水下航行器凸輪發動機凸輪機構的接觸應力分析

徐勤超，王樹宗，練永慶

(海軍工程大學海軍兵器新技術應用研究所，湖北 武漢 430033)

水下航行器凸輪發動機凸輪機構的接觸應力分析

徐勤超，王樹宗，練永慶

(海軍工程大學海軍兵器新技術應用研究所，湖北 武漢 430033)

水下航行器凸輪發動機的凸輪機構是其主要受力部件，在設計過程中必須進行強度校核。通過對凸輪和圓柱滾輪的接觸情況進行分析，運用微分幾何理論導出了凸輪的工作曲面方程和接觸點的誘導法曲率模型，采用彈性力學中的赫茲理論，建立了凸輪機構的接觸應力模型，并進行了算例分析。仿真模型能準確地計算水下航行器凸輪發動機凸輪機構的接觸應力，可為其設計和參數的選擇提供理論依據。

水下航行器;凸輪發動機;凸輪機構;接觸應力

0 引言

水下航行器凸輪發動機的凸輪機構由凸輪和活塞組成。凸輪具有2個向前突起的峰和向后凹陷的谷，活塞后部有2個相隔一定距離的大小圓柱滾輪，它們分別抵著凸輪的前后曲面，把活塞與凸輪聯接起來，使活塞的往復運動同凸輪的轉動產生關聯［1］，具體結構如圖1所示。發動機工作時，凸輪和滾輪相接觸，氣體力和活塞的往復慣性力的合力作用在凸輪上，當合力超過一定限度，凸輪就會發生疲勞破壞，因此必須對凸輪機構的接觸強度進行校核。本文通過對凸輪機構的接觸情況進行分析，導出了凸輪的工作曲面方程和接觸點的誘導法曲率模型，建立了凸輪機構的接觸應力的計算模型，并進行了算例分析，本文所建立的模型可為凸輪機構的設計和參數的選擇提供理論依據。

1 凸輪工作曲面方程

1.1 坐標系的建立

為方便分析，假定凸輪發動機內軸靜止，外軸以相對內軸角速度旋轉，選取坐標系O－XYZ為靜坐標系，與凸輪固連，原點O為活塞的前止點;X軸與凸輪中心線重合;Y軸位于峰截面(通過凸輪中心線及峰頂的平面)內;Z軸位于谷截面(通過凸輪中心線及谷底的平面)內。O1－X1Y1Z1為動坐標系，與活塞部件前滾輪軸固連，并且繞OX軸旋轉，其中X1軸與凸輪中心線重合。Y1軸與活塞部件前滾輪軸線相重合。Y1軸與Y軸之間的夾角為θ，當時間t為0時，2個參考系完全重合。所建立的坐標系如圖2所示。

圖2 凸輪機構坐標系Fig.2 The reference frame of cam mechanism

1.2 凸輪工作曲面方程

根據凸輪發動機的工作過程，由圖3可知，活塞前滾輪與凸輪前工作曲面之間任一接觸點P在坐標系O1－X1Y1Z1中的矢量為:

其中，前滾輪與凸輪前工作曲面的接觸角為:

根據坐標變換公式可以推導接觸點P在坐標系O－XYZ中的矢量為:

式中:OO1由活塞的運動規律決定，假設凸輪曲線使活塞的位移按其轉角的正弦平方規律變化［1］，即OO1=［－H·sin2θ，0，0］T;AX(θ)為坐標變換矩陣。由圖2中坐標的位置關系可知:

圖3 前滾輪與凸輪前工作曲面的接觸角Fig.3 The contact angle between front roller and front working curved surface

由于坐標系與凸輪固連，可得到凸輪前工作曲面方程為:

為方便求導，凸輪的前工作曲面可表示為關于θ和Rs的函數:

當θ取某一定值時，式(6)表示凸輪前工作曲面與前滾輪的接觸線方程，稱為Rs線;當Rs取某一定值時，式(6)表示凸輪前工作曲面上的1條曲線，稱為θ線。由于凸輪前工作曲面上的受力比后工作曲面上的受力大得多，所以凸輪的后工作曲面一般不進行強度校核。本文只對凸輪前工作曲面的接觸應力進行分析，凸輪后工作曲面接觸應力的計算同前工作曲面的接觸應力計算類似。

2 接觸點曲率模型

根據凸輪發動機的工作過程可知，凸輪工作曲面是由滾輪的圓柱表面在一系列位置時所形成的一族圓柱面的包絡面［2］，所以凸輪與滾輪接觸點的法平面共面。凸輪與滾輪在任一接觸點P的幾何關系如圖4所示。

圖4 凸輪和滾輪的接觸關系圖Fig.4 The contact condition between cam and roller

圖中，S為凸輪工作曲面，凸輪與滾輪接觸點為P，平面Z為凸輪在接觸點P的法平面，同時也是滾輪曲面的法平面，平面Z始終垂直于滾輪的軸線，X為θ線在接觸點P處的密切面，n為凸輪曲面在接觸點P處的法線矢量，β為θ線在接觸點P處的主法線矢量，n和β的夾角為ψ。

由空間曲線的曲率計算公式［3］可得θ線在P點的曲率矢量為:

式中:Rθ為θ線上各點的矢量;且

凸輪前工作曲面接觸點法曲率為:

3 接觸應力模型

在不考慮活塞與缸體之間摩擦的條件下，按其轉角的正弦平方規律變化的單個活塞軸向合力為［1］:

式中:d為氣缸直徑;n0為內外軸相對轉速，r/min;P(θ)為缸內工作氣體的壓力;Pq為凸輪箱中的壓力;mh為單個活塞的質量。當活塞軸向力為正時，大滾輪同前凸輪前工作曲面處于工作狀態;當活塞軸向力為負時，小滾輪同后凸輪后工作曲面處于工作狀態。

凸輪前工作曲面與前滾輪的法向接觸力為:

根據赫茲接觸理論可得凸輪前工作曲面所承受的接觸應力為:

其中，凸輪前工作曲面與前滾輪的接觸線長度lj可由式(5)根據弧長積分公式計算求出。

式中:μ1和μ2分別為凸輪與滾輪材料的泊松比;E1和E2分別為凸輪與滾輪材料的彈性模量;Kng為凸輪與前滾輪的誘導法曲率［4］，Kng=Kn－1/rg。

4 仿真算例及分析

取前滾輪半徑rg為10 mm;前滾輪高度h為10 mm;平均壓力半徑R—s為45 mm;活塞沖程H為20 mm，氣缸直徑d為20 mm;活塞質量mh為0.2 kg;凸輪箱中的壓力pq為1 MPa;凸輪與圓柱滾輪材料的泊松比μ1和μ2均為0.3;凸輪與滾輪材料的彈性模量E1和E2均為200 000 MPa，結合缸內工作氣體壓力曲線(如圖5)進行仿真。由于凸輪前工作曲面和前滾輪的接觸載荷和誘導法曲率沿接觸線變化連續，取平均壓力半徑來計算法向接觸力和誘導法曲率。通過計算仿真得到活塞的軸向合力、凸輪機構的誘導法曲率、接觸線長度如圖6～圖9所示，將計算結果代入式(12)得到凸輪機構的前工作曲面接觸應力如圖10所示。

圖5 氣缸壓力隨轉角變化曲線Fig.5 The curve of pressure with rotational angle of cam

由圖6可知，當發動機啟動時，轉速較低，可近似認為為0，活塞軸向合力在θ為0°時(以下均取θ在0～π之間進行討論)取得最大值5 340.7 N;當內外軸相對轉速n0為4 000 r/min時，活塞軸向合力在θ為38°時取得最大值4 754.8 N。

由圖7可知，壓力半徑Rs分別取40、45和50 mm時，凸輪的前工作曲面和前滾輪的誘導法曲率始終小于0，因此發動機凸輪前工作曲面和前滾輪之間不存在曲率干涉。當凸輪轉角θ從0°運動到90°時，誘導法曲率絕對值逐漸減小，且Rs越小，誘導法曲率絕對值降低速度越快。

由圖8和圖9可知，凸輪前工作曲面與前滾輪的接觸線長度在θ為0°和90°時最短，為滾輪高度，但是接觸線長度變化不大。當滾輪高度h取10 mm時，接觸線長度最大值和最小值之比小于1.003 5;當滾輪高度h取20 mm時，接觸線長度最大值和最小值之比為1.014，所以在計算凸輪和滾輪的接觸應力時，接觸線長度可取滾輪高度進行計算。

由圖10可知，發動機啟動階段，活塞慣性力較小，近似認為為0，接觸應力在凸輪轉角為0°時達到最大為315.1 MPa;當內外軸相對轉速n0為4 000 r/min時，活塞軸向合力在θ為36.7°時取得最大值294.9 MPa。發動機啟動階段凸輪機構最大應力值大于其穩定階段最大應力值。

5 結語

1)從仿真結果可以看出，水下航行器凸輪發動機凸輪機構接觸線長度隨凸輪轉角變化改變不大，在計算凸輪和滾輪的接觸應力時，接觸線長度可取滾輪高度近似計算。

2)水下航行器凸輪發動機凸輪機構的最大接觸應力發生在發動機啟動階段的凸輪峰頂處，對凸輪機構的強度校核，只需驗證在啟動階段凸輪峰頂處的接觸應力是否超過許用值即可。

3)文中凸輪機構的誘導法曲率的計算模型能用于檢驗凸輪機構是否存在曲率干涉。

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Analysis of cam mechanism contact stress for underwater vehicle cam engine

XU Qin-chao，WANG Shu-zong，LIAN Yong-qing
(Naval Research Institute of New Weaponry Technology and Application，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Cam mechanism is one of the most important parts for underwater vehicle cam engine，it must be stress checkout in process of designment.Based on analyzing the meshing condition，the working curved surface equation of cam and the induced normal curvature are modeled by using differential geometric theory，the contact stress models of cam mechanism are modeled based on Hertz theory in elastic mechanics，and the calculating example is made.The simulation models can be used for calculating cam mechanism contact stress correctly，and these models can applied theoretical bases for designing and parameters choosing for cam mechanism.

underwater vehicle;cam engine;cam mechanism;contact stress

TJ630.2

A

1672－7649(2012)03－0040－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2012.03.008

2011－07－18;

2011－08－11

徐勤超(1982－)，男，博士研究生，工程師，主要研究方向為魚雷動力與水下發射技術。