自適應NURBS插補中陷波濾波器的設計＊

張穎穎

（三門峽職業技術學院，河南 三門峽 472000）

高速高精度的運動控制是機械制造業自動控制領域的核心技術，而插補模塊是實現這一技術的重要模塊，其中自適應NURBS曲線插補技術是工程應用中的典型代表。運動速度、控制精度以及整個系統的動力學特性是自適應NURBS曲線插補技術涉及到的幾個重要因素，其中動力學特性在現代高速、高精度、復雜運動軌跡的數控加工系統中尤為重要。

動力學特性對加工過程的影響主要體現在加工運動軌跡出現尖角時、受進給速率變化影響較大的拐角點、高頻分量以及與執行機構固有頻率相同的頻率分量等這幾個方面。數控機床運動控制器要追蹤加工軌跡的尖角處非常困難，同時尖角處進給的加速度很容易超出機床所能承受的范圍。在插補的過程中往往會遇到這樣運動加速度超過機器本身所能承受范圍的情況，這會產生過度波動而導致加工精度降低，產品質量得不到保證。針對這個問題，傳統的解決方法是在數控機床控制器最后的執行階段給出一定的加速度，避免超限，該處理效果并不十分理想［1］。

為了能夠在計算加工軌跡的同時將動力學影響考慮在內，可以運用數字濾波的方式，對執行插補指令后的數據進行濾波處理，濾除能夠引起機床共振的頻率分量，保障運動控制的高精度。采用陷波濾波器可以在完成DSP插補控制的前提下，插補數據經由串行口直接導入PC機，對其進行陷波濾波處理，濾除與機床執行機構固有頻率同頻的分量，避免出現共振，實現動力學濾波，提高控制精度。

1 濾波器的設計方法

1．1 數字濾波器

數字濾波器是對輸入的數字信號按照一定的要求進行數值運算等處理，實現保留有用信號，濾除無用信號等功能的算法或裝置。最常用的兩種數字濾波器為FIR和IIR，分別被稱為有限響應沖擊數字濾波器和無限響應沖擊數字濾波器［2］。二者相較各有所長，FIR線性相位，需要較高的階數，相比之下，若要達到同樣的性能指標，IIR所需要的階數遠小于FIR，所需要的存儲單元少，經濟而且高效。由于NURBS線性插補后是以序列形式的坐標做為輸出，因此本濾波器采用IIR模型。

1．2 設計方法

設計IIR數字濾波器一種方法是先設計一個相應的模擬濾波器，然后根據要求轉換成滿足實際需要的數字濾波器，由于模擬濾波器有許多可用的公式和參數表格，設計過程相對比較簡單。另一種方法是借助計算機進行輔助設計，在確定最佳準則的前提下，求出數字濾波器的系統參數，此種方法靈活，可根據不同的需求快速的調整濾波器的系統參數。本濾波器采用MATLAB軟件仿真獲得濾波器的系統參數來設計IIR濾波器。

MATLAB具有強大的矩陣運算、數值分析及信號處理功能，其信號處理工具箱綜合了各種濾波器的設計、仿真和分析技術，為設計數字濾波器提供了方便快捷的設計工具。將低通模擬濾波器變換到具有相同性能的數字濾波器的經典設計方法，即將模擬濾波器的系統傳遞函數映射為數字濾波器的系統傳遞函數，是MATLAB信號處理工具箱提供的IIR數字濾波器設計方法之一。要實現從H（s）到H（z）即s域與z域之間的轉換，可以通過脈沖響應不變法或雙線性映射法來實現［3］。

脈沖響應不變法可以利用信號工具箱中的函數impinvai和以下公式實現求解過程：

雙線性變換法則是通過S＝2fs（z－1）（z＋1）和信號處理工具箱中的bilinear函數實現將傳遞函數從H（s）到H（z）的變換［4］。

MATLAB提供的第二種設計方法是直接利用IIR數字濾波器完全設計函數，根據具體需要產生自由階數常用的帶通、帶阻、高、低通等任何形式的濾波器。

2 陷波濾波器的設計與實現

帶阻濾波器的阻止帶寬窄到一定范圍內時，就被稱為陷波濾波器。陷波濾波器的設計和實現是通過利用MATLAB信號處理工具箱提供的設計工具，以具有代表性的四種不同幾何特征的曲線作為目標測試曲線，用濾波器對其進行處理后，對處理結果進行誤差分析。以統計學為依據，主要從兩個方面作出評價，一是速度的穩定性，二是位置控制的精確度。

2．1 確定中心頻率

實際應用系統執行機構的固有頻率是選定濾波器中心頻率的重要依據，只有滿足這個條件才能達到濾除產生執行機構共振頻率分量的目的。以實測電機作為執行機構，測試其固有頻率，用以選定本陷波濾波器的中心頻率，測試數據如圖1所示。

圖1 實測電機實驗

由測試結果可知電機的固有頻率處在低頻頻段。不同的曲線所含有的頻率分量也不同，曲線越復雜，其頻率分量越豐富，而濾波器的帶寬也會對濾波處理后的結果產生影響，從而使得誤差發生變化。針對不同的曲線，將采用不同的中心頻率，以及不同的頻帶寬度。因此，選定濾波器的中心頻率為50Hz、100Hz兩段。

2．2 基于DSP實現陷波濾波器

可編程DSP芯片具有諸多優點，用它來實現陷波濾波器不僅穩定而且精確度高，可以通過編程修改濾波器的系統參數，調整濾波器的功能，靈活方便。濾波器實現所需要的硬件設備包括DSP和ARM9運動控制板、PC機，其中DSP和PC機的數據采集由相應的軟件控制，將插補后的數據導入PC。

本陷波濾波器采用IIR模型中最常用的II型濾波結構，濾波器的系統參數、通過運用雙線性變換法求得，如表1所示。

表1 陷波濾波器系數

當陷波濾波器選取帶寬5Hz，中心頻率為50Hz時，濾波器的傳遞函數H（z）應為：

代入濾波器的系數a、b，則H（z）應表示為：

由此可獲得：

3 濾波器性能分析

根據相對誤差ex（i）、ey（i），位置偏差e（i）以及RMS、Max和Mean這三個指標對濾波器的性能進行分析和評價。

3．1 目標測試曲線

選用直線、圓、星形曲線和橋形奇點曲線這四種代表性的離散型值點曲線作為目標測試曲線，由于其具有不同的幾何特征，因此在濾波后呈現不同的特點。其中，直線和圓的幾何特征較簡單，星形曲線作為一種封閉曲線的代表，具有幾何對稱的特點，橋形奇點曲線則屬于非封閉、不對稱、曲率復雜的曲線代表。如圖2所示，“◇”表示NURBS插補定點，點之間的曲線為插補后的離散型值點的連線。

圖2 目標測試曲線

對這四種曲線進行陷波濾波處理，針對每一種曲線陷波濾波后的性能進行分析。不同特征的曲線選用不同中心頻率的濾波器，曲線越復雜，包含的頻率分量越多。對于直線和圓形曲線，濾波器的中心頻率選擇50Hz，而對于星形曲線和橋形奇點曲線則選用中心頻率為100Hz的濾波器。

3．2 濾波結果及性能評價

3．2．1 目標曲線－直線

表2 直線軌跡濾波誤差評價

直線的幾何及頻率特性簡單，從直線濾波后的誤差評價表中可以得出，濾波器的帶寬越小，誤差評價的各項指標也越小。濾波后誤差評價數據如表2所示，以帶寬為10HZ下的各項指標為例，其中ex（i）和ey（i）的Mean指標分別為0．03616%和0．03619%，由于插補周期一定，故可將ex（i）和ey（i）看作是x軸和y軸速度的相對誤差，評價數據表明，濾波前后直線的速度比較穩定；Max指標分別為9．54685%和9．54648%，與Mean值相差近9%，意味著在濾波處理后的某個區域相對誤差較大。位置誤差e（i）的Mean指標為0．002147mm，Max指標為0．002890mm，表明位置誤差均值大約為2μm，而最大誤差不超過3μm，能夠滿足高精度位置控制的要求。

3．2．2 目標曲線－圓

圓軌跡包含了很多頻率分量，其瞬時角頻率不斷變化。平面圓軌跡可以分解x、y為兩部分，x方向為正弦軌跡，y方向為余弦軌跡。濾波后誤差評價數據如表3所示，ex（i）和ey（i）的Mean指標比直線軌跡的Mean指標數值大，但均控制在1%以內，隨著帶寬的減小，其值隨之減小。ex（i）和ey（i）的濾波處理后的誤差最大值分別為25．24689%和30．13169%，該指標也隨帶寬的減小而減小。帶寬為20Hz時e（i）的Mean值達到8μm，這一指標已經能夠滿足工業上的一般精度要求，若對帶寬加以調整，可將其控制在4μm以下，因此，對于圓形軌跡，濾波器帶寬不宜過大。

表3 圓軌跡濾波誤差評價

3．2．3 目標曲線－星形曲線

星形曲線是一類呈幾何對稱、曲率均勻變化的封閉曲線。對其進行濾波處理，速度穩定性較好，濾波后誤差評價數據如表4所示，在ex（i）和ey（i）的誤差均值被控制在0．05%之內；帶寬為5Hz時，誤差均值為0．00057036mm，即精度能夠達到0．5μm，精度非常高。

表4 星形曲線軌跡濾波誤差評價

3．2．4 目標曲線－橋形奇點曲線

橋形奇點曲線是一類曲率均勻變化且對稱不封閉的曲線，對其進行濾波處理，能夠獲得較好的速度穩定性及較高的精度，濾波后誤差評價數據如表5所示，e（i）的Mean指標較小，均控制在1μm以內。

表5 橋形奇點曲線軌跡濾波誤差評價

4 總結

由實驗結果可以得出，直線濾波產生的誤差很小；星形曲線和橋形奇點曲線位置偏差也都在1μm以內；而圓形曲線通過選取合適的濾波器帶寬也能夠將偏差控制在4μm。對于四種曲線軌跡進行陷波濾波處理，均能達到較高的精度，并獲得較好的速度穩定性。NURBS插補技術中運用動力學陷波濾波器能夠解決執行機構的共振問題，提高運動控制的精度。

［1］姬曉天，施寅．NURBS的概念與使用［J］．計算機輔助設計與制造，1998，（12）：25－26．

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［3］羅軍輝，羅永江．MATLAB7．0在數字信號處理中的應用［M］．北京：機械工業出版社，2005：63－115．

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［6］M．Weck，G．Ye．Sharp corner tracking using the KF control strategy［J］．Annals of CIRP，1990，39（1）：437－441．