兩類6 維冪零李代數的上同調群

楊恒云，葉鑫

(上海海事大學 文理學院，上海 201306)

0 引言

冪零李代數是一類重要的李代數.［1-2］設L是復數域C 上的李代數.{Lk}(k≥0)是L 的降中心序列.若存在k∈N，使得Lk={0}，則稱L為冪零李代數.由于冪零李代數中更特殊的低維冪零李代數的分類問題尚未解決，許多學者一直以來都致力于對低維冪零李代數結構的研究，其中包括對導子代數、自同構群、二上循環等的研究.例如:文獻［3］研究一些特殊的10 維冪零李代數的導子代數;文獻［4］研究小于等于4 維復冪零李代數的導子代數;2005年，de GRAAF［5］利用SCHNEIDER［6］給出的小于等于6 維冪零李代數的分類，得到特征不為2 時小于等于6 維冪零李代數的所有表達式.

本文研究文獻［5］中給出的兩類6 維復冪零李代數的低階上同調群.記這兩類復冪零李代數為L1和L2，設他們的基均為{x1，x2，…，x6}，李括號積分別為

其余李括號積全為零.本文刻畫出這兩類李代數的導子代數、自同構群和二上循環.

1 導子代數

研究L1和L2的導子代數結構，給出它們的所有內導子和外導子.

首先給出一些基本定義.

定義1 設L是復數域C 上的李代數，D是L上的一個線性變換，且滿足

則稱D為L 的導子.記L 的所有導子的集合為Der(L).

顯然，Der(L)是一般線性李代數gl(L)的子代數，稱其為L 的導子代數.令ad L={ad x|x∈L}，則ad L是Der(L)的理想，稱其為L 的內導子代數.

定理1 李代數L1的導子代數為

式中:di(i=1，2，…，9)是L1的外導子，且滿足條件(d1(x1)=x1，d1(x3)=x3，d1(x5)=2x5，d1(x6)=2x6;d2(x1)=x2;d3(x1)=x4，d3(x5)=-x3;d4(x1)=x5，d4(x4)=x3;d5(x2)=x2，d5(x3)=x3，d5(x5)=x5，d5(x6)=x6;d6(x2)=x6;d7(x4)=x4，d7(x5)=-x5;d8(x4)=x5;d9(x5)=x4)，di(i=1，2，…，9)在其他生成元上的作用為零.

證明 任取D∈Der(L1)，設

將D 作用在［x1，x2］=x3的兩邊，得

所以有

將D 分別作用在［x1，x3］=x6，［x4，x5］=x6的兩邊，得

將D 作用在L1的其他所有的李括號積上，得

從而有

利用L1的定義，易得D-a32ad x1+ a31ad x2+a61ad x3-a65ad x4+a64ad x5對應的矩陣為

定理得證.

定理2 李代數L2的導子代數為

式中:di(i=1，2，…，6)是L2的外導子，且滿足條件(d1(x1)=x1，d1(x2)=2x2，d1(x3)=3x3，d1(x4)=4x4，d1(x5)=3x5，d1(x6)=5x6;d2(x1)=x2，d2(x4)=x6，d2(x5)=-x4;d3(x1)=x5，d3(x3)=-x6;d4(x2)=x4，d4(x3)=x6;d5(x2)=x5;d6(x5)=x6)，di(i=1，2，…，6)在其他生成元上的作用為零.

證明 任取D∈Der(L2)，設

將D 作用在L2的所有李括號積上，經過整理計算得到D 所對應的矩陣為

定理得證.

2 自同構群

定義2 設L是復數域C 上的李代數，若L 的可逆線性變換σ 滿足

則稱，σ是L 的自同構.

顯然，L 上的自同構關系是一個等價關系.L 的所有自同構構成一個群，稱其為L 的自同構群，記作Aut L.

定理3 李代數L1的自同構群Aut L1={D1∈M at(6，C)}，D1的表達式見證明過程.

證明 任取σ∈Aut L1，設

由［σ(x1)，σ(x2)］=σ(x3)得

將σ 分別作用在［x1，x3］=x6，［x4，x5］=x6的兩邊，利用上面的結果得

由［σ(xi)，σ(x3)］=0，i=2，4，5，得

由于σ是自同構的，有a66≠0，從而a11和a33≠0，所以

將σ 分別作用在［x1，x4］=0，［x1，x5］=0 的兩邊，得

由于a11≠0，得

將σ 分別作用在［x2，x4］=0，［x2，x5］=0 的兩邊，得

若a42≠0，則必有a52≠0，否則與a66≠0 矛盾.在這種情況下，由上面兩個式子可以得

這與a66≠0 矛盾，所以

將以上結果整理后有

從而σ 所對應的矩陣為

其中a44a55-a54a45=a66≠0，a11，a22和a33≠0.定理得證.

定理4 李代數L2的自同構群Aut L2={D2∈M at(6，C}，D2的表達式見證明過程.

證明 任取σ∈Aut L2，設

類似定理3 的證明方法，得到σ 所對應的矩陣為

其中a11≠0.定理得證.

3 二上循環

定義3 設L是復數域C 上的李代數，L 上的雙線性函數θ:L×L→C 滿足

則稱θ為L 的二上循環.L 的所有二上循環組成的集合記為Z2(L，C).

設V是C 上的一維線性空間，0≠c∈V.在線性空間Lθ=L⊕V 上定義

則Lθ是L 的中心擴張.由此看到，二上循環在李代數的中心擴張中起著重要作用.對L 上的任一線性函數f:L→C，令

則θf是L 的一個二上循環，稱為二上邊緣或平凡二上循環.L 的所有二上邊緣張成的向量空間記為B2(L，C).設η∈B2(L，C)，則Lθ≌Lθ+η.因此，只需考慮下面的集合

稱為L 的二上同調群.

下面給出李代數L1和L2的二上同調群.

定理5 dim H2(L1，C)=6.

證明 任取θ'∈Z2(L1，C)，定義L1上的一個線性函數f:L1→C 如下

令θ=θ'-θf，則有

將x1，x2，x3代入條件(2)得

從而

在條件(2)中取遍L1的一組基后，結合條件(1)，得

并且θ(x1，x4)，θ(x1，x5)，θ(x2，x3)，θ(x2，x5)，θ(x4，x5)是自由的.定理得證.

定理6 dim H2(L2，C)=5.

證明 任取θ'∈Z2(L2，C)，定義L2上的一個線性函數f:L2→C 如下

令θ=θ'-θf，則有

利用公式(2)和L2的定義，經過計算得到僅有θ(x1，x5)，θ (x2，x3)，θ (x2，x5)，θ (x2，x6)=θ(x3，x4)，θ(x1，x6)=θ(x2，x4)=θ(x3，x5)是自由的.定理得證.

［1］孟道驥.復半單李代數引論［M］.北京:北京大學出版社，1998:38-44.

［2］HUMPHREYS J E.Introduction to Lie algebras and representation theory［M］.Springer，1972:11-20.

［3］楊恒云，林磊，方燕.10 維線狀李代數［J］.青島大學學報，2009，22(2):34-40.

［4］范素軍，周檬，崔麗娟.冪零李代數的導子代數的結構［J］.河北師范大學學報，2009，33(5):1-3.

［5］de GRAAF W A.Classification of 6-dimensional nilpotent Lie algebras over fields of characteristic not 2［J］.J Algebra，2007，309(2):640-653.

［6］SCHNEIDER C.A computer-based approach to the classification of nilpotent Lie algebras［J］.Experiment Math，2005，14(2):153-160.