)為油罐儲油量，油罐水平臥置時有:

1)當-R＜h0≤0時，

2)當0＜h0≤R時，

2.2 罐體縱向傾斜變位

罐體縱向傾斜變位后，以罐體上油浮子與油位探針所在直線為y軸，罐體的中心軸線為z軸，2條軸線的交點為原點O，過原點O垂直于罐體yOz平面的直線為x軸，建立如圖5所示的坐標系。

圖5 儲油罐縱向傾斜正面示意圖坐標系

當儲油罐處于縱向傾斜變位時，可將儲油罐罐體劃分為7個區域(如圖5所示)，其中每一個區域都是能反映罐容表對罐內儲油量測量的作用。

通過對式(3)及圖5的分析可知，在坐標系中無論h0取何值，H與h0之間仍然滿足關系式:

因而，可用h0與V(H)關系來代替討論H與V(H)之間的關系。

現對傾斜后油罐上半部分的球冠體進行單獨分析，球冠體在yOz平面的投影如圖6所示。

圖6 球冠體在yOz平面的投影

根據圖形幾何關系可求得球冠體的半徑、球冠體方程。

通過對圖5進行進一步分析可知，若對圖中所示的各個區域分別積分，則運算麻煩，且不易實施。故可以將傾斜后的罐體分為3個部分，即右側球冠體、圓柱體、左側球冠體。

此時，對罐體的3個部分分別進行分析與討論，分別求出罐體3個部分的體積為 Va(H)、Vb(H)、Vc(H)。

現對罐體3個部分進行分析，得:

1)左側球冠體

① 當-R＜h0≤-(1+z2)tanα 時，

② 當-(1+z2)tanα ＜h0≤R-z2tanα 時，

③ 當R-z2tanα ＜h0≤R時，

2)中間部分(圓柱體)

① 當-R＜h0≤z1tanα-R時，

② 當z1tanα-R＜h0≤R-z2tanα時，

③ 當R-z2tanα≤h0≤R時，

3)右側球冠體

① 當z1tanα-R＜h0≤(1+z1)tanα 時，

② 當(1+z1)tanα ＜h0≤R時，

根據上述分析，可知罐體傾斜后的總儲油量為

現對圖5中的7個區域逐一進行分析，結果如下:

1)當h0≤-R時，罐容表無法測量出罐內的儲油量，罐容表的工作區域為測量盲區Ⅰ;

2)當 -R＜h0≤z1tanα-R時，V(H)=Vb(H)+Va(H)，罐容表的工作區域為區域Ⅱ;

3)當z1tanα-R＜h0≤ -(1+z2)tanα時，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作區域為區域Ⅲ;

4)當-(1+z2)tanα＜h0≤(1+z1)tanα時，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作區域為區域Ⅳ;

5)當(1+z1)tanα＜h0≤R-z2tanα時，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作區域為區域Ⅴ;

6)當R-z2tanα＜h0＜R時，V(H)=Va(H)+Vb(H)+Vc(H)，罐容表的工作區域為區域Ⅵ;

7)當h0≥R時，罐內儲油量無法測量，罐容表的工作區域為測量盲區Ⅶ。

2.3 罐體橫向偏轉變位

罐體橫向偏轉后，罐體截面示意圖如圖7所示。

圖7 儲油罐橫向偏轉后截面示意圖

分析圖7可得，儲油罐水平偏轉后油面坐標h0與油位計的示數h'以及水平偏轉角之間的關系為

又有H=h0+R，可得儲油罐內油位高度H與水平偏轉角β之間的關系為

將式(10)代入本文2.2節中所建模型，即可得出H、V(H)與偏轉角 α、β之間的關系。利用 H、V(H)與α、β之間的關系式，即可確定油罐在不同油位高度H時所對應的儲油量V(H)。

2.4 罐體變位參數的確定

由本文2.2節與2.3節的分析結果可知，H、α、β共同作用于V(H)，綜合罐體內油位高度H以及油罐縱向傾斜變位與橫向偏轉變位對油罐儲油量的影響，可得油罐的儲油量為V(H，α，β)。

由于利用積分的方法求解變位參數α、β運算復雜且不易實施，故通過設定參數(α，β)的取值范圍，借助遍歷搜索算法，最終可確定出儲油罐的變位參數α、β，具體作法如下:

利用相關數據信息，當對儲油罐進行加油或者放油操作時，相鄰的2個操作流水號之間油罐的實際進油量或出油量為ΔVT(n)，即油位高度變化ΔH時的儲油量變化ΔV(H)。例如，當儲油罐在流水號為201與202之間進行操作時，油罐內油量的變化為ΔVT(202)=149 L，此時將2個操作流水號所對應的油位高度H201與H202代入V(H，α，β)的表達式中，不斷對α、β賦值，就可以得到不同變位情況下儲油罐的進出油量計算值ΔVC(202)。采用相同的方法不斷對α、β賦值，分別求出不同流水號時的儲油罐內油量變化的實際值ΔVT(n)與理論值ΔVC(n)，當α、β取不同值時ΔVC(n)與ΔVT(n)之間總的相對誤差最小，所對應的α、β即為油罐的變位參數，即目標函數為

由于ΔVT(n)=VT(n)-VT(n-1)，不同組數據疊加后將會前后抵消，因而使得目標函數中的大部分數據相互抵消，使結果的準確性大大降低。為提高數據利用率以及結果的準確性，選取參考數據中的前400組數據，并將其等分為2組。

令 ΔVT(n)=VT(m+200)-VT(m)，1≤m≤200，則目標函數變為

在 0≤α≤4°，0≤β≤5°內，以步長 0.1 進行遍歷搜索，即可求出α、β的近似最優解，最終確定儲油罐的變位參數為 α≈3.4°，β≈2.8°。

2.5 罐體變位后罐容表的標定

將求解出的α、β值分別代入本文2.2節中7個區域的H與V(H)關系式，即可求得油罐在各個區域的儲油量V(H，α，β)，即V(H)，進而可以確定罐體縱向傾斜與橫向偏轉后油位高度標定罐容表的數學模型，并可以給出油位高度間隔為10 cm的罐容表標定值(油位高度10～300 cm)，如表3所示。

2.6 罐容表的標定效果檢驗及誤差分析

對現有數據進行分析可知，H與V(H)的參考值絕大多數落在本文2.2節中所建模型7個區域中的Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ區域。為保證所得罐容表標定值具有普遍適用性，故在Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ區域中均勻選取4個不同的油位高度H，并利用油罐變位后罐容表的標定模型求出相應的儲油量 V(H)，如表4所示。

表3 油位高度間隔為10 cm的罐容表標定值

將罐容表的標定值與題中給出的油罐出入油量進行比較，并用逐差法進行誤差分析，具體做法如下:

將計算所得12個數據依次編號為(1)～(12)并進行分組，其中(1)～(6)為第1組，(7)～(12)為第2組。用第1組中的數據減去第2組中的數據求得不同ΔH下的ΔV(H)，并與所給的同一ΔH下實際油量變化值ΔV(H)求相對誤差η，最后累加求出平均相對誤差，結果如表5所示，其中

表4 不同油位高度的罐容表的標定值

表5 不同油位高度的罐容表的標定值

3 結束語

采用微元法的思想建立了儲油罐在未變位及變位2種情況下油位高度與儲油量之間的數學模型，結合實驗和實際測量的數據，分析討論小橢圓型油罐和實際油罐的變位問題，對變位時罐容表進行了標定，并對模型的可靠性、正確性及結果的誤差進行了分析。結果表明，模型能夠較好地解決實際問題，具有較強的實際意義。

［1］王若鵬，吳國民.油罐刻度設計的數學模型及數值解法［J］.數學的實踐與認識，2007，37(16):1-8.

［2］高恩強，豐培云.臥式傾斜安裝圓柱體油罐不同液面高度時貯油量的計算［J］.山東冶金，1998，20(1):26-28.

［3］潘孝光.傾斜臥式油罐容積測量與計算［J］.油氣儲運，1987，6(6):47-50.

［4］管冀年，趙海.臥式儲油罐罐內油品體積標定的實用方法［J］.計量與測試技術，2004，31(3):21-36.

［5］李致榮.橢圓柱型臥式油罐容積的計算［J］.數學的實踐與認識，1977(2):17-26.