樣條函數擬合GPS高程探討①

張海艷，張振濤，蘇貴波，李清生

（1.國家測繪局第一地形測量隊，陜西 西安710054；2.中國人民解放軍61491部隊，河南 許昌461131）

0 引 言

全球定位系統（GPS）是隨著現代科學技術的迅速發展，而建立起來的新一代精密定位系統［1－2]。由于該系統不受氣象條件的影響、自動化程度高，且定位精度良好，已經廣泛應用于各個領域，水平定位精度在短時間內即可達到±5mm＋1ppm［3].目前，GPS測高的能力得到了普遍的關注，研究GPS測定水準高程的方法將有助于更好的發揮GPS的作用。為了使GPS測量成果能夠在解決高程問題方面得到較好的應用，綜合利用水準測量和重力測量資料，確定大地水準面高程，綜合利用大地水準面資料確定點的高程。

1 數學模型

解決GPS測定高程問題的關鍵是如何確定高程異常差［4]。

1.1 三次樣條函數曲線擬合法

樣條數學含義為：曲線直到二階導數連續，沒有多余的拐點，曲率變化比較均勻［5]。當測線較長時，節點處的高程異常值變化會較大，當插值點過多時，若采用多項式曲線擬合法，會出現不光滑、不連續的現象，影響插值精度。但是，若采用三次樣條函數曲線擬合的方法就會彌補上述不足［6－7]，使插值精度得到保證。三次樣條函數是光滑連續的，可以更好的處理較長曲線的擬合問題［7]。

節點處的函數值和二階導數或函數值和一階導數來建立三次樣條插值函數的表達式及連續性方程和邊界條件給定及其算法。

記S（x）在節點xi處的函數值，一階導數和二階導數為

在每個小區間［xi－1，xi]上，S（x）都是不超過3次的多項式，則S′（x）在小區間上是不超過1次的多項式，那么S＂（x）在兩節點處的值應為常數，即y"＝0.此時，稱為自然插值三次樣條函數。……