基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型

何 俊， 劉會茹， 張彥群

（1．鄭州升達經貿管理學院，河南鄭州 451191；2．石家莊經濟學院，河北石家莊 050073；3．鄭州市環境監測中心站，河南鄭州 450002）

0 引 言

GM（1，1）預測模型將一切隨機變量看作是在一定范圍內變化的、僅與時間有關的灰色過程［1］。它的基本方法就是用指數曲線擬合原始點列，由此對原始點列進行預測。與其它預測方法相比，具有原始數據少、計算簡單、預測精度高等特點［2］。但GM（1，1）模型在擬合含有季節變動因素的時間序列時效果較差。在現實生活中，季節變動是一種極為普遍的現象，季節指數預測法能反映出這種季節變動的情況［3－4］。文獻［5－7］采用GM（1，1）模型擬合原始數據，確定趨勢值，然后用各期平均季節指數修正趨勢值。這種方法雖然能反映季節變動的因素，但是忽視了季節因素隨時間推移而變化的趨勢。而季節變動預測法中的可變季節指數預測法適用于某變量具有線性增加或減少的趨勢，同時受季節因素的影響，這種季節因素隨著時間的推移有逐漸加大（或減少）的趨勢［8］。文中在分析2006－2010年鄭州市氮氧化物的日均濃度后，發現其構成的時間序列具有季節特征，由此建立了基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型，為政府部門制定環境質量監控計劃和決策管理提供了依據。

1 建立GM（1，1）模型

GM（1，1）模型由一個單變量的一階微分方程構成。設原始數據列

作一次累加生成序列

其中

k＝1，2，…，n

對x（1）建立GM（1，1）模型，對應的微分方程為：

記參數列為α，α＝（a，u）T，令

由最小二乘法得

因此，GM（1，1）模型的離散解形式為：對模型進行累減運算得到原始序列的預測值

2 建立基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型

2）將實際觀測值x（0）（k）除以GM（1，1）預測的趨勢值（k），得出趨勢季節比率：

k＝1，2，…，n 3）采用直線擬合各期同季趨勢季節比率：

式中：i——一個周期內第i季；

m——周期數；

ai，bi——待定參數。

4）由最小二乘法確定ai，bi

其中

5）建立基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型

3 基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型在鄭州市空氣污染物濃度預測中的應用

根據鄭州市2006－2010年春、夏、秋、冬四季環境空氣污染物氮氧化物的日均濃度值資料建立預測模型，并預測2011年四季氮氧化物的日均濃度。

3.1 建立鄭州市四季環境空氣污染物氮氧化物的日均濃度值的GM（1，1）模型

由GM（1，1）模型預測的趨勢值見表1。

表1 鄭州市2006－2010年四季氮氧化物的日均濃度值和趨勢值

3.2 采用直線擬合各期同季趨勢季節比率

計算各期同季的季節指數擬合值見表2。

表2 各期同季的季節指數擬合值

3.3 建立基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型及檢驗誤差

模型為：

模型的模擬效果可以通過相對誤差來檢驗，見表3。

擬合效果如圖1所示。

從表3和圖1可以看出，GM（1，1）模型在擬合含有季節變動因素的時間序列時，效果較差，平均相對誤差高達15．027 2%；但基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型，平均相對誤差只有2．273 7%，使預測精度大幅度提高。

表3 模型誤差檢驗表

圖1 模型擬合效果圖

3.4 用基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型預測2011年鄭州市春、夏、秋、冬四季環境空氣污染物氮氧化物的日均濃度

當k＝21時：

當k＝22時：

當k＝23時：

當k＝24時：

由計算結果可知，2011年鄭州市春、夏、秋冬四季空氣污染物氮氧化物的日均濃度預計為0．042 3，0．037 5，0．049 4，0．056 5mg·m－3。

4 結 語

基于GM（1，1）的可變季節指數預測模型是以GM（1，1）為基礎，即用GM（1，1）模型對時間序列中的趨勢值進行擬合，然后用可變季節指數修正。因此，與GM（1，1）模型相比，既可以反映時間序列的趨勢變化，又可以反映季節因素隨時間的變化趨勢，從而在對含有季節變動因素的時間序列預測中，精度大幅度提高。

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