基于窗函數的NLFM波形設計及脈壓性能分析

贠亞男， 張文希，許明圣

（1. 平頂山工業職業技術學院，平頂山 467001；2. 長沙學院 電子與通信工程系，長沙 410003;3. 河南平高電器股份有限公司，平頂山 467001）

0 引言

線性調頻（LFM）、相位編碼以及非線性調頻（NLFM）是現役脈沖壓縮體制雷達中常用的脈壓波形[1-2]。其中，線性調頻和相位編碼波形在匹配濾波器輸出端具有較高的旁瓣，實際應用中盡管可通過加權處理降低旁瓣影響，但會造成壓縮波形的主瓣展寬以及信噪比損失。而NLFM波形則無需進行加權操作，可通過設計和改變發射信號的頻譜特征，在匹配濾波壓縮輸出端獲取較低旁瓣的同時，能夠有效避免因加權處理而引入的信噪比損失，在雷達和聲納等信號處理領域具有較好的應用前景[3～7]。基于窗函數的波形綜合法是NLFM波形的主要設計方法[5]，本文通過分析和對比幾種基于經典窗函數設計的NLFM波形的脈壓性能，得出了一些有益的結論，為NLFM波形的實際應用提供參考。

1 NLFM波形設計方法

設NLFM波形具有如下表達形式：

式（3）中w(f) 即為窗函數，根據一維距離模糊函數的方法并運用駐留相位原理得：

其中，T(f)為群延時函數，而f(t)則為信號頻率，系群延時函數的反函數，即f(t)=T-1(f)。

基于窗函數設計NLFM波形需要首先確定窗函數W(f)，其次通過式（3.b）求出j"(f)，進而積分求出j'(f)，再由式（3.a）得到群延時函數T(f)，然后經反函數運算得到f(t)，最后代入式（3.c）經積分得到相位函數q(f)，最終獲得NLFM波形m(f)。

2 典型窗函數及脈壓分析

2.1 典型窗函數及群延時

1）矩形窗

矩形窗函數也稱為門函數，對應了LFM波形的設計，其可表示為：

其中，B為信號的調制帶寬，其群延時函數為T(f)=f。

2）海明窗

海明窗函數為：

3）余弦四次方窗

余弦四次方窗函數以及對應的群延時函數可分別表示為：

4）高斯窗

高斯窗函數一般表達式為：式中, K為常數因子，其群延時函數為T (f) = 2B/函數。

2.2 脈壓分析

本節拋開冗長的脈壓公式推導，利用信號與線性系統的基本知識理解脈沖壓縮。矩形窗的頻譜對應的是辛格函數，即：

其中，rect和FFT分別表示矩形函數和傅里葉變換，而Sa(×)為辛格函數。

由式(3)可知，不考慮多普勒頻移時，脈壓時接收信號與參考信號在頻域共軛相乘后，其相位譜可近似為一常數，幅度譜則對應窗函數，即NLFM信號脈沖壓縮時的頻域具有窗函數形式W(f )。因此，脈壓最終歸結到對窗函數的逆傅里葉變換上，與時域矩形窗支撐區長度(時寬)不同，該頻域矩形窗支撐區用帶寬來衡量，其有效長度會大大增加。當頻域窗W(f )為矩形窗時，對照式(8)并根據對偶原理，可知脈壓的時域輸出為：

其中，IFFT為逆傅里葉變換。

FFT與IFFT在形式上是一致的，辛格函數的主瓣寬度取決于窗函數的有效支撐寬度，寬度越大，分辨率越好。受多種因素（如近端盲區，多普勒模糊等）限制，脈沖體制的發射信號時寬不可能太大，而通過頻率調制，窗函數的有效支撐寬度拓展到頻域后會成幾何遞增。在相同脈沖寬度條件下，LFM和NLFM信號帶寬相比傳統簡單波形會大大提高，故距離分辨率更優。而進一步，在相同帶寬的條件下，LFM比NLFM脈壓后的主瓣寬度會窄，這是前者的頻域窗有效支撐寬度相對較大造成的。

由式（9）知，頻域矩形窗反變換到時域同樣為辛格函數。進一步，當W (f )不為矩形窗時，如海明窗，等效于對矩形窗作了加權處理，此時頻域窗類似于“鐘形”，由于NLFM脈壓時頻域窗的有效支撐寬度變小，反變換到時域后會使旁瓣降低，同時主瓣會有所展寬。而根據能量守恒定律，主瓣展寬后能量主要集中到主瓣區域，相應地旁瓣能量則會顯著降低。但NLFM波形脈壓后的窄主瓣和低旁瓣設計是互為矛盾的，在信號設計和實際應用時要根據需求折中考慮。

3 仿真實驗

為驗證各種窗函數設計的NLFM的脈壓性能及其一般規律，下面用以3.1節給出的窗函數進行仿真。仿真參數為：脈沖寬度t=20us，信號帶寬B=10MHz，采樣頻率fs=20MHz，高斯窗中的常數K=23.5。

3.1 窗函數及時頻曲線

圖1為四種窗函數的比較圖，各窗對應的有效支撐區間長度由矩形窗到高斯窗逐漸減小。由3.2節的脈壓分析，可初步推理出脈壓后的主瓣寬度會逐漸增大。計算各窗函數的群延時函數到時頻函數的變換，涉及到反函數求解，很難寫出顯示表達式，需要用到數值計算，本文采用樣條插值方法進行時間等間隔重采樣，通過插值可以反求出等間隔時間對應的頻率值。需注意的是，該方法只在頻率和時間一對一對應的條件下才適合，目前所設計的NLFM都滿足該條件。

圖1 四種窗函數

3.2 脈壓輸出及性能分析

根據各窗函數的時頻曲線得到相應NLFM信號。圖2給出了所設計信號的脈壓輸出，其中矩形窗對應的LFM調頻信號的脈壓結果，顯然NLFM信號具有更低的旁瓣。圖3(a)和圖3(b)分別為脈壓輸出的主瓣局部放大和旁瓣局部放大圖，不難看出：盡管NLFM具有較低的旁瓣，但是以主瓣展寬為代價的。表1定量比較了脈壓后信號的-4dB主瓣寬度和峰值旁瓣比（第一旁瓣與主瓣峰值比）。由圖3和表1可看出，設計的四種發射信號隨著窗函數有效支撐區間的減小，其主瓣寬度呈遞增趨勢，而第一旁瓣幅度呈遞減趨勢，這與3.2節的分析是相吻合的。

圖2 脈壓輸出

圖3 局部放大結果

表1 脈壓結果對比分析

4 結束語

本文從矩形窗函數的（逆）傅里葉變換視角入手，分析了NLFM的設計及脈壓性能。分析指出，

相對傳統簡單波形的時域窗，LFM和NLFM的頻域窗函數有效支撐區長度的增加（即帶寬增大）是獲得距離高分辨的關鍵，這與現有分辨率理論是一致的，隨著支撐區長度的縮小，NLFM波形主瓣展寬。但是有效支撐區僅反映了NLFM設計中一個因素，若要得到性能優越的NLFM波形，必須對群延時函數施加更多的限制，如平滑性，曲率等，這將是下一步研究的方向。

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