一類遞推數(shù)列極限存在的充分條件

崔玉娟

（95962部隊(duì)，江蘇徐州 221000）

數(shù)列、極限［1］與數(shù)學(xué)歸納法［2－4］是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是與大學(xué)銜接較緊的內(nèi)容之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不可少的基礎(chǔ)。因而歷來高考“市場(chǎng)”上出現(xiàn)較多“熱門貨”，這也是對(duì)能力要求較高，學(xué)生難以得手的“緊俏商品”。遞推數(shù)列的極限求解問題在歷年的考研題中屢次出現(xiàn)。文獻(xiàn)［5－6］分別給出了與極限的例子，文中給出了這類問題的較一般的情形（n＝1，2，…）極限存在的充分條件。

命題 設(shè)｛xn｝由遞推關(guān)系（n＝1，2，…）確定，其中a＞0，則當(dāng)b，x0滿足1）或2）。

2＜b＜＋∞

時(shí)，有

1）因?yàn)?/p>

所以

進(jìn)而

從而｛xn｝單調(diào)。因?yàn)?/p>

所以

x1＞x0

故｛xn｝遞增。

下證｛xn｝有上界。我們可得x1＜l。因?yàn)?/p>

所以

假設(shè)xk＜l，因?yàn)?/p>

補(bǔ)償額度：建議補(bǔ)償額度綜合考慮需量機(jī)組和現(xiàn)有火電機(jī)組的維持需求，原則上補(bǔ)償額度以補(bǔ)償需量機(jī)組的全成本為主，當(dāng)不足以覆蓋現(xiàn)有火電機(jī)組維持需求時(shí)進(jìn)行一定扶持。

所以

令

則

令

則

所以f（t）遞增，f（t）＜f（1）＝0，進(jìn)而ab－xkl＜0。則

故xk＋1＜l。由數(shù)學(xué)歸納法得xn＜l，即｛xn｝有上界l。

2）由l＜x0＜得l2＜＜ab，從而（1－b）＜（1－b）l2＝－ab。可得x1＜x0，因?yàn)?/p>

可得0＜x1＜l，這是因?yàn)閘＜x0＜

從而

進(jìn)而得x1＜x2，這是因?yàn)?/p>

我們有l(wèi)＜x2＜，x3＜x2，這是因?yàn)?＜x1＜l，b＞2所以

過程如式（1）。

還可得x1＜x3＜l，這是因?yàn)?/p>

過程如式（2）。

由數(shù)學(xué)歸納法得

即｛x2n｝單調(diào)有界，｛x2n＋1｝單調(diào)有界。故它們極限存在，分別設(shè)為A，B，則有

解得A＝B。所以｛xn｝極限存在。

由上述證明知，在情形（1），（2）下，｛xn｝極限存在。不妨設(shè)為L(zhǎng)，兩邊取極限得

解得

負(fù)值舍去，因?yàn)椋鹸n｝是正數(shù)列。

［1］ 劉玉璉，數(shù)學(xué)分析講義［M］．北京：高等教育出版社，2001．

［2］ 華羅庚．?dāng)?shù)學(xué)歸納法［M］．北京：科學(xué)出版社，2002．

［3］ 張和瑞，郝柄新．高等代數(shù)［M］．北京：人民教育出版社，1979．

［4］ 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)［M］．北京：高等教育出版社，1998．

［5］ 王戈平．?dāng)?shù)學(xué)分析選講［M］．徐州：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社，2002：50－51．

［6］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析［M］．北京：科學(xué)出版社，2002：38－39．

［7］ T H阿里波夫，B A薩多夫尼奇，B H丘巴里闊夫．?dāng)?shù)學(xué)分析講義［M］．3版．北京：高等教育出版社，2006：24－25．

［8］ 劉玉鏈．?dāng)?shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解［M］．北京：高等教育出版社，1996．