超空泡射彈動力學穩定性分析

張丁雄，侯 健

(海軍工程大學，武漢 430033)

超空泡射彈將超空泡技術應用到水下射彈中。研究表明，利用超空泡技術進行減阻，可以使阻力降低90%以上，提高彈丸在水中運動的穩定性。彈丸在水中運動時，若出現角速度的初始擾動，彈丸尾部將與空穴下表面撞擊并回彈，進而與空穴上邊界表面撞擊再回彈，這種非定常運動形態，可使其在前進中獲得動態平衡，直到空穴變小，過渡到空穴下邊界的一部分與物面滑行相切的形態，對這種運動形態的模擬計算表明，他在理論上也是成立的。本文通過對彈丸與空泡邊界表面碰撞的動力學分析，得出彈丸外形設計對射彈運動穩定性的影響規律。

1 數學模型

根據文獻［1］進行數學建模，為了簡化問題，本文只對超空泡縱向穩定性進行研究。建立圖1 所示的坐標系，(x，y，z，o)為定坐標系，(x1，y1，o1，)是以空化器中心為原點的動坐標系。其中，x1是彈丸運動的方向，彈丸在這個方向上做直線運動，任意小擾動后彈丸在y1方向產生1 個速度分量。

圖1 超空泡射彈運動時力的分析

圖1中:m 是彈丸的質量;L 為彈體全長;θ 為彈丸的軸線與水平線所成的夾角;ω 為轉動角速度;α 為彈丸實際速度與軸線所成的夾角;xcm是重心距彈丸底部中心的距離;Fn為水對前端空化器的作用力;Fs為彈體尾部與空穴邊界撞擊時產生的水動力。

彈丸在水中運動時，在動坐標系中滿足力的平衡方程:

式中:I0為彈體繞重心C 的慣性矩(包括附連水慣性矩);u為x1方向上的速度分量;v 為y1方向上的速度分量。

由文獻［1］可知，Fn在圓盤的縱軸線上。Fs可以分解為x1方向上的水阻力Fsx1和y1方向上的水撞擊力Fsy1，見圖2。Fn，Fsx1，Fsy1的大小可由文獻［2］得到。

圖2 作用于彈丸的水動力和撞擊力

因為u2?v2，ρAcku2?2mLω2，lk/L?1

其中:

式中:Ac為圓盤空化器的面積;K 為與空化器形狀有關的常數，當空化器為圓盤時，取2π;R 為射彈的半徑;D 為圓盤的直徑;ρ 為液體的密度;lk為彈體尾部浸濕水線長度。

空穴的長度一般相對于彈丸很大，故在彈體尾部與空泡壁發生碰撞的周圍可認為空泡壁是水平的，假設此處的空穴軸向截面半徑為Rk，彈丸的長細比為ε，如圖3 所示。

圖3 撞擊力的計算

當B 彈丸沒有發生轉動時，在坐標系ox1y1中，B 的坐標為(-L，-R)，經過旋轉矩陣旋轉后B 的坐標為(-Lcosα+Rsinα，-Lsinα-Rcosα)，又因為直線BE 斜率為tanα，故可求出直線方程為:

lk與α 的關系如圖4 所示。

圖4 擾動角與水線長度的關系

從圖4 可以看出:當α 增大時，lk隨之增大，即彈丸尾部與空穴壁的相交更加深入，與實際一致;當彈丸的細長比ε增大時，lk也隨著增大。

設射彈繞流為理想可壓縮流體無旋定常運動，為避免尾部空泡回注射流形成的數學奇異性，采用Riabushinsky 空泡閉合方式(即空泡以與射彈對稱的形式閉合)，將坐標原點建立在空泡頂點處。

圖5 超空泡外形

空泡外形方程為:

Dk和l 在文獻中［3］中給出了研究者得出的多種經驗公式，利用Matlab 將各種經驗公式繪制曲線，如圖6、圖7 所示。

圖6 空化數與空泡長度的關系

圖7 空化數與空泡最大直徑的關系

從圖6、圖7 可以看出，各超空泡外形計算公式在圓盤空化器情形時計算結果基本一致。

本文根據文獻［4］和文獻［5］，有:

RE為橢圓空泡模型中E 點距長軸的距離。

因為θ 很小，當x=L 時，有

2 結果分析

1)當彈丸的細長比ε 增大時，由式(2)知，lk變大，故變大，即y1方向的加速度變大，彈丸在這個方向受到更大的回復力，所以彈丸更容易恢復到平衡位置，使得彈丸在水中運動的穩定性得以提高，這個結論在超空泡航行體外形設計中得到了廣泛的應用。

2)由式(3)可知，當σ 減小時，Rk變大，故lk變小，ω 減小，所以從式(1)可以看出，當彈丸的發射速度變大時，空化數σ 變小，導致ω 變小，即彈丸的旋轉角速度變小，有利于彈丸的穩定。

3 結束語

對超空泡射彈彈丸在水中的運行情況進行了數學建模，利用動力學和超空泡理論進行分析，得出了彈丸在動坐標系中的運動方程。

將彈丸產生的超空泡外形近似認為是1 個橢球體，利用超空泡流體理論建立了空泡外形方程。

對于高速超空泡射彈，可對彈丸外形進行合理設計使其在水中運行更加穩定。當彈丸的長細比較大時，細長彈丸在水中運動更平穩，這個結論與文獻［6 -7］中得到的結果是一致的。

［1］王獻孚.空化泡和超空化泡流動理論及應用［M］.北京:國防工業出版社，2009.

［2］Salil S Kulkarni，Rudra Pratap.Studies on the dynamics of a supercavitating projectile［J］.Applied Mathematical Modelling，2000(24):113-129.

［3］林明東，胡凡，張為華.超空泡航行體錐形空化器優化設計［J］.國防科技大學學報，2010(4):37-41.

［4］Garabedian P E. Calulation of axially symmetric cavities and jets［J］Pac.J.Math，1956，6(4):611-684.

［5］Logvinoich G V.Hydrodynamics of Flow with Free Boundaries［M］.Kiev:Naukova Dunka，1969.

［6］孟慶昌，張志宏，顧建農，等.超空泡射彈尾拍分析與計算［J］.爆炸與沖擊，2009，29(1):56-60.

［7］李東旭.水下超空泡高速射彈數值分析與試驗［J］.四川兵工學報，2010(6):31-35.