基于MATLAB的直流調(diào)速數(shù)字控制系統(tǒng)的分析和設計

劉家鑫

（大連交通大學電氣信息學院，遼寧 大連116028）

0 引 言

隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，直流調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)字化控制已得到廣泛應用。較之傳統(tǒng)用模擬電路實現(xiàn)直流調(diào)速系統(tǒng)的觸發(fā)和調(diào)節(jié)，數(shù)字調(diào)節(jié)器有著明顯的優(yōu)勢。即用微機執(zhí)行數(shù)字PID運算程序代替模擬轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器和電流調(diào)節(jié)器，而轉(zhuǎn)速給定、轉(zhuǎn)速反饋和電流反饋經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換器變成數(shù)字量送入微機（或單片機），微機的運算結(jié)果通過D/A轉(zhuǎn)換器變成模擬量作為可控整流裝置的觸發(fā)控制電壓。這種方式不但克服了電網(wǎng)電壓波動對觸發(fā)精度的影響，而且在一定程度上也減小了因器件老化、溫度變化引起的運算誤差。由于計算機具有高精度、高速度和編程靈活等優(yōu)點，可以在系統(tǒng)中靈活的使用各種算法實現(xiàn)最優(yōu)控制；并且對控制結(jié)果的觀察更加明確，對控制結(jié)果的分析也可以在顯示器上繪制曲線來表示［1］。

計算機控制系統(tǒng)的經(jīng)典設計方法一般分為兩種。一種是將連續(xù)域設計好的控制律D（s）利用不同的離散化方法變換為離散控制律D（z），這種方法稱為“連續(xù)域—離散化設計”方法，其允許利用熟悉的各種連續(xù)域設計方法設計出令人滿意的連續(xù)域控制器，然后將控制器離散化，離散化過程較為簡單。另一種方法是在離散域先建立被控對象的離散模型G（z），然后直接在離散域進行控制器設計。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型的建立

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

直流電動機在額定勵磁下的等效電路如圖2所示，其中電樞回路總電阻R和電感L，包含電力電子變換內(nèi)阻、電樞電阻和電感。

圖2 直流電動機等效圖

假設主電路電流連續(xù)，則電壓方程為

忽略粘性摩擦及彈性轉(zhuǎn)矩，電動機軸上的動力學方程為

額定勵磁下的感應電動勢和電磁轉(zhuǎn)矩分別為

式中，TL為包括電動機空載轉(zhuǎn)矩在內(nèi)的負載轉(zhuǎn)矩（N·m）；GD2為電力拖動系統(tǒng)折算到電動機軸上的飛輪慣量（N·m2）；Cm為額定勵磁下電動機的轉(zhuǎn)矩系數(shù)（N·m/A），Cm＝Ce。

再定義下列時間常數(shù)：

Tl為電樞回路電磁時間常數(shù)（s），Tl＝；T為m電力拖動系統(tǒng)極點時間常數(shù)（s），Tm＝。

將上述參數(shù)代入式（1）和式（2），并結(jié)合式（3）和式（4）整理，并取拉普拉斯變換得到直流電動機的傳遞函數(shù)為

整流裝置采用IGBT三相橋式整流電路，用PWM來控制。PWM控制的整流裝置和晶閘管觸發(fā)的動態(tài)數(shù)學模型基本一致，是一個滯后環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)可以寫成

由于時間常數(shù)Ts非常小，所以對式（6）進行泰勒展開，近似等效成一個一階慣性環(huán)節(jié)，即

將轉(zhuǎn)速反饋系數(shù)α折算到前向通道，給定值為原來的1/α倍，則直流調(diào)速系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

直流調(diào)速系統(tǒng)的實際參數(shù)具體如下：

轉(zhuǎn)速反饋系數(shù)α＝0.0158，機電時間常數(shù)Tm＝0.075 s，電磁時間常數(shù)Tl＝0.017 s，IGBT 開關(guān)頻率為10 Hz，則Ts＝0.1 ms。

將上述參數(shù)代入式（8）得

由于IGBT整流裝置的時間常數(shù)Ts很小，可以忽略，則式（9）可以近似為

2 控制系統(tǒng)的設計和仿真

2.1 采樣周期的選擇

在計算機控制系統(tǒng)里，采樣周期T是系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能有很大的影響。一般地，采樣周期越小，穩(wěn)定性越好，但采樣周期太小時，由于計算機運算部件、A/D和D/A變換器的字長有限，計算機控制系統(tǒng)并不趨于連續(xù)系統(tǒng)，且由于字長有限所產(chǎn)生的量化誤差會增大。同時，采樣周期過小時，將會增大控制算法對參數(shù)變化的靈敏度，使控制算法參數(shù)不能準確表示，從而使控制算法的特性變化較大。所以要考慮不同的因素，選取一個合適的采樣周期。

為了減少頻率混疊現(xiàn)象，選擇采樣頻率時，常常要求采樣頻率滿足

式中，ωRmax是被控對象全部特征根中的最高頻率。本設計ωRmax＝241.66（rad/s），所以Ts≤0.0026 s，取采樣周期Ts＝0.001 s。

2.2 數(shù)字PI控制器的設計

本文采用擴充臨界比例度法來對PI控制器的參數(shù)進行整定。考慮零階保持器的影響將被控對象離散化，再將數(shù)字控制器的積分與微分控制取消，逐步減小比例度σ（1/Kp），直到系統(tǒng)發(fā)生等幅振蕩，得到臨界比例度σk（1/Kk）和臨界振蕩周期Tk，然后查表得出各參數(shù)［2］。

對于臨界比例度σk（1/Kk）和臨界振蕩周期Tk的獲得，在此設計中采用根軌跡的分析方法，比直接測量階躍響應更加方便和精確。

設計程序如下：

圖3 只考慮比例環(huán)節(jié)的系統(tǒng)根軌跡

只考慮比例環(huán)節(jié)的系統(tǒng)根軌跡圖如圖3。運行結(jié)果為：用鼠標選取根軌跡與單位圓的交點即臨界振蕩點之后，得到 Kk＝8.954，Wk＝136.1434。則 Kk＝8.954，Tk＝0.1709 s。

控制度選1.05，通過查表1得Tl＝0.0837 s，TD＝0.0558 s，則 Kl＝Kp/Tl＝5.114，KD＝KpTD＝0.0239。

PID控制器D（s）＝Kp＋Kl經(jīng)過雙線性變換以后

表1 擴充臨界比例度法選PID控制器參數(shù)

圖4 數(shù)字PI控制系統(tǒng)的simulink仿真圖

數(shù)字PI控制系統(tǒng)的simulink仿真如圖4。從仿真結(jié)果看，系統(tǒng)無超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤差為零，效果較為理想。

然后求閉環(huán)極點，繪制波特圖如圖5對系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析，程序如下：

圖5 系統(tǒng)開環(huán)傳函波特圖

仿真結(jié)果為:

從圖5看出，系統(tǒng)穩(wěn)定，相角欲度Pm＝105°，增益欲度Gm＝43 dB。

2.3 Z平面根軌跡法

根軌跡法實質(zhì)上是一種閉環(huán)極點的配置技術(shù)，通過反復的試湊，設計控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，使整個閉環(huán)系統(tǒng)的主導極點配置在期望的位置上。在本設計中采用零極點對消法，即用控制器的零點對消被控對象的極點，使整個閉環(huán)系統(tǒng)具有滿意的品質(zhì)［4］。

設計指標為：超調(diào)量σ%≤20%；上升時間tr≤0.5 s；調(diào)節(jié)時間ts≤1 s；

（1）設計指標及期望極點的位置

典型二階系統(tǒng)階躍響應的動態(tài)指標為：

根據(jù)設計指標得出閉環(huán)阻尼比ζ≥0.456，z域同心圓半徑r≤0.966，z域射線θ≥2.5°。

（2）數(shù)字控制器的設計

將被控對象考慮零階保持器離散后，變成零極點形式，設計程序如下：

得到的零極點模型為：

則開環(huán)傳遞函數(shù)為：

結(jié)合動態(tài)指標，繪制系統(tǒng)的根軌跡程序如下：

系統(tǒng)的根軌跡如圖6所示。

圖6 考慮動態(tài)指標的系統(tǒng)根軌跡

在期望極點的區(qū)域內(nèi)選取一對極點之后，運行結(jié)果為：

則K＝0.3269，k＝K/0.001＝326.9

控制系統(tǒng)的Simulink模型圖如圖7所示，得到的階躍響應曲線如圖8所示［3］。

圖6 控制系統(tǒng)SIMULINK的仿真圖

圖7 控制系統(tǒng)階躍響應曲線

對系統(tǒng)進行動態(tài)響應分析，程序如下：

運行結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看到閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應的超調(diào)σ%＝15%，上升時間tr＝0.00171 s，調(diào)節(jié)時間ts＝0.00728 s，均滿足設計指標。

求閉環(huán)極點，繪制波特圖，進行穩(wěn)定性分析，程序如下：

圖8 顯示動態(tài)指標的系統(tǒng)階躍響應曲線

運行程序得到系統(tǒng)波特圖如圖9所示，閉環(huán)極點p＝0.3264±0.4626 i。

圖9 控制系統(tǒng)開環(huán)傳函波特圖

從系統(tǒng)的閉環(huán)極點和開環(huán)傳函的波特圖中都可以看出，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定并且有足夠的穩(wěn)定欲度。

3 結(jié) 論

本文用了兩種方法對直流調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)字控制器進行設計。首先設計了數(shù)字PI控制器并采用擴充臨界比例度法來對其參數(shù)進行整定。其中，利用臨界振蕩時根軌跡與單位圓相交的特性，更加精確地得出了振蕩周期。另一種方法是Z域根軌跡法，對系統(tǒng)進行零極點的抵消和重新配置，設計出了滿足性能指標的控制器。從這兩種方法中均可以看出利用根軌跡來分析和設計一個控制系統(tǒng)的重要性。從根軌跡中不但可以直觀地看到開環(huán)增益K對系統(tǒng)性能的影響，還能增加開環(huán)零極點來重新配置閉環(huán)主導極點，從而改變閉環(huán)系統(tǒng)的性能［5］。另外，從仿真分析中可以看出，MATLAB在對自動控制系統(tǒng)連續(xù)傳遞函數(shù)的離散化、系統(tǒng)的根軌跡、穩(wěn)定性和動態(tài)響應過程的分析中起著非常方便和有效的作用。結(jié)合SIMULINK來建模分析，使得參數(shù)整定和系統(tǒng)調(diào)試更加方便和直觀。

［1］ 高金源.計算機控制系統(tǒng)［M］.北京：清華大學出版社，2009.

［2］ 陳伯時.電力拖動自動控制系統(tǒng)［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2003.

［3］ 趙廣元.MATLAB與控制系統(tǒng)仿真實踐［M］.北京：北京航空航天大學出版社.2009.

［4］ 魏克新.MATLAB語言與自動控制系統(tǒng)設計［M］.北京：機械工業(yè)出版社.2004.

［5］ 高志宏.直流調(diào)速數(shù)字控制系統(tǒng)的仿真設計與參數(shù)優(yōu)化［J］.機電工程2008（8）：49－51.