基于窗函數的FIR數字濾波器設計

CHEN Jing-song，LIU Yan-wei

0 引言

數字信息處理在現今的社會發展中已經起著非常重要的作用，而數字濾波作為數字信號處理的一個重要的組成部分，成為許多科學家研究的重點對象。根據單位取樣響應h(n)的時域特性，現今的數字濾波器科學地被劃分為兩個形式的系統，一個是無限脈沖響應(IIR)系統，另外一個是限脈沖響應(FIR)系統。與IIR數字濾波器相比，FIR 數字濾波器有著嚴格的線性相位,且具有任意的幅度特性，使得傳遞函數沒有極點，這在很大程度上保證了設計出的FIR 數字濾波器是平穩的。

找到一組數據（a,b），只要能滿足特定FIR濾波器的要求就是設計的實質。而在完成設計濾波器設之后，還要進一步考慮將其實現的細節，像是選擇哪一種結構的濾波器結構，濾波運算等。其中實現算法是實現FIR數字濾波器的一個重要實現部分，在本文中采用的窗函數的概念，就是對無限長的信號截取一段時間內的信號進程處理和分析，然后將得到的實驗結果進行周期性的拓展，最終取得的無限進行進行傅里葉變換和分析，且通過與傳統算法實現的FIR濾波器對比，用仿真實驗說明本文算法的優越性。

1 窗函數設計及分析

窗函數w(t)本身具有頻帶無限的特征，即使是限制帶寬的原信號x(t)，通過窗函數截斷以后也具有了無限帶寬的性質，使得頻域的能量與分布得到了擴展。當然，在這個截斷的過程中，即便采樣頻率很高，也會引起信號的一些誤差。從一些實驗數據中科學家們發現，這些誤差都與窗函數頻譜的兩側旁瓣有著非常緊密地聯系，故針對不同的時域要采用不同的窗函數來進行截斷，來確保與真實的頻譜相接近。窗函數的種類相對來說資源比較豐富，本文就其中三種相對常用的窗函數性質和特點來簡要地闡述一下：

1）矩形窗

矩形窗屬于時間變量的零次冪窗，主瓣相對居中，旁瓣較高，有負旁瓣，容易在中帶變化中帶進高頻干擾和泄漏，有負譜現象存著的可能。其矩形窗的時域和頻域的表達式如下：

2）漢寧（Hanning）窗

3) 海明（Hamming）窗

海明窗也是余弦窗的一種，與漢寧窗相比，旁瓣達到了更小，且衰減速度相對較慢。海明窗函數的時域和頻域的具體表達式如下：

從上面的三個具體代表性的窗函數的描述上可以看出，不同的窗函數，對應的信號頻譜影響不一樣，導致的能量泄露也不一致，且這與傅里葉算法中產生的柵欄效應一樣，都是不能完全刪除的，故在進行窗函數的選擇時，應考慮被分析信號的性質與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號，且有較強的干擾噪聲，則應選用旁瓣幅度小的窗函數，如漢寧窗、三角窗等；對于隨時間按指數衰減的函數，可采用指數窗來提高信噪比。通過選擇不同的窗函數對它們的影響進行抑制，從而更好地降低設計要求，提高效率。

2 窗函數實現FIR數字濾波器的原理及設計

2.1 FIR數字濾波器的原理

數字濾波器的主要作用是通過改變原有的信號形式，估計信號的特征量，使得呈現信號中需要表達的最佳形式。FIR數字濾波器具有嚴格的線性相位，代表任意的幅度特性，單位抽樣響應是有限長的，因而濾波器一定是穩定的，再用快速傅立葉變換(FFT)算法來實現過濾信號。其具體地原理是：尋求一系統函H(z)，使其頻率響應H(ejω)逼近濾波器要求的理想頻率響應Hd(ejω)，其對應的單位脈沖響應hd(n)。一個截止頻率為ωc(rad/s)的理想數字低通濾波器，其傳遞函數的表達式是：

由上述公式可以得出，該濾波器具有無限性和因果性。為了得到有限長度的沖激響應函數，取樣響應為h(n)，長度為N，其系數函數為H(z)：

同時也可以得到FIR數字濾波器輸出y(n)的Z變換形式Y(z)與輸入x(n)的Z變換形式之間的關系如下：

對上述表達式進行反Z變換可以得到：

【劇情回顧】《易筋經》是少林上乘內功秘笈，也是所有學武之人的向往。《天龍八部》中慕容復的侍女阿朱化裝潛入少林寺中盜出此書，并為此身受重傷。后該書輾轉被聚賢莊少莊主游坦之得到，不僅解了他身上的劇毒，還救了他一命。

從上面的公式我們可以看出，在對濾波器實際設計時，整個過程的運算量很大，且在數字濾波器設計的過程中，還要根據設計要求，不斷地調整濾波效果，以達到最優。在這種情況下，本文提出了利用仿真實驗工具和窗函數綜合進行設計，則可以快速有效地設計出FIR數字濾波器。

2.2 窗函數的應用

Hd(ejω)是矩形頻率響應特性，故hd(n)一定是無限長序列，且是非因果的，而FIR濾波器的h(n)必然是有限長的，所以要用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)，最有效方法是截斷hd(n)或者說用一個有限長度的窗口函數序列ω(n)來截取hd(n)，即

利用窗函數設計FIR濾波器的具體步驟如下：

1）根據具體的性能要求通過對過渡帶寬度Δω及阻帶衰減AS，等參數的分析選擇合適的窗函數，并估計濾波器的長度N。

假設存在一個低通濾波器，截止頻率為ωc，滿足線性要求。設低通特性的群延時為α，

根據hd(n)是中心點在α的偶對稱無限長非因果序列，矩形窗RN(n)在得到有限長的h(n)存在優勢，即

2）由給定的濾波器的幅頻響應參數求出理想的單位脈沖響應和單位取樣響應。但是按照線形相位濾波器的約束，h(n)必須是偶對稱的，對稱中心應為長度的一半(N-1)/2，因而必須α=(N-1)/2，所以有：

進一步得出：

3）驗證技術指標是否滿足要求。分析所設計的濾波器的幅頻特性，按照復卷積公式，在時域是相乘、頻域上是周期性卷積關系，即

對矩形窗RN(n)，則有

WR(ejω)就是頻域抽樣內插函數，其幅度函數WR(ω)在ω=±2π/N之內為一個主瓣，兩側形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應也寫成

則其幅度函數為

從FIR濾波器的頻率特性就能看出，加窗處理后提高了對頻率的響應。窗函數的頻率特性W (ejω)使得 H (ejω)在很大程度上逼近 Hd(ejω)。此時，h(n)=h(N-1-n)同時滿足了線性相位的特征。

3 結束語

窗函數法的優點是簡單，有閉合形式的公式可循，因而很實用。窗函數法是從時域出發，通過一定的窗函數截取有限長的單位脈沖響應來逼近理想單位脈沖響應；頻率抽樣法則是從頻域出發對理想脈沖響應的逼近。所設計的數字濾波器和傳統設計的濾波器比較,頻率響應同理想頻率響應之間的逼近誤差最小,速度提高了很多,設計過程得到了很大的簡化,方便了開發設計。

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