基于Bayes BootStrap的特種設(shè)備可靠性模型參數(shù)確定方法

江賽

（海軍工程大學(xué) 科研部，湖北 武漢 430033）

航海特種設(shè)備直接影響到航行安全，確保其可靠性十分重要。預(yù)先維修一般是指在設(shè)備發(fā)生故障之前提前采取適當(dāng)?shù)奶幚泶胧_(dá)到增強(qiáng)設(shè)備技術(shù)完好性，提高設(shè)備可靠性的目的。將預(yù)先維修理論在航海特種設(shè)備的維修保障十分必要。然而，運(yùn)用預(yù)先維修理論進(jìn)行推斷時(shí)需要利用驗(yàn)前信息，獲取的驗(yàn)前信息是否準(zhǔn)確將對(duì)最終得到的預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生極大的影響。一般地，獲取先驗(yàn)分布函數(shù)一般可以采用3種方法[1]：1）利用歷史資料，特別是以前做過(guò)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)資料，獲取分布函數(shù)；2）通過(guò)理論分析或者仿真獲取分布函數(shù)；3）憑藉經(jīng)驗(yàn)的“主觀概率”法，例如“專家打分法”獲取分布函數(shù)。對(duì)此 Jeffreys[2]，Jaynes[3]，Stein，Villegas[4]等人作了專門研究，得出“同等無(wú)知原則”、“位置參數(shù)（Location Parameter）的驗(yàn)前分布”、“尺度參數(shù) （Scale Parameter） 的驗(yàn)前分布”、“Jeffreys 規(guī)則”[5]等方法和結(jié)論。Bayes Bootstrap方法（也稱隨機(jī)加權(quán)法[6]）也是一種關(guān)于估計(jì)誤差的統(tǒng)計(jì)處理方法，它的基本思想是用估計(jì)誤差的隨機(jī)加權(quán)統(tǒng)計(jì)量去逼近估計(jì)誤差的分布。Bayes Bootstrap方法沒(méi)有用到大樣本，因此在小子樣情況下，隨機(jī)加權(quán)法具有較好的應(yīng)用效果。考慮到航海特種設(shè)備小子樣特點(diǎn)，文中將Bayes Bootstrap方法應(yīng)用于航海特種設(shè)備維修時(shí)間模型參數(shù)的確定。

1 Bayes BootStrap方法的基本原理

設(shè)隨機(jī)子樣 X=（x1，x2，…，xn）來(lái)自未知的總體分布 F，θ=θ（F）是總體分布F的某個(gè)參數(shù)（如均值、方差等），F(xiàn)n是由子樣X(jué)=（x1，x2，…，xn）得到的抽樣分布函數(shù)（通常取 X 的經(jīng)驗(yàn)分布），?（Fn）為 θ的估計(jì)。 記

式中：Tn——表示估計(jì)誤差。

記

式中：Vi——表示具有Dirichlet分布的隨機(jī)變量，i=1，2，…，n；

Dn——表示Tn的隨機(jī)加權(quán)統(tǒng)計(jì)量。

隨機(jī)加權(quán)法就是以Dn的分布去模擬估計(jì)誤差Tn的分布。

考慮到海航特種設(shè)備維修性數(shù)據(jù)少的現(xiàn)狀，文中采用Bayes BootStrap方法確定其維修時(shí)間分布模型參數(shù)，采用Monte-Carlo方法進(jìn)行模擬計(jì)算，計(jì)算步驟[7]如下：

1）在區(qū)間[0，1]上產(chǎn)生n-1 個(gè)隨機(jī)數(shù)vi，i=1，2，…，n-1，并且使vi在區(qū)間[0，1]上具有獨(dú)立性和均勻性。

2）對(duì)生成的vi按從小到大的次序進(jìn)行排序，得vi，…，vn-1的次序統(tǒng)計(jì)量為v（1），…，v（n-1），并令v（0）=1，v（n）=1。

則Vi=v（i）-v（i-1），（i=1，…，n）的聯(lián)合分布為 Dn（1，1，…，1），（V1，…，Vn）就是我們需要的隨機(jī)向量。

3）重復(fù)抽樣N次，由公式（4.2.17）計(jì)算相應(yīng)的Dn（i），i=1，2，…，N。

4）用Dn（i），i=1，2，…N作為Tn的估計(jì)，由公式（4.2.16）得

由此得到θ的值。

2 利用Bayes Bootstrap方法確定可靠性分布模型的參數(shù)

一般地，航海特種設(shè)備維修時(shí)間服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，記維修時(shí)間的概率密度函數(shù)[8]為：

修復(fù)率函數(shù)為：

平均修復(fù)時(shí)間為：

最大修復(fù)時(shí)間為：

式中，ZP是給定概率為P的分位數(shù)，文中取0.95，Z0.95≈1.65。

下面用Bayes BootStrap方法對(duì)某型航海特種設(shè)備估計(jì)誤差進(jìn)行推斷，從而得到準(zhǔn)確的參數(shù)值。計(jì)算步驟如下：

1）在區(qū)間[0，1]上產(chǎn)生 19 個(gè)隨機(jī)數(shù)vi，i=1，2，…，19 并且vi在區(qū)間[0，1]上具有獨(dú)立性和均勻性。

2）對(duì)生成的vi按從小到大的次序進(jìn)行排序，得vi，…，v19的次序統(tǒng)計(jì)量為v（1），…，v（19），并令v（0）=0，v（20）=1。

則Vi=v（i）-v（i=1），（i=1，…，20）的聯(lián)合分布為D20（1，1，…，1），（V1，…，V20）就是我們需要的隨機(jī)向量。

由式

計(jì)算相應(yīng)的 Dμ、D2。 并重復(fù)抽樣N次， 得到Dμ（i），D2（i），（i=1，…，N）。

4）用Dμ（i）、Dσ2（i），i=1，…，N作為估計(jì)誤差的Tn逼近，由公式（3）有

根據(jù)實(shí)測(cè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到μ和σ2的一組估計(jì)，再對(duì)所得的估計(jì)值做點(diǎn)估計(jì)得μ=3.470 5，σ2=0.405 3。

由此得這種某航海特種設(shè)備的維修時(shí)間服從參數(shù)為（3.470 5，0.405 3）的對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即 lnt～N（3.470 5，0.405 3）。

3 可靠性指標(biāo)的計(jì)算

由上節(jié)的計(jì)算結(jié)果得給定小樣本數(shù)據(jù)的維修時(shí)間概率密度函數(shù)為：

修復(fù)率函數(shù)為：

維修時(shí)間分布的概率密度函數(shù)和修復(fù)率函數(shù)分別如圖1、2 所示。

圖1 維修時(shí)間分布概率密度函數(shù)Fig.1 Probability density function

4 結(jié) 論

運(yùn)用預(yù)先維修理論進(jìn)行推斷時(shí)需要利用驗(yàn)前信息，即確定預(yù)先維修的數(shù)學(xué)模型。本文將Bayes BootStrap方法應(yīng)用于航海特種設(shè)備維修模型參數(shù)的確定，結(jié)合實(shí)際小字樣試驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果表明，修復(fù)時(shí)間的平均值為39 min；所有維修措施的50%在32 min內(nèi)將能完成；所有維修措施的95%在92 min內(nèi)都能完成。針對(duì)某型航海特種設(shè)備的技術(shù)指標(biāo)都規(guī)定基層級(jí)的平均修復(fù)時(shí)間Mct≤30 min，而文中計(jì)算得出的分鐘，可知該型航海特種設(shè)備使用中的維修性有所下降，需查找具體原因減少維修時(shí)間。

圖2 修復(fù)率函數(shù)Fig.2 Repair rate function

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