分子蒸餾系統建模與仿真

張 洋， 李云鵬， 隋添翼， 于歡歡， 許紅巖

（長春工業大學電氣與電子工程學院，吉林長春 130012）

0 引 言

分子蒸餾技術的原理不同于常規的蒸餾，它突破了常規蒸餾依靠沸點差分離的原理，而是依靠不同物質分子運動平均自由行程的差別實現物質的分離［1］。

分子平均自由程是指氣體分子在連續兩次碰撞中所走路程的平均值。Langmuir根據熱力學原理推導出frenzied平均自由程的定義式為：

式中：D——分子有效直徑，m；

K——波爾茲曼常數；

N——阿伏伽德羅常數；

P——壓力，Pa；

R——通用氣體常數；

T——溫度。

由此可見，分子平均自由程的大小與分子有效直徑、壓力和溫度有關［2］。當壓力不變時，物質的分子平均自由程隨溫度的增加而增加；當溫度不變時，物質的分子平均自由程隨著壓力的降低而增加。其基本原理如圖1所示。

圖1 分子蒸餾原理

待分離的液體混合物料沿加熱板自上而下流動，在加熱板上形成均勻液膜，被加熱后能量足夠的分子逸出液面，輕分子的分子運動自由程大，重分子的分子運動平均自由程小，在離液面距離小于輕分子的分子運動平均自由程而大于重分子的分子運動平均自由程處設置一冷凝面，這樣大部分的輕分子就能到達冷凝面形成液體流出，重分子則返回到加熱面，從而實現了分離［3］。當進行不同物料及不同成分分離時可以調節冷凝板位置，或者采用多級分離的方法，本系統把多級及調整冷凝板位置結合到一起［4］，使每級系統的冷凝板都可以自動調節，能夠實現同一物料進行多組分的分離。

1 動態數學模型的建立方法

建立動態數學模型是依據能量平衡、傳質、傳熱化學反映速率的關系。動態數學模型與靜態數學模型的差別是在列寫機理方程時，須考慮蓄存量的變化率，一般采用下式表示：

單位時間內流入能量－單位時間內流出能量＝能量的蓄積速率

單位時間內流入物料量－單位時間內流出物料量＝系統內物料蓄存量的變化率

在建立動態數學模型過程中，可以通過4種不同形式來表示輸出變量與輸入變量之間的關系，即：用增量y＝ΔY和u＝ΔU表示；絕對值Y和U表示；絕對值與正常狀態下穩態值（Y00和U00）的差值來表示；用無因次形式的y和u表示，即用增量與某一基準值的比值來表示［5］。列寫線性系統增量方程式是很方便的，一般只要用其增減量來代替方程中的變量就可以了，建立對它的數學模型也比較容易。但是對于非線性的系統來說，因為其各個變量之間是線性的，不能滿足疊加原理，所以，需要對它的變量進行線性化處理，就是在系統輸入和輸出的工作范圍內，用線性的關系來代替非線性的關系，切線法是最常使用的方法之一，在靜態特性曲線上，通過采用經過工作點的切線代替原來的曲線。在列寫動態方程后，一般來講，輸入輸出變量的非線性函數在工作點領域內展開泰勒級數，保留一階項，省略高階項，可以得到相近的線性模型，相同的對于多變量系統的線性化，也是在工作點的領域內用泰勒級數展開，略去高階項后得到近似的線性方程。

2 建立動態數學模型的步驟

2.1 模型準備

首先要了解問題體現的實際背景和明確建模的目的，然后再搜集各種需要的信息，弄清楚需要建模對象的特征，對原始的問題進行分析與了解，抽象出語言敘述的模型以及相應的條件，即成為原始模型。

2.2 模型假設

根據需要建模對象的特征對實際問題進行合理的簡化，盡量用精確的語言來假設，這是建模很重要的一步。一般來講，一個實際的問題不經過合理的簡化就很難轉換成數學問題，對于不同的假設將導致不同的模型。如果假設的過于詳細，把復雜對象的因素都考慮進去，就有可能導致一個無法求解的或者十分復雜的模型。同理，要是簡化的過分簡單或不合理，將導致模型失敗。所以，簡化是建模的重要一點，需要根據問題的實際性能和建立模型中的具體要求結合起來考慮。

2.3 模型構成

依據假設分析對象的因果關系，利用對象內在規律和數學工具，構造各個量之間的不等或等的關系，列出表格，畫圖確定其它結構。這里需要一些相關的專門知識，事實上，建模應該盡量采用簡單的數學工具，讓更多的人了解和方便使用。

2.4 模型求解

根據不同的模型要使用不同的數學工具求解，通過方程、圖形和數值的計算、分析統計、證明等數學方法，必要時還需要借助計算機。

2.5 模型分析

根據所得模型進行數學上的分析，需要時給出數學上的最優控制或決策，有時候要根據問題的性質分析量變間的依賴關系和穩定情況，但是，不論用哪種情況分析，最后還是要進行誤差分析，模型對數據的穩定性或者靈敏性分析。

2.6 模型校驗

把建立的模型結果分匯到實際問題中，將實際現象與數據做對比，校驗模型的合理性和實用性。一般情況下，一個成功的模型不只能夠解釋已知的現象，還能夠預測未知的現象，并且能夠被實踐證明。如果校驗的結果不符合實際，應該補充假設，重新建模，直到能夠反映現實問題為止。

3 分子蒸餾的系統建模

分子蒸餾的過程特別復雜，在蒸餾水的產生過程中，溫度和薄膜厚度是系統需要控制的兩個重要參數，并且同時受到原料水流量、真空度和刮膜電機轉速的影響，在熱交換回路中，原料水的流量、壓力與蒸汽壓力、溫度成非線性關系，并且有較強的耦合特性。當調節溫度和轉速時，蒸餾水的提取率也將同時變化。同時，純汽輸出回路和冷卻水回路都是熱交換回路的強烈干擾源，因此，要建立一個精確的數學模型十分困難。根據熱交換原理，首先建立了單效蒸發器的動態方程，并且以此導出雙效蒸發器的動態方程［6］。在能夠實現工程的前提下，經過特定的假設，對蒸發器的數學模型進行模擬優化，數學模型從5階化為3階，3階再化為2階，最后導出六效蒸發器的數學模型。

4 單效蒸發器動態方程的建立

蒸發是指將含有非揮發性質的溶劑與揮發溶劑組成的溶液進行蒸發濃縮的過程。在單效操作中，只用了一個蒸發器，它的特點是產生的二次蒸汽不用來使物料進一步蒸發，在開始操作的時候進料應該加熱至操作壓力下的沸點溫度，溶劑通常是水，被加熱蒸發并成為蒸汽而排走。而對于一個蒸發系統一般都是用幾個蒸發器，能提高經濟效益，稱為多效操作。

在處理非穩態的蒸發器系統的入手點是小蒸發器動態的模型和公式，在非穩態操作下的蒸發器系統的方程建立一般包括若干積分——差分方程［7］。在作出以下4項假設的基礎上，推導出小蒸發器動態模型的方程：

1）金屬管壁上的滯留能量可以忽略；

2）對蒸發器的液存量中加工液是充分混合的；

3）對環境的熱損失可以忽略不計；

4）對系統加熱時有關能量衡量的其它項目時，蒸發室的整體重量可以忽略。

總之，單效蒸發器的非穩態方程式如下：

組分物料衡算方程：

傳熱速率方程：

總能量衡算方程：

能量衡算方程：

考慮到沸點升高：

其中：

式中：c1——系數，與閥門的特性有關。

5 雙效蒸發器動態方程的建立

對雙效蒸發器動態模型可以在以下假設的基礎上得出［8］：

1）對環境的熱損失可以忽略；

2）熱損失系數和傳熱系數是常數；

3）可以忽略金屬管壁和連接管道的能量滯留量；

4）在蒸發器的液存量中，加工液是充分混合的；

5）在整個蒸發過程中，所有的氣相空間均為飽和蒸汽；

6）蒸發器和蒸汽室內具有相同的條件；

7）忽略各效之間物料傳遞滯后；

8）相對于系統加熱室中有關能量的衡算的其它項目，可以忽略蒸發室的蒸汽重量；

9）相對于蒸發器中濃縮液存量的重量，可以忽略蒸發室中溶劑重量；

10）對于沸點上升，不再考慮與濃度的關系，只認為與溫度有關系；

11）與蒸發器系統中金屬、進料、冷凝液和過程液相比來說，絕緣層的實際質量通常較小，所以，可以忽略絕緣層的能量滯留量。

根據質量守恒定律和熱力學原理，可以推導出以下的平衡方程、系統熱量核算方程、總物料衡算方程、傳熱率方程以及氣熱相溫度平衡方程。

雙效蒸發器動態行為的微分方程如下：

6 蒸發器的數學模型模擬和優化

因為在實際的工業對象中，涉及到的參數都很復雜而且也很多，所以產生了不少對象的數學模型有很高的維數［9］。因此，給模型工程的應用帶來很大的困難，相對于高維數學模型來講，不論在過程控制計算機領域，還是容量算法上都很難實現。因此，實現工業過程模型化的一個關鍵問題就是怎樣用一個低階模型來實現高階模型的作用。

在建立微分方程前，要先根據交換原理和現場的實際運行情況做某些特定的假設，再推導出雙效蒸發系統的5階數學模型。通過數字計算機處理起來雖然方便，但是模型階數如果能降低一些，那樣處理起來就會容易很多［10］。相對于5階線性數學模型，其系數矩陣特征值數量級一般都是相同的，為了使狀態變量的物理意義保持一致，在工程允許的范圍下，可以通過一些假設來對數學模型做降階處理，從5階到3階。從設計的蒸發器中還可以有些特殊的假定［11］，比如假設系統沒有熱損耗，就是L＝0；由于熱焓和濃度之間的關系特別小，可以將第一蒸發器溫度T1假定為常數［12］；假設第二蒸發器的儲液量W2在穩態作用點±12%以內，故可以把W2當成常數看待。

通過以上假設，可以將5階模型簡化成3階：

如果再假設第一效的儲液量也為常數，即W1＝0，就可以導出以下公式：

通過對上面的式子進行仿真，就能發現其可近似相當于一階滯后特性。于是有：

同理，經過這樣的方式，可以得到以下公式：

式中：F——入口蒸汽的流量；

S——入口原料水的流量；

T2——第二效蒸發器蒸餾水的溫度；

C2——第二效蒸發器蒸餾水的濃度。

所以有：

7 仿真分析

7．1 雙效蒸發器的數學模型仿真

在沒做某些假設之前，對于雙效蒸發器的模型可以導出一個10階的非線性微分方程，而在經過假設后，就能得到一個5階的非線性模型。在工程允許的前提下，可以再經過幾次特定的假設［13］，對其數學模型進行優化，從5階簡化為3階，再將3階降為2階。通過MATLAB進行仿真，可以得到不同模型的開環響應曲線，如圖2和圖3所示。

圖2 出口濃度相對原料水流量，2階、3階、5階模型及實際運行的階躍輸入響應曲線

圖3 出口溫度相對蒸汽流量，2階、3階、5階模型及實際運行的階躍輸入響應曲線

7．2 六效蒸發器的數學模型以及仿真

對于六效蒸發器的數學模型，如果按照推導雙效蒸發器數學模型的方法需要列很多個數學方程，最終會得到一個30維的狀態方程，對于維數比較高的運算起來很難，并且得到的模型在實際中很難起到有效的應用［14］，所以在工程允許的前提下進行熱交換的時候，可以對六效蒸發器近似等效，將3個雙效蒸發器的串聯近似等效為六效蒸發器。有雙效蒸發器的數學模型：

可以導出六效蒸發器的數學模型：

式中：F——入口蒸汽的流量；

S——入口原料水的流量；

T6（s）——末效蒸發器蒸餾水的溫度；

C6（s）——末效蒸發器蒸餾水的溫度。

對其仿真研究如圖4～圖7所示。

圖4 原料水的流量一定時，末效蒸發器蒸餾水的濃度的響應曲線

圖5 蒸汽的流量一定時，末效蒸發器蒸餾水的濃度的響應曲線

圖6 原料水的流量一定時，末效蒸發器蒸餾水的溫度的響應曲線

圖7 蒸汽的流量一定時，末效蒸發器蒸餾水的溫度的響應曲線

8 結 語

介紹了建立分子蒸餾的動態數學模型，并且對其進行仿真分析。由于蒸餾水的數學模型特別復雜，涉及到的輸入變量與輸出變量之間耦合緊密，而且呈非線性關系，兩者之間還有一些熱交換回路的復雜聯系，所以，采用傳統的方法很難建立出精確的模型。

文中主要是采用熱交換的原理，首先建立單效蒸發器的動態方程，再推導出雙效蒸發器的動態方程。在滿足工程要求的前提下，做了一些特定的假設，對蒸發器的數學模型進行模擬優化，數學模型從高階降到低階，在此基礎上，推導出六效蒸發器的數學模型。

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