隨機利息力下的確定年金

安 勇

（山西大學商務學院，山西太原 030031）

0 引 言

年金是指按相等時間間隔形成的系列收支。分期付款賒購、分期償還貸款、養老金給付、分期支付項目欠款等都屬于年金收付形式。按照收付的次數和給付的時間劃分，年金有標準年金、預付年金、延期年金、永續年金等幾類。

對于年金定價問題的探討，主要是在利率假設下確定它的各階矩，尤其是一、二階矩。為了便于討論，傳統的精算理論通常假定利率在整個研究期間內為常值。但實際經濟生活中，作為資金價值的表現形式，影響利率的因素相當多，比如平均利潤率、幣資金的供求關系、物價上漲率、宏觀政策、國際金融市場利率等，利率水平是各種因素綜合作用的結果，鑒于此，利率往往具有不確定性。因此，在隨機利率下對年金的時間價值進行探討將更具有實際價值。近年來，學術界在假設利率為時間的連續函數以及離散函數兩種情況下，對各種年金的定價問題進行了研究：

1）文獻［1－4］假定利率是連續變化的，并分別采用維納過程、維納過程和O－U過程、反射布朗運動刻畫利率期限結構，進而研究了各類年金或生存年金的定價問題，推導出了各階矩的簡潔形式；

2）文獻［5－8］假設利率是時間的離散函數，在此基礎上，給出了各類年金的一、二階矩的表達式。上述文獻的共同點都是假設各年利率之間是相互獨立的。但實際上，作為時間序列數據，前期的利率對后期利率的變化將產生一定的影響，而且時間間隔越小，影響越大。因此，在假設各年利率相關的條件下對年金或生存年金的定價問題進行研究更符合實際情況。

文中假設當期利率只與過去兩期的利率有關，進而利用MA（2）模型對利息力進行建模。然后，在利息力基本假設條件下，探討了期末付虹式年金的定價問題，給出了此種年金現值的一、二階矩的簡潔計算公式。隨后，通過數值例子研究了相關參數對一階矩的影響，其結論對年金定價及其敏感性分析具有一定的參考價值。

1 固定利率下標準年金的現值

假設固定利率為j（j≠－1），利息力為δ，則折現因子，在n年內每年年末支付額為1的期末付年金的現值為

n年內每年年初支付額為1的期初付年金的現值為：

2 隨機利息力下期末付虹式年金現值的一、二階矩

2.1 利息力基本假設

假設當期利率只與過去兩期的利率有關，進而利用MA（2）模型對利率期限結構進行描述：

式中：δk——第k期的利息力；

并且假設M（t）＝E（etη）為變量η的矩母函數。

為了便于研究，我們給出一些記號：

2.2 支付額逐年遞增的年金現值的期望

用（Ia）n表示n年內每年年末分別支付1，2，…，n的遞增形式年金的現值，即

定理1 在利息力基本假設下，有

證明：

由第k年的折現因子

得

因此

式（6）乘以e－ζ，得

式（7）－式（6）并整理，得

2.3 延期n年，支付額逐年遞減的年金現值的期望

用n｜（Da）n－1表示延期n年支付，第n＋1年末支付額為n－1，而后逐年遞減，至2n－1年末時，支付額為1的年金現值，即

定理2 在利息力基本假設下，有

2.4 期末付虹式年金現值的期望與方差

用（PV）2n－1表示每年年末分別支付1，2，…，n－1，n，n－1，n－2，…，2，1，共2n－1個付款期的年金現值，此年金稱為期末付虹式年金，則

定理3 設（PV）2n－1為期末付虹式年金的現值，在利息力基本假設下，有

并且

其中B＝（1，2，…，n，n－1，n－2，…，2，1）表示2n－1維行向量，x＝（e－Δ1，e－Δ2，…，e－Δ2n－1）T表示2n－1維列向量

為協方差矩陣，滿足

且

證明：先證

由定理1和定理2可知

因此

下證

當r＜k時

記

則

同理可得

由此

3 數值模擬

某分期付款采取期末付虹式年金的形式，假設隨機干擾項服從標準正態分布ηk∈N（0，σ2），則ηk的矩母函數為M（t）＝e0．5σ2t2，在利息力基本假設下，由定理3可知，期末付虹式年金現值的期望值為

其中，ζ＝μ－0．5（1＋φ1＋φ2）2σ2為年金an，中相應的利息力。

不失一般性，基礎數據假設為：常數利息力μ＝0．06，φ1＝0．5，φ2＝0．2，n＝30a，隨機干擾項的方差為σ2＝0．072。

由基礎數據可得，E［（PV）2n－1］＝224．853 1，而在常數利息力μ＝0．06的條件下，期末付虹式年金的現值為（PV）2n－1＝193．476 9。因此，為消除利息力不確定性帶來的風險，各期付款的現值之和應增加16．2%。固定μ＝0．06，期限為n＝30a，σ2＝0．072。

不同的｛φ1，φ2｝組合對期末付虹式年金現值的期望值的影響如圖1所示。

由圖1可知，若未來利率受經濟因素和投資結構影響，導致波動幅度增大，即｜φ1｜，｜φ2｜逐步增大時，期末付虹式年金現值的期望值將逐步增大，而且變化速率隨｜φ1｜，｜φ2｜的增大而逐步加快。此結論從側面說明，利率頻繁波動將對經濟，尤其是金融活動產生巨大的影響。因此，追求利率穩定是非常有必要的。

圖1 相關參數對期末付虹式年金現值的期望值的影響

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